Equazioni e disequazioni

Le equazioni Una uguaglianza tra espressioni letterali che risulta vera per ogni valore delle lettere che vi compaiono prende il nome di identità. 2a=2a (a+b)(a-b)=a2-b2 Una uguaglianza tra espressioni letterali che risulta vera o meno, a seconda dei valori attribuiti alle variabili che vi compaiono prende il nome di equazione. x=1 x2=4

Le equazioni Se in una equazione è presente una sola lettera essa assume il ruolo di incognita e l’obbiettivo è determinarne i valori che rendono vera l’uguaglianza. Se in una equazione sono presenti più lettere sarà necessario precisare quale assume il ruolo di incognita. Le altre lettere si chiameranno parametri.

Le equazioni Intere  se sono uguaglianze tra polinomi Fratte  se l’incognita figura al denominatore Numeriche  se compare una sola variabile. Letterali  se compaiono più lettere.

Le equazioni Si dice soluzione di una equazione ogni numero che sostituito al posto dell’incognita trasforma l’equazione in una identità. Una equazione può avere: Nessuna soluzione  si dice impossibile Soluzioni finite  si dice determinata Infinite soluzioni  si dice indeterminata

Principi di equivalenza Per risolvere una equazione, cioè determinarne le soluzioni, si applicano due principi di equivalenza: Addizionando o sottraendo a entrambe i membri dell’equazione uno stesso temine (numero o espressione contenente l’incognita che risulti definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Principi di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambe i membri dell’equazione per uno stesso temine (numero diverso da zero o espressione contenente l’incognita che risulti definita e non nulla per ogni valore dell’incognita) si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Principi di equivalenza Come conseguenza si ha che: si può spostare un addendo da un membro all’altro cambiandogli il segno, se uno stesso addendo compare in entrambe i membri esso può essere semplificato, è possibile cambiare il segno ad entrambe i membri, se i due membri sono costituiti da prodotti aventi un fattore comune esso può essere semplificato, ottenendo equazioni equivalenti

Sono equazioni numeriche intere in cui l’incognita ha grado 1. Equazioni lineari Sono equazioni numeriche intere in cui l’incognita ha grado 1. La forma normale è ax=b. Se a=0 e b≠0 l’equazione è impossibile Se a=0 e b=0 l’equazione è indeterminata. Se a ≠0 e b≠0 l’equazione ha una sola soluzione x=b/a

Equazioni lineari Per risolvere un’equazione lineari è necessario: Eseguire tutte le operazioni presenti nei due membri ed eventuali semplificazioni Applicare i principi di equivalenza in modo da trasportare tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e gli altri al secondo membro Semplificare in modo da ricondurre l’equazione in forma normale Se a≠0 dividere ambo i membri per a.

Equazioni lineari x(x-1)-2(x+3)-4=x(x-4) -5(1-a)=3(a-2)+2a 2(y-2)-3y=-y-4

Equazioni lineari letterali Sono equazioni in cui l’incognita ha grado 1 e compaiono altre lettere oltre l’incognita. ax-2a=x+3 Si risolvono come quelle numeriche ma devo verificare che il coefficiente dell’incognita sia ≠0, altrimenti l’equazione è indeterminata o impossibile.

Equazioni lineari letterali Risolvere rispetto a x e rispetto ad a ax+2x-2a=4 𝑥 3−𝑏 +𝑥=1

Equazioni riconducibili al primo grado Equazioni fratte Discutere i denominatori individuando i valori dell’incognita per cui l’espressione perde significato Eseguire le operazioni nei due membri Applicare i principi di equivalenza in modo da trasformare l’equazione fratta in una intera Risolvere l’equazione intera Verificare che la soluzione trovata non appartenga all’insieme di valori non accettabili

Equazioni riconducibili al primo grado Equazioni fratte 1+ 5 𝑥−3 = 8−𝑥 𝑥−3 𝑎 𝑥−1 = 1 𝑎

Equazioni riconducibili al primo grado Se l’equazione è di grado superiore al primo ma è polinomiale è possibile scomporre in fattori il polinomio e applicare la legge di annullamento del prodotto. b2-3b=0 z3+z2-4z-4=0

Le disequazioni Una disuguaglianza tra espressioni letterali che risulta vera o meno, a seconda dei valori attribuiti alle variabili che vi compaiono prende il nome di disequazione. 2a ≤ 3a (a+b)(a-b) > a2

Le disequazioni Si dice soluzione di una disequazione ogni numero che sostituito al posto dell’incognita rende vera la disuguaglianza. Una disequazione può avere: Nessuna soluzione Soluzioni finite (espresse in termini di intervalli della retta reale) Infinite soluzioni

Principi di equivalenza Per risolvere una disequazione, cioè determinarne le soluzioni, si applicano due principi di equivalenza: Addizionando o sottraendo a entrambe i membri dell’equazione uno stesso temine (numero o espressione contenente l’incognita che risulti definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Principi di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambe i membri dell’equazione per uno stesso numero maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Moltiplicando o dividendo entrambe i membri dell’equazione per uno stesso numero minore di zero e cambiando il verso della disequazione si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Disequazioni lineari Per risolvere una disequazione lineare è necessario: Eseguire tutte le operazioni presenti nei due membri ed eventuali semplificazioni Applicare opportunamente i principi di equivalenza in modo che l’incognita compaia solo al primo membro e abbia coefficiente 1

Rappresentazione grafica delle soluzioni Disequazioni lineari Rappresentazione grafica delle soluzioni x>8 8 R

Disequazioni lineari 2(1-3x)-2<x+6 (x-2) 5−4𝑥 3 − 𝑥 6 >2− 4−𝑥 2

Disequazioni lineari letterali Sono disequazioni in cui l’incognita ha grado 1 e compaiono altre lettere oltre l’incognita. ax>1 Si risolvono come quelle numeriche ma quando divido per una espressione letterale devo verificare che sia non nulla e devo discuterne il segno.

Disequazioni lineari letterali Risolvere rispetto a x e rispetto ad a (a-1)x≤3(a-1) 𝑦 𝑏+2 > 𝑏 𝑏+2

Disequazioni riconducibili al primo grado Se la disequazione è di grado superiore al primo ma è riconducibile alla forma A(x) B(x) ≥ 0 allora è possibile determinarne le soluzioni studiando i segni dei singoli fattori da cui ricavare il segno complessivo. <

Disequazioni riconducibili al primo grado (x-7)(x+8) > 0 Devo trovare i valori di x che rendono positiva l’espressione. x-7>0  x>7 x+8>0  x>-8 + + - -8 7 R x<-8 o x >7

Disequazioni riconducibili al primo grado Disequazioni fratte Per poter risolvere le disequazioni fratte bisogna applicare opportunamente i principi di equivalenza in modo da trasformare la disequazione nella forma 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≥0 e poi si studiano i segni del numeratore e del denominatore per ricavare il segno complessivo. <

Disequazioni riconducibili al primo grado Disequazioni fratte 𝑎−2 𝑎+3 ≤0 Devo trovare i valori di a che rendono negativa o nulla l’espressione. a-2≥0  x ≥ 2 a+3>0  x>-3 + + - -3<x≤2 -3 2 R

Disequazioni riconducibili al primo grado 1−3𝑥 𝑥−2 ≥1 𝑎 2 −𝑎<0

Equazioni di secondo grado Sono equazioni numeriche intere in cui l’incognita compare con grado 2. La forma normale è ax2+bx+c=0. Se c=0 ax2+bx=0  x(ax+b)=0. c=0 ax2=0 Se b=0 c≠0 ax2+c=0

Equazioni di secondo grado Per risolvere un’equazione di secondo grado è necessario applicare i principi di equivalenza delle equazioni e ricondurre l’equazione alla forma normale (meglio se con a positivo). Poi applicare la formula 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Equazioni di secondo grado 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Se dentro la radice c’è: una quantità positiva l’equazione ammette due soluzioni distinte. zero l’equazione ammette due soluzioni coincidenti una quantità negativa, l’equazione non ha soluzione nell’insieme dei reali.

Equazioni di secondo grado (3x-4)2+2=1-(2x-1) 2 3𝑎−2 3𝑎+2 +9 𝑎 2 +4 10 =3𝑎− 5 4 𝑦∙ 𝑦−2 3 +4= 3𝑦+6 3

Equazioni di secondo grado letterali E’ necessario studiare per quali valori dei parametri l’equazione si abbassa di grado e per quali valori ammette soluzioni reali. ax2-(a+1)x+1=0

Equazioni riconducibili al secondo grado 𝑏− 3 𝑏+2 =0 𝑥 𝑥+𝑎 + 𝑎𝑥 𝑥−𝑎 = 𝑥 2 −𝑎𝑥 𝑥 2 − 𝑎 2 (z+1)(z2-2z+5)=0

Fattorizzazione di polinomi di secondo grado Un polinomio di secondo grado P(x) può essere scomposto in fattori determinando le soluzioni dell’equazione P(x)=0. Il polinomio può essere scritto come (x-x1)(x-x2). x2-4x+4 x2-6x+5

Disequazioni di secondo grado La forma normale è ax2+bx+c≥0. Per risolvere una disequazione di secondo grado è necessario applicare i principi di equivalenza delle disequazioni e ricondurre l’equazione alla forma normale (meglio se con a positivo). Risolvere l’equazione associata. <

Disequazioni di secondo grado Se l’equazione ha due soluzioni fattorizzare il polinomio e applicare i metodi delle disequazioni di primo grado. Se l’equazione ha una soluzione osservare che si scrive come quadrato di un binomio. Se l’equazione non ha soluzione significa che il polinomio è sempre positivo.

Disequazioni di secondo grado x2-4x-5<0 (x-5)(x+1)<0 + + - -1 5 R -1<x<5

Disequazioni di secondo grado x2-4x+4<0 (x-2)2<0 IMPOSSIBILE

Disequazioni di secondo grado x2-4x+4>0 (x-2)2>0 2 R R-{2}

Disequazioni di secondo grado x2-4x+10>0 R x2-4x+10<0 IMPOSSIBILE

Disequazioni riconducibili al secondo grado 1−3𝑥+ 𝑥 2 𝑥−2 ≥0 (𝑎 2 −𝑎+1)(𝑎+3)<0

I sistemi In matematica sono insiemi di relazioni (equazioni o disequazioni) che devono essere soddisfatte contemporaneamente. Risolvere un sistema significa trovare l’insieme dei valori delle incognite che vi compaiono tale che le relazioni componenti il sistema siano contemporaneamente soddisfatte.

Può accadere che il sistema non abbia soluzioni o può averne infinite. Sistemi lineari Sono sistemi di due o più equazioni di primo grado in due o più incognite. Si dice soluzione di un sistema con 2 (3,4, … n) incognite ogni coppia (terna, quaterna, … n-upla) che soddisfi ciascuna delle equazioni che lo costituiscono. Può accadere che il sistema non abbia soluzioni o può averne infinite.

Principi di equivalenza Sistemi lineari Principi di equivalenza Due sistemi si dicono equivalenti quando hanno le medesime soluzioni. E’ possibile trasformare un sistema lineare in uno equivalente usando i seguenti principi di equivalenza:

Principi di equivalenza Sistemi lineari Principi di equivalenza Sostituendo un’equazione del sistema con una equivalente si ottiene un sistema equivalente. Esplicitando un’equazione del sistema rispetto ad una variabile e sostituendo il risultato in un’altra equazione si ottiene un sistema equivalente.

Principi di equivalenza Sistemi lineari Principi di equivalenza Sostituendo un’equazione del sistema con la somma o sottrazione dell’equazione con un’altra del sistema stesso si ottiene un sistema equivalente.

Sistemi lineari in due incognite Metodo del confronto Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si uguagliano le espressioni ottenute. 𝑥+2𝑦=0 3𝑥+4𝑦=−1

Sistemi lineari in due incognite Metodo di riduzione Si usa il primo principio per fare in modo che i coefficienti della prima incognita siano opposti. Si usa il terzo principio sostituendo la seconda equazione con la somma delle due 𝑥+2𝑦=0 3𝑥+4𝑦=−1

Sistemi lineari in due incognite Se applicando i metodi risolutivi una delle equazioni si trasforma in una identità il sistema è indeterminato. 2𝑦−2𝑥=−4 𝑦=𝑥−2 Se applicando i metodi risolutivi una delle equazioni risulta impossibile allora l’intero sistema è impossibile. 3𝑥−3𝑦=2 6𝑦−6𝑥=0

Sistemi lineari in tre incognite Si possono applicare gli stessi metodi di risoluzione visti finora. 2𝑦−2𝑥+𝑧=−4 𝑦=𝑥−2 𝑥+2𝑦−2𝑧=−3 3𝑥−𝑦+𝑧=2 𝑦+𝑥−𝑧=1 2𝑦−2𝑥−3𝑧=0

Sistemi di disequazioni Si risolvono le singole disequazioni in un’incognita che lo compongono e si cercano le soluzioni comuni. 𝑥+3>0 𝑥−2<0 x > -3 x < 2 -3 2 R -3<x<2

Sistemi di disequazioni 𝑥+3>0 𝑥−2<0 𝑥+3>0 𝑥−2>0 𝑥−7<0 𝑥+2 𝑥 2 −3≥0 𝑥+1>0 1 𝑥 ≥1 𝑥+1>0

Equazioni irrazionali Sono equazioni in cui l’incognita compare sotto radice. 𝑥+1 =3−2𝑥 3+ 3 𝑥 =2𝑥−5 𝑥+1 = 3−2𝑥 3- 3 2+4𝑥 =2𝑥

Equazioni irrazionali E’ bene disporre le radici nei due membri in modo che siano precedute dal segno +. La radice si intende positiva a meno che non sia preceduta da –.

Equazioni irrazionali Radici di indice pari La radice deve esistere (argomento ≥0). Ricordare che la radice si intende positiva a meno che non sia preceduta da –. Elevare a potenza per eleminare le radici. Eseguire i calcoli o reiterare il processo.

Equazioni irrazionali Esercizi 𝑥 2 +𝑥 =3−𝑥 𝑥−2 =5𝑥−5 𝑥 =− 𝑥 2 −1 3−𝑥 2 =1

Equazioni irrazionali Esercizi 3−2𝑥 =− 𝑥 2 +3 3 𝑥−𝑥 2 =2 𝑥 1 2 4−𝑥 = 4−𝑥 − 1−2𝑥

Equazioni irrazionali Radici di indice dispari Elevare a potenza per eleminare le radici. Eseguire i calcoli o reiterare il processo.

Equazioni irrazionali Esercizi 3 𝑥 3 +2 −𝑥=1 3 (𝑥−3)(𝑥−1) = 3 (𝑥−2)(𝑥+2)

Equazioni irrazionali fratte L’incognita si trova sotto radice e al denominatore di una frazione algebrica. 2 𝑥 =𝑥 E’ necessario discutere le radici pari ed i denominatori.

Equazioni irrazionali fratte Esercizi 𝑥−1 + 1 𝑥−1 = 𝑥 𝑥−1 𝑥+2 3 𝑥 3 +2 =1

Disequazioni irrazionali Sono disequazioni in cui l’incognita compare sotto radice. Consideriamo solo il caso in cui compare un solo radicale.

Disequazioni irrazionali Caso 1 𝑓 𝑥 > 𝑛 𝑔(𝑥) n dispari  si eleva a potenza n n pari  𝑔(𝑥)≥0 𝑓 𝑥 >0 [𝑓(𝑥)] 𝑛 >𝑔(𝑥)

Disequazioni irrazionali Caso 2 𝑓 𝑥 < 𝑛 𝑔(𝑥) n dispari  si eleva a potenza n n pari  𝑔(𝑥)≥0 𝑓 𝑥 >0 [𝑓(𝑥)] 𝑛 <𝑔(𝑥) oppure 𝑔(𝑥)≥0 𝑓 𝑥 <0

Disequazioni irrazionali Esercizi 𝑥−2 𝑥+1 <1 𝑥 2 +7𝑥 <𝑥−2 3 𝑥+3 +1≥0

Disequazioni irrazionali Esercizi 2+ 4−𝑥 >𝑥 3 1+ 𝑥 3 <𝑥+1 3 𝑥−3 >4

Equazioni con valori assoluti Sono equazioni in cui l’incognita compare dentro il simbolo di valore assoluto. 𝑥+2 =3−6𝑥 −𝑥+3 = 2−5𝑥 +2

Equazioni con valori assoluti Ricordiamo che |x|= 𝑥 𝑠𝑒 𝑥≥0 −𝑥 𝑠𝑒 𝑥<0 E’ necessario discutere gli argomenti dei valori assoluti e risolvere le equazioni nei vari casi che si presentano.

Equazioni con valori assoluti L’equazione contiene un valore assoluto |f(x)|=g(x) Si presentano i due casi f(x)≥0 e f(x)<0. Le soluzioni dell’equazione saranno le soluzioni di: 𝑓(𝑥)≥0 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥) oppure 𝑓 𝑥 <0 −𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥)

Equazioni con valori assoluti L’equazione contiene due valori assoluti. |f(x)|=|g(x)| Si presentano 4 casi: f(x) e g(x) ≥0 f(x) e g(x) <0 f(x) ≥0 e g(x)<0 f(x)<0 e g(x) ≥0

Equazioni con valori assoluti Esercizi 2𝑥−3 =𝑥+4 𝑥−2 =−5 𝑥 2 +𝑥 =0 4+𝑥 =|5−2𝑥|+7𝑥

Disequazioni con valori assoluti Sono disequazioni in cui l’incognita compare dento il simbolo di valore assoluto. Si esaminano i vari casi e si risolvono le disequazioni che ne derivano. La soluzione sarà data dall’unione degli insiemi di soluzioni di tutti i casi considerati.

Disequazioni con valori assoluti Esempio |𝑓 𝑥 |>𝑘 𝑓 𝑥 ≥0 𝑓 𝑥 >𝑘 oppure 𝑓 𝑥 <0 −𝑓 𝑥 >𝑘

Disequazioni con valori assoluti Esercizi 𝑥 2 −4 >−3 𝑥 2 +1 <−1 𝑥 2 +1 <1 3+2𝑥 <4

Disequazioni con valori assoluti Esercizi 𝑥 2 −4 <5 3+ −𝑥+1 + 𝑥 2 −6 >0 𝑥−1 + 𝑥−6 <0

Disequazioni con valori assoluti Esercizi 3+2𝑥 𝑥 2 +2 <1 2−3𝑥 2+|3𝑥| >0 4−3𝑥 2−|3𝑥| >0