Corso classe 1a 7° incontro

Programma SCHEMA RIASSUNTIVO ATTIVITA’ DIDATTICA - SITUAZIONI ADDITIVE   ATTIVITA’ DIDATTICA - SITUAZIONI ADDITIVE SCHEMA RIASSUNTIVO Tabella di classe Addizioni tabella allievi Addizioni tabella di classe MOMENTO DI REGOLAZIONE - Incontri precedenti

Esercitazioni ed automatismi

Esercitazioni ed automatismi QUANDO HANNO TEMPO GLI ALLIEVI PER ESERCITARE QUANTO APPRESO? DIMAT PROPONE MOLTI MATERIALI E MOMENTI DIVERSI (FV, FP, FR,FS, S) PERÒ, SE GLI ALLIEVI NON SI ALLENANO, DIMENTICANO QUANTO HANNO IMPARATO! COME È POSSIBILE, SENZA L'ESERCITAZIONE, CONSOLIDARE LE CONOSCENZE APPRESE? DAL MOMENTO CHE SENZA L'ESERCIZIO CONTINUO IL BAMBINO DIMENTICA, QUAL È LO SPAZIO PREVISTO PER L'ESERCITAZIONE? NON È FORSE MEGLIO PREVEDERE DEI MOMENTI PER DELLE ESERCITAZIONI REGOLARI, RIPETITIVE? ALMENO PER GLI OBIETTIVI DI PADRONANZA? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ UNO DEI PROBLEMI CRUCIALI DELL'INSEGNANTE È CHE GLI ALLIEVI MANTENGANO NEL TEMPO QUANTO APPRESO. 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazioni ed automatismi QUAL È IN TERMINI DI ENERGIA E DI TEMPO IL "COSTO" DELL'ESERCITAZIONE? A COSA DOBBIAMO RINUNCIARE PER DISPORRE DI UN TEMPO ADEGUATO PER LA "MECCANICIZZAZIONE" DEGLI APPRENDIMENTI? QUAL È LA RELAZIONE TRA ESERCITAZIONI E AUTOMATISMI? FINO A CHE PUNTO È NECESSARIO ESERCITARE UNA DETERMINATA CONOSCENZA? QUALI SONO LE PRIORITÀ RISPETTO A QUANTO PREVEDONO I PROGRAMMI? LIMITIAMO L'ESERCITAZIONE AGLI OBIETTIVI DI PADRONANZA? PER RISPONDERE È NECESSARIO DISTINGUERE IL MOMENTO DELL'APPRENDIMENTO DAL MOMENTO DELL'ESERCITAZIONE. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

SIAMO DI FRONTE A TEORIE DIVERSE DELL'APPRENDIMENTO Esercitazione ed apprendimento SE L'OBIETTIVO È "IMPARA AD IMPARARE", QUANDO L'ACCENTO È MESSO SUL COME, L'ESERCITAZIONE, INTESA COME MECCANICIZZAZIONE, ASSUME UN RUOLO SECONDARIO. SE IL MODELLO DI APPRENDIMENTO È QUANTITATIVO, COLLEGATO PIÙ ALLA TRASMISSIONE DELLE CONOSCENZE CHE ALLA SCOPERTA, ACCENTO MESSO SUL COSA, ALLORA L'ESERCITAZIONE È DETERMINANTE. SIAMO DI FRONTE A TEORIE DIVERSE DELL'APPRENDIMENTO ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione ed apprendimento LA SOLUZIONE È UNA MEDIAZIONE DOVE RICERCA E SCOPERTA NON PENALIZZANO L'APPRENDIMENTO DI ALCUNI AUTOMATISMI INDISPENSABILI E L'ESERCITAZIONE NON DIVENTI OSSESSIVA AL PUNTO DA RIDURRE GLI ALLIEVI A SEMPLICI ESECUTORI. LA SCUOLA CHIEDE AGLI ALLIEVI FLESSIBILITÀ PRONTI A NUOVI CONTENUTI ED APPRENDIMENTI. INOLTRE L'ESERCITARSI IN MODO RIGIDO MECCANICO ARRISCHIA DI DIVENTARE L'OSTACOLO DI NUOVI APPRENDIMENTI. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione ed apprendimento L'ESERCITAZIONE NON HA SOLO LO SCOPO DI PORTARE L'ALLIEVO ALL'ACQUISIZIONE DI AUTOMATISMI, DI TECNICHE, ESSA È ESSENZIALE PER IL PROCESSO DI TRANSFERT E PER LA GENERALIZZAZIONE DELLE CONOSCENZE. LA GENERALIZZAZIONE PERMETTE L'ESTENSIONE DI UN CONCETTO O DI UNA PROCEDURA IL TRANSFERT PERMETTE L'ESTENSIONE DI UN APPRENDIMENTO SU UN ALTRO COMPITO (vedi apprendimento della frazione in relazione al numero decimale). ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione ed apprendimento ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione generalizzazione e automatismi LO SCOPO DELL'AUTOMATISMO È DI LIBERARE SPAZIO NELLA MEMORIA DI LAVORO, SOPRATTUTTO DURANTE LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA. L'ESERCITAZIONE PER ACQUISIRE UN AUTOMATISMO STRUMENTALE O PROCEDURALE È NECESSARIA DOVE SERVE AGLI ALLIEVI GRANDE EFFICACIA E RAPIDITÀ DI RISPOSTA ( tabelline e calcolo elementare). COSA DEVE ESSERE AUTOMATIZZATO? QUANDO CIÒ DEVE AVVENIRE? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione generalizzazione e automatismi MOLTI DOCENTI DOPO LA FASE D'APPRENDIMENTO SI ATTENDONO DAGLI ALLIEVI RISPOSTE IMMEDIATE COME SE AVESSERO GIÀ AUTOMATIZZATO DELLE CONOSCENZE. INVECE LE CONOSCENZE SONO ANCORA "FRAGILI" E LE RISPOSTE DEGLI ALLIEVI POSSONO CONTENERE ANCORA ERRORI O MANIFESTARE ESITAZIONI ED INSICUREZZE. ALLORA SI DANNO DELLE ESERCITAZIONI MECCANICHE CON IL FINE DI OTTENERE RISPOSTE IMMEDIATE (apprendimento delle operazioni scritte e delle trasformazioni delle misure). ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione generalizzazione e automatismi MODELLO D'APPRENDIMENTO NOI PENSIAMO CHE VADANO DEFINITI NEL CORSO DELL'ANNO QUALI APPRENDIMENTI NECESSITANO DI ESSERE AUTOMATIZZATI E QUALI INVECE NON RICHIEDONO UN TALE LIVELLO DI PADRONANZA. NOI CREDIAMO CHE TRA LA FASE DI APPRENDIMENTO E L'AUTOMATIZZAZIONE DI UNA TECNICA DEBBA TRASCORRERE DEL TEMPO, A VOLTE RAGGUARDEVOLE. IN QUESTO PERIODO L'ALLIEVO DEVE AVERE LA POSSIBILITÀ DI GENERALIZZARE E CONSOLIDARE UN APPRENDIMENTO IN RAPPORTO SOPRATTUTTO AL SENSO CHE ESSO VIENE AD ASSUMERE PER LUI. IN QUESTA FASE L'ESERCITAZIONE È INDISPENSABILE 07/04/2017 Corso DIMAT

Esercitazione generalizzazione e automatismi IL MODELLO PRECEDENTE VA COSI' MODIFICATO: ? = NECESSITÀ PER IL DOCENTE DI CHIEDERSI : SI TRATTA DI UN OGGETTO CHE DEVE ESSERE AUTOMATIZZATO? FINO A CHE LIVELLO DI PADRONANZA? 07/04/2017 Corso DIMAT

ESERCITAZIONE (di tipo A) E GENERALIZZAZIONE IL PROCESSO DI GENERALIZZAZIONE METTE L'ALLIEVO DI FRONTE A SITUAZIONI DIVERSE DA QUELLE NELLE QUALI UN PARTICOLARE SAPERE È STATO APPRESO, LAVORATO, SCOPERTO, ANALIZZATO. LA GENERALIZZAZIONE SI FONDA SU UN PROCESSO CONTINUO DI DECONTESTUALIZZAZIONE E RICONTESTUALIZZAZIONE DELLE CONOSCENZE, PROCESSO NEL QUALE SONO DETERMINANTI LE CONOSCENZE SPECIFICHE DEGLI ALLIEVI. LE OCCASIONI MIGLIORI PER FAVORIRE LA GENERALIZZAZIONE DEGLI APPRENDIMENTI SONO LE SITUAZIONI (ESERCITAZIONI DI TIPO A). LE SITUAZIONI RAPPRESENTANO UN MOMENTO IMPORTANTE DI ESERCITAZIONE CON UN DUPLICE OBIETTIVO: PERMETTERE AGLI ALLIEVI DI AFFINARE, REGOLARE, MIGLIORARE LE NUOVE CONOSCENZE FAVORIRE E PERMETTERE LA GENERALIZZAZIONE DEL SAPERE (concetti e procedure in particolare). 07/04/2017 Corso DIMAT

ESERCITAZIONI (di tipo B) E AUTOMATISMI LA GENERALLIZZAZIONE AVVIENE ATTRAVERSO UNA ESERCITAZIONE CHE IMPLICA DUE VARIABILI: LE CONOSCENZE SPECIFICHE E I CAMPI D'APPLICAZIONE. PER GLI AUTOMATISMI LE MODALITÀ DI APPRENDIMENTO CAMBIANO NOTEVOLMENTE. NELL'APPRENDIMENTO DI UN AUTOMATISMO (algoritmo della moltiplicazione) NON SI LAVORA PIÙ SUL SENSO DELL'OPERAZIONE, MA SUL SIGNIFICATO DELL'ALGORITMO E SUL MODO MIGLIORE PER APPRENDERLO. (Profili d'apprendimento) 07/04/2017 Corso DIMAT

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE TRE ASPETTI ESSENZIALI: LA DIMENSIONE TEMPORALE: È NECESSARIO LASCIARE UN TEMPO IMPORTANTE TRA IL PROCESSO DI APPRENDIMENTO, DI GENERALIZZAZIONE E LA FASE DI APPRENDIMENTO DELL'AUTOMATISMO. LA SCELTA DEL DOCENTE: IL DOCENTE DEVE SCEGLIERE QUALI SONO GLI APPRENDIMENTI CHE VANNO AUTOMATIZZATI 07/04/2017 Corso DIMAT

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 07/04/2017 Corso DIMAT

Le situazioni additive

I tre problemi Ci sono 4 ragazzi e 7 ragazze attorno ad un tavolo. Quante persone ci sono in tutto? Giovanni regala a sua sorella 4 figurine. Adesso ha 11 figurine. Quante ne aveva prima? Roberto ha fatto due partite alle biglie. Nella prima partita ha perso 4 biglie. Poi ha giocato una seconda partita. In tutto adesso ha vinto 7 biglie. Cosa è successo durante la seconda partita? 4 + 7 = 11

Cause della differente difficoltà delle situazioni problematiche Facilità più o meno grande del calcolo numerico necessario Ordine e presentazione delle informazioni Tipo di contenuto e dominio delle relazioni considerate Fattori legati al calcolo relazionale

Tipologie di problemi Misura – stato: espressa da numeri naturali: Misurare = contare = trovare il cardinale dell’insieme Trasformazione: cambiamento di stato che avviene nel tempo. Espressa da numeri relativi Relazione statica: collega elementi simultanei della realtà

Sei grandi categorie di relazioni additive Due misure si compongono per dare una misura Una trasformazione opera su una misura per dare una misura Una relazione collega due misure Due trasformazioni si compongono per dare una trasformazione Una trasformazione opera su uno stato relativo per dare uno stato relativo Due stati relativi si compongono per dare uno stato relativo

Analisi della seconda categoria di relazioni additive Una trasformazione opera su una misura (stato) per dare una misura (stato) a c b 6 classi di problemi a seconda: del valore positivo o negativo della trasformazione della domanda (se verte su stato finale, su trasformazione o su stato iniziale)

6 grandi classi di problemi la domanda verte su Marco ha 4 biglie. Gioca una partita e ne vince 6. Quante biglie ha dopo la partita 3. Claudio ha 5 biglie. Gioca una partita. Dopo la partita ha 9 biglie. Cosa è successo durante la partita? Alex gioca una partita alle biglie e vince 4 biglie. Dopo la partita ha 12 biglie. Quante ne aveva prima della partita? B<0 1. Pietro ha 6 biglie. Gioca una partita e perde 4 biglie. Quante biglie ha dopo la partita? Paul ha finito di giocare una partita e ha 8 biglie. Prima della partita ne aveva 14. Cosa è successo? 2. Mauro gioca una partita alle biglie e perde 7 biglie. Dopo la partita ha 3 biglie. Quante biglie aveva prima della partita?

Due misure si compongono per dare una misura Franco ha 6 biglie di vetro e 8 biglie di acciaio. In tutto ha 14 biglie

Una trasformazione opera su una misura per dare una misura Franco prima di iniziare a giocare aveva 7 biglie. Ne ha perse 4. Ora ne ha 3.

Una relazione collega due misure Franco ha 8 biglie. Anna ne ha 5 in meno. Quindi ha 3 biglie.

Due trasformazioni si compongono per dare una trasformazione Franco ieri ha vinto 6 biglie e oggi ne ha perse 9. In tutto ne ha perse 3

Franco doveva 6 biglie a Anna. Una trasformazione opera su uno stato relativo per dare uno stato relativo Franco doveva 6 biglie a Anna. Gliene restituisce 4. Gliene deve ancora 2.

Due stati relativi si compongono per dare uno stato relativo Franco deve 6 biglie a Anna, ma Anna gliene deve 4. Franco deve dunque 2 biglie a Anna.

Analisi della seconda categoria Se l’incognita è lo stato finale c il calcolo relazionale è più semplice: se b>0 la trasformazione è diretta. Per la soluzione occorre un’addizione che è sempre possibile Se b<0 occorre una sottrazione. È possibile se il valore iniziale è sufficientemente grande

Analisi della seconda categoria Se l’incognita è la trasformazione b sono implicate due procedure di soluzione: Differenza=ricerca del valore della trasformazione tramite sottrazione tra stato iniziale e stato finale Complemento= ricerca, senza eseguire sottrazioni, di ciò che occorre aggiungere o togliere allo stato iniziale per ottenere lo stato finale. Non richiede calcolo relazionale complesso, è usata precocemente È possibile solo con numeri piccoli che si prestano al calcolo mentale

Analisi della seconda categoria Se l’incognita è lo stato iniziale a, calcolo razionale ancora più complesso. Soluzione canonica: Se b fa passare da a a c, allora –b fa passare da c a a: quindi occorre applicare c - b per trovare a Alternative alla soluzione canonica: Complemento: ricerca diretta di ciò che si deve aggiungere a b per trovare c può essere applicato se la trasformazione è positiva e quando i numeri si prestano al calcolo mentale. Stato iniziale ipotetico: prendere per ipotesi uno stato iniziale e applicare la trasformazione per trovare lo stato finale e correggere l’ipotesi di partenza confrontando il risultato ottenuto con lo stato finale del problema.

Indicazioni bibliografiche Vergnaud G., Il bambino, la matematica, la realtà, Armando ed, Roma 1994 (trad.it) Nunes t., Bryant P.(1996), Children Doing Mathematics, Blackwell Publishers, Oxford

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