Corso di logica matematica Prima lezione

Antinomie logiche e semantiche. Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di Russel. A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se stessi come elemento.

Antinomia semantica “ IO STO MENTENDO”. Se egli mente dice la verità; Un uomo dice “ IO STO MENTENDO”. Se egli mente dice la verità; se dice il vero, mente.

La frase scritta sulla diapositiva successiva è falsa

La frase scritta sulla diapositiva precedente è vera

Uno dei compiti della logica matematica è quello di determinare il corretto uso dei simboli e delle loro combinazioni per accertare che cosa si può dimostrare usando assiomi e regole di inferenza.

Il calcolo proposizionale: connettivi proposizionali e Tavole di verità Consideriamo solo combinazioni vero-funzionali , nelle quali la verità o la falsità della nuova proposizione è determinata dalla verità o falsità delle proposizioni che concorrono a formarla.

Negazione A A V F F V

Congiunzione A B AB V V V V F F F V F F F F

Forme enunciative. 1)Tutte le lettere enunciative, eventualmente con indice numerico, sono forme enunciative (A, B, C, A1, B2...); 2)SE  e  sono forme enunciative, allora lo sono anche (), (), (), () e (). Sono forme enunciative solo quelle espressioni determinate per mezzo della 1) e della 2).

Ciascuna forma enunciativa determina una funzione di verità che può essere rappresentata graficamente da una tavola di verità per la forma enunciativa.

A B C (A) ((A)B) (((A)B)C) V V V F V V F V V V V V V F V F F V F F V V V V V V F F V F F V F V V F V F F F F V F F F V V F

Tautologie Una forma enunciativa è una tautologia se e solo se la sua funzione di verità ha solo il valore V.

Se  è una tautologia , si dice che  implica logicamente  oppure che  è una conseguenza logica di . Se  è una tautologia, si dice che  e  sono logicamente equivalenti. Le tavole di verità costituiscono una procedura effettiva che ci permette di determinare se una forma enunciativa è una tautologia. Una forma enunciativa è una contraddizione se la sua funzione di verità ha solo il valore F.

Proposizione 1.1 Se  e () sono tautologie, allora anche  è una tautologia.

Proposizione 1.2 Se  è una tautologia contenente come lettere enunciative A1, A2,...,An, e  si ottiene da  per sostituzione di A1, A2,...,An con, rispettivamente, forme enunciative 1, 2,..., n, allora  è una tautologia

Proposizione 1.3 Se 1 deriva da 1 per sostituzione di  a una o più occorrenze di , allora (()  (11)) è una tautologia . Quindi, se  e  sono logicamente equivalenti, lo sono anche 1 e 1.

Proposizione 1.4 Ogni funzione di verità è generata da una forma enunciativa in cui occorrono i connettivi , , .

x1 x2 x3 F(x1,x2,x3) V V V V  ABC F V V F V F V V  ABC F F V V  ABC V V F F F V F F V F F F F F F V  ABC (ABC)  (ABC)  (ABC)  (ABC).

Forma normale disgiuntiva Una forma enunciativa scritta come disgiunzioni di congiunzioni di lettere enunciative o delle loro negazioni è in forma normale disgiuntiva. Da quanto si è visto, ogni forma enunciativa può essere scritta in forma normale disgiuntiva