x 3 / 5 - 4 + = 1 8 6 : Numero razionale Classe di equivalenza Q+ e rappresentazione sulla semiretta Operazione nell’insieme dei razionali positivi Addizione Sottrazione problemi Moltiplicazione espressioni Divisione Potenza

x 3 / 5 - 4 + = 1 8 6 : Numero razionale Classe di equivalenza Q+ e rappresentazione sulla semiretta Operazione nell’insieme dei razionali positivi Addizione Sottrazione problemi Moltiplicazione espressioni Divisione Potenza

CLASSE DI EQUIVALENZA NUMERO RAZIONALE CLASSE DI EQUIVALENZA

Q+ N 4:3= / / 4:3= ! Q+ è un ampliamento di N, inoltre offre un importante vantaggio: LA DIVISIONE DIVENTA SEMPRE POSSIBILE

! u 1 punto sulla semiretta Infinite frazioni equivalenti 1 numero razionale

Addizione CASO A 1 unità = ! a b c - + =

Addizione - - ! 1 4 Ridurre ai minimi termini; CASO B - - Ridurre ai minimi termini; Trasformare le frazioni in frazioni equivalenti a quelle date, ma con lo stesso denominatore (m.c.d.). 4 ! PER ADDIZIONARE DUE O PIÚ FRAZIONI CON DIVERSO DENOMINATORE, SI RIDUCONO AL MINIMO COMUN DENOMINATORE, POI SI ADDIZIONANO TRA LORO I RISPETTIVI NUMERATORI.

PER DENOMINATORE QUELLO DELLA FRAZIONE PROPRIA; Addizione CASO PARTICOLARE: somma di un numero naturale con una frazione propria. Frazione impropria Numero misto UN NUMERO MISTO PUÓ ESSERE SEMPRE TRASFORMATO IN UNA FRAZIONE IMPROPRIA AVENTE: PER DENOMINATORE QUELLO DELLA FRAZIONE PROPRIA; PER NUMERATORE LA SOMMA TRA IL PRODOTTO DELLA PARTE INTERA PER IL DENOMINATORE E IL NUMARATORE DELLA FRAZIONE PROPRIA. !

Addizione a b c d - + = commutativa associativa a b c d - + = e f ( ) PROPRIETÀ a b c d - + = commutativa associativa a b c d - + = e f ( ) elemento neutro

Sottrazione CASO A In Q+ è valida se a/b ≥ c/d 1 unità ! a b c - =

Sottrazione - - ! 1 4 Ridurre ai minimi termini; CASO B - - 4 Ridurre ai minimi termini; Trasformare le frazioni in frazioni equivalenti a quelle date, ma con lo stesso denominatore (m.c.d.). ! PER SOTTRARRE DUE O PIÚ FRAZIONI CON DIVERSO DENOMINATORE SI RIDUCONO AL MINIMO COMUN DENOMINATORE, POI SI SOTTRAGGONO TRA LORO I RISPETTIVI NUMERATORI.

Sottrazione CASO PARTICOLARE: differenza fra l’unità e una frazione propria. 1 ! DATA UNA FRAZIONE PROPRIA, SI CHIAMA FRAZIONE COMPLEMENTARE UNA FRAZIONE CHE, ADDIZIONATA A QUELLA DATA, DÀ L’INTERO.

Sottrazione PROPRIETÀ invariantiva ! a b c d - = + e f ( )

Moltiplicazione - - ! a b c d - x =

MOLTIPLICANDO UNA FRAZIONE PER LA SUA INVERSA IL RISULTATO È L’UNITÀ Moltiplicazione CASO PARTICOLARE: frazione reciproca o inversa.. 1 1 - - 1 - - 1 ! MOLTIPLICANDO UNA FRAZIONE PER LA SUA INVERSA IL RISULTATO È L’UNITÀ

Moltiplicazione a b c d - x = commutativa associativa a b c d - x = e PROPRIETÀ a b c d - x = commutativa oppure associativa a b c d - x = e f ( ) distributiva a b c d - x = + e f ( ) oppure elemento neutro a b - x 1 = a b - x = elemento nullo

Divisione Vale anche negli altri casi? ! a b c d - : = x

Divisione CASO PARTICOLARE. INDETERMINATA IMPOSSIBILE

Divisione CASO PARTICOLARE: in Q+ il quoziente è sempre minore o uguale al dividendo? < UNITA’

Divisione invariantiva a b c d - : = x e f ( ) distributiva a b c d - PROPRIETÀ invariantiva a b c d - : = x e f ( ) distributiva oppure a b c d - + = : e f ( )

Potenza esponente base ! a b - ( ) n =

Potenza ! Basta poco per avere significati differenti

Potenza PROPRIETÀ stessa base potenza stesso esponente

Espressioni SEMPLIFICARE RENDE PIÙ FACILI I CALCOLI 68 44 15 15 4 8 3 2