Storia degli Algoritmi Numerici UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “Parthenope” Eseguito da: Nicola De Pasquale Matr. TEC/R003 Relatore: prof. Francesca Perla Anno Accademico 2004/05

Esiste una procedura per trovare tutti i numeri primi? Al momento non si è trovato alcuna procedura Si sa solo che i numeri primi sono infiniti, siccome MCD(n; n+1)=1

Numeri primi Ogni numero N>1 o è primo, oppure è prodotto di fattori primi distinti, ciascuno preso col suo esponente; La scomposizione in fattori primi è unica, a meno dell’ordine dei fattori.

Come trovare il Massimo Comune Divisore tra due numeri MCD=? Mediante l’Algoritmo di Euclide, Eseguendo divisioni successive (tra numeri interi) del tipo: a=bq+r, ponendo (per comodità) a>b>0.

Algoritmo di Euclide a=bq+r Chiamando a=r-1, b=r0, r=r1 e q=q1, si ha: Al primo passo: r-1=r0q1+r1; Al secondo passo: r0=r1q2+r2; Al terzo passo: r1=r2q3+r3; Al penultimo passo: rn-2=rn-1qn+rn; All’ultimo passo: rn-1=rnqn+1, Perché rn+1=0, allora MCD(a;b)=rn.

Algoritmo di Euclide Riepilogando: MCD(a;b) è l’ultimo resto non nullo della divisione iterativa tra i numeri a e b. In generale, si ha: ri-1=riqi+1+ri+1; Per i=0,…,n e con rn+1=0.

Algoritmo di Euclide Esempio: Trovare MCD(30030; 1224); Mediante l’Algoritmo di Euclide si opera al seguente modo: 30030=1224.24+654; 1224=654.1+570; 654=570.1+84; 570=84.6+66; 84=66.1+18; 66=18.3+12; 18=12.1+6; 12=6.2+0, o meglio 12=6.2. L’ultimo resto non nullo è 6, quindi 6=MCD(30030; 1224).

Crivello di Eratostene Dato un numero N, per verificare che esso sia primo, basta che nessuno dei numeri primi minori o uguali della parte intera della sua radice quadrata divida N In simboli: N primo   p primo N : p/N

Crivello di Eratostene Eratostene è stato molto geniale, perché mediante il suo algoritmo non è necessario ricercare tra tutti i numeri N se il numero N sia primo, ma solo in una parte più piccola, selezionando così la ricerca dei fattori che potrebbero scomporre il numero o i numeri da noi cercati.

Crivello di Eratostene Esempio: Cercare tra i numeri 2 N100 quali sono primi: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crivello di Eratostene Dapprima si segnano i numeri divisibili per 2 (escluso il numero 2 stesso): 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crivello di Eratostene Successivamente si segnano i numeri divisibili per 3 (escluso il numero 3 stesso) che non abbiamo già tolto: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crivello di Eratostene Dopodiché si segnano i numeri divisibili per 5 (escluso il numero 5 stesso) che non abbiamo già tolto: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crivello di Eratostene Al passo successivo si segnano i numeri divisibili per 7 (escluso il numero 7 stesso) che non abbiamo già tolto: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crivello di Eratostene Ora potremmo fare la stessa operazione, per il numero 11, ma non ha senso perché 100=10, e quindi 11>10=100, perché tutti i fattori multipli di 11 che avremmo dovuto eliminare (22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) sono già stati eliminati ai passi precedenti; La stessa cosa vale per i numeri 13, 17, ecc.

Crivello di Eratostene Depennando i numeri multipli di 2, 3, 5 e 7 (esclusi i numeri 2, 3, 5 e 7), si ottengono tutti i numeri primi 100 Essi sono, quindi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Crivello di Eratostene Esempio: Provare se il numero 127 è primo: 127=11,269427…, e quindi 127=11 Occorre, perciò, cercare solo tra i numeri primi 11, che sono: 2, 3, 5, 7 e 11; Dividere 127 per ciascuno di tali numeri; Se 127 non è multiplo di alcuno di questi numeri, allora 127 è primo.

Crivello di Eratostene 127=63.2+1, quindi 127 non è divisibile per 2; 127=42.3+1, quindi 127 non è divisibile per 3; 127=25.5+2, quindi 127 non è divisibile per 5; 127=18.7+1, quindi 127 non è divisibile per 7; 127=11.11+6, quindi 127 non è divisibile per 11. 127 è quindi un numero primo non essendo multiplo di alcuno di questi numeri primi.

Crivello di Eratostene In teoria il Crivello di Eratostene ci permette di conoscere tutti i numeri primi, perché operando di quadrato in quadrato si trovano i numeri primi in quell’intervallo: Nel primo intervallo: 1<N2, si ha che 2 è numero primo; Nel secondo intervallo: 2<N4, si ha che 3 è numero primo;

Crivello di Eratostene Nel terzo intervallo: 4<N16, si ha che 5, 7, 11 e 13 sono numeri primi; Nel quarto intervallo: 16<N256, si ha che 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241 e 251 sono numeri primi;

Crivello di Eratostene Nel quinto intervallo ne troveremmo altri, così come nel sesto, e così via. Tuttavia ad un certo punto ci dobbiamo fermare da un lato perché i numeri primi sono infiniti, dall’altro perché i calcoli con un numero elevato di cifre sono difficili, se non umanamente impossibili e, talvolta, noiosi.

Distribuzione dei numeri primi Prima dell’avvento dei Computer le tavole dei numeri primi impiegavano parecchie pagine, oggi sono immagazzinate in forma compatta. Si codificano i numeri dispari al seguente modo: 0 se il numero è composto, 1 se il numero è primo.

Distribuzione dei numeri primi Esempio: Scrivo nella riga di sopra la tavola dei numeri dispari da 1 a 50 e nella riga di sotto sotto indico a seconda dei casi la cifra 0 oppure 1: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0

Distribuzione dei numeri primi A questo punto ottengo le sequenze: 01110, 11011, 01001, 10010 e 11010 Per semplicità di rappresentazione posso eliminare da ciascuna delle sequenze ottenute il termine centrale (quello multiplo di 5) Ottengo così le sequenze: 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110.

Distribuzione dei numeri primi Ciascuno dei numeri 0110, 1111, 0101, 1010 e 1110, può assumere un unico carattere in base 16, ossia 6, F, 5, A, E. In questo modo sono descritti in forma compatta i numeri primi.

Criteri di divisibilità Come si fa a sapere se un numero è divisibile per un altro, senza effettuare la divisione?

Criteri di divisibilità I criteri di divisibilità (in base 10) per alcuni numeri particolari sono facilmente esprimibili, o vedendone l’ultima cifra, o sommando le cifre del numero o contando alternativamente le cifre del numero, ne espongo alcuni semplici criteri. Criterio di divisibilità per 2: un numero è divisibile per due, se è pari; ossia se l’ultima cifra è pari; ovvero se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8. Criterio di divisibilità per 3: un numero è divisibile per tre, se la somma delle sue cifre è ancora divisibile per tre. Criterio di divisibilità per 5: un numero è divisibile per cinque, se l’ultima sua cifra è 0 o 5. Criterio di divisibilità per 9: un numero è divisibile per nove, se la somma delle cifre è ancora multiplo di nove. Criterio di divisibilità per 10: un numero è divisibile per dieci, se l’ultima cifra è 0. Criterio di divisibilità per 11: un numero è divisibile per undici, se la somma delle cifre pari (a partire da destra) coincide con la somma delle cifre dispari, e se ciò non si verifica, se la differenza tra le cifre pari del numero e le cifre dispari è multiplo di undici.

Criteri di divisibilità Criteri di divisibilità (ricavabili dai criteri precedenti) Criterio di divisibilità per 4: un numero è divisibile per quattro, se le ultime due cifre (del numero) sono divisibili per quattro, ossia se la penultima cifra è pari l’ultima cifra deve essere 0, 4 o 8, mentre se la penultima cifra è dispari l’ultima cifra deve essere 2 o 6. Criterio di divisibilità per 6: un numero è divisibile per sei, se l’ultima sua cifra è pari e la somma delle sue cifre è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 8: un numero è divisibile per otto, se le ultime tre cifre (del numero) sono divisibili per otto. Criterio di divisibilità per 12: un numero è divisibile per dodici, se le ultime due sue cifre sono multiple di quattro e la somma delle cifre del numero è multiplo di tre. Criterio di divisibilità per 25: un numero è divisibile per venticinque se le ultime due sue cifre sono 00, 25, 50 o 75.

Criteri di divisibilità Per le potenze di 2, 5 e 10 si hanno dei criteri di divisibilità che valgono in generale: Criterio di divisibilità per 2k (ossia di una potenza di 2): un numero è divisibile per 2k, se le ultime k cifre sono multiple di 2k. Criterio di divisibilità per 5h (ossia di una potenza di 5): un numero è divisibile per 5h, se le ultime h cifre sono multiple di 5h. Criterio di divisibilità per 10n (ossia di una potenza di 10): un numero è divisibile per 10n, se le ultime n cifre sono tutte 0.

Criteri di divisibilità Talmud affermò che: Un numero della forma 100a+b è divisibile per 7  un numero della forma 2a+b è divisibile per 7. Esempio: 112=100.1+12; 14=2.1+12; 14 è divisibile per 7, quindi anche 112 lo è.

Criteri di divisibilità Secondo la matematica indiana: Un numero è divisibile per 9, se la somma delle sue cifre è anch’essa divisibile per 9. Questo criterio di divisibilità è oggi detto “prova del 9”

Criteri di divisibilità Fibonacci (1202): Criteri di divisibilità per 7 e per 11. Talkis di Ibn al Banna (circa 1250): Criteri di divisibilità per 7 e per 9. Nel XV secolo sono trovati criteri di divisibilità per 7 e per 9 per la verifica di operazioni aritmetiche.

Criteri di divisibilità Pierre Forcadel di Béziers (1556) affermò che: Scrivo il numero ed opero da sinistra verso destra. Moltiplico la prima cifra per 3 e sottraggo ad esso il più grande multiplo di 7 ( del prodotto ottenuto). Allora aggiungo al risultato la successiva cifra. Moltiplico di nuovo per 3, e così via. Se l’ultimo numero ottenuto è multiplo di 7, anche il numero preso in considerazione lo è.

Criteri di divisibilità Esempio: Proviamo per il numero 5845: 5.3=15, 15-2.7=1, 1+8=9, (a questo punto otteniamo il numero 945); 9.3=27, 27-3.7=6, 6+4=10, (a questo punto otteniamo il numero 105); 10.3=30 30-4.7=2, 2+5=7. 7 è multiplo di 7, e quindi anche 5845 lo è.

Criteri di divisibilità Blaise Pascal (1654) raccoglie tutti i Criteri di divisibilità, definendo una regola che vale in generale (ne parlerò in seguito nello specifico); Per sapere se un numero sia divisibile per p, abbiamo bisogno di conoscere il resto della divisioni delle varie potenze di 10 con p.

Criteri di divisibilità Fontanelle (1728) affermò che: Moltiplicando la prima cifra per 3, si aggiunge, poi, ad essa la seconda cifra; Si sostituisce alle prime due cifre del numero la loro somma; Continuando in questo modo, se l’ultimo numero ricercato è 7, allora il numero è divisibile per 7.

Criteri di divisibilità Esempio: Provo per il numero 16807, la sequenza dei numeri ottenuta dai calcoli è: 16807, 9807, 3507, 1407, 707, 217, 77, 28, 14, 7. Essendo l’ultimo numero trovato 7, anche il numero cercato: 16807 è divisibile per 7.

Criteri di divisibilità Tucker (1889) affermò che: Separando il numero in due parti, nelle quali: Nella prima parte c’è tutto il numero, salvo l’ultima cifra; Nella seconda parte c’è l’ultima cifra del numero. Sottraggo alla prima parte del numero l’ultima cifra moltiplicata per 2. Si prosegue nel calcolo, finché non restino solo le ultime due cifre non siano multiple di 7. Se le ultime due cifre (ottenute nell’ultimo passaggio) sono multiple di 7, anche il numero lo è.

Criteri di divisibilità Esempio: Partendo dal numero 2401, si ha: 240-2.1=238; 23-2.8=7. 7 è divisibile per 7, e quindi anche 2401 lo è.

Criteri di divisibilità Blaise Pascal Criteri di divisibilità (in generale): Partendo dal criterio di divisibilità per 9, indica un criterio valido anche per gli altri numeri; Dandone anche una dimostrazione.

Criteri di divisibilità Dapprima sostituisce i numeri con le lettere e moltiplica la cifra numerica per la sua posizione, ossia per il resti di una potenza di 10 in quella base. Dopo aver operato questi prodotti basta sommare le sue cifre e si può verificare in tal modo la divisibilità.

Criteri di divisibilità Metodo di Pascal: Si scrive sulla stessa linea e in ordine decrescente la sequenza dei numeri naturali, in questo modo: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 K I H G F E D C B 1.

Criteri di divisibilità Dapprima scrivo la prima cifra e lo chiamo 1; Moltiplico questo numero (il numero 1) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A (la base della quale vorremmo conoscere la divisibilità) che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo B e lo metto sotto il numero 2; Moltiplico questo primo risultato (il numero B) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo C e lo metto sotto il numero 3;

Criteri di divisibilità Moltiplico questo primo risultato (il numero C) per 10 e sottraggo il massimo intero multiplo di A che lo contiene, scrivo il resto, lo chiamo D e lo metto sotto il numero 4; E così via.

Criteri di divisibilità Esempio Scrivendo il numero TVNM, si opera così: M.1 N.B V.C T.D TVNM è divisibile per AM+NB+VC+TD è divisibile per A

Criteri di divisibilità Criterio di divisibilità per 7: Scrivo nella prima riga i primi 10 numeri in ordine decrescente e nella seconda riga i resti delle di 10 in base 7, 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 2 3 1 5 4 6 2 3 1.

Criteri di divisibilità Per maggior chiarezza si ha: Ad 1=100 corrisponde 1; A 10 corrisponde 3, perché 10=1.7+3; A 102 corrisponde 2, perché 100=14.7+2, o anche 30=4.7+2; Al numero 103 corrisponde 6, perché 20=2.7+6; Al numero 104 corrisponde 4, perché 60=8.7+4; Al numero 105 corrisponde 3, perché 40=5.7+5; Al numero 106 corrisponde 1, perché 50=7.7+1; E così via, ritornando ai resti 1 3 2 6 4 5.

Criteri di divisibilità Esempio: Verifichiamo se il numero S=287542178 è divisibile per 7. Scrivo le varie moltiplicazioni: 8.1=8; 7.3=21; 1.2=2; 2.6=12; 4.4=16; 5.5=25; 7.1=7; 8.3=14; 2.2=4. In seguito effettuo la somma: 8+21+2+12+16+25+7+24+4=119; Essendo 119 multiplo di 7, lo è anche il numero S.

Criteri di divisibilità Esempio: Verifichiamo se il numero Y=151996 è divisibile per 37: Scrivo le varie moltiplicazioni: 6.1=6; 9.10=90; 9.26=234; 1.1=1; 5.10=50; 1.26=26. In seguito effettuo la somma: 6+90+234+1+50+26=407.

Criteri di divisibilità Il numero 407 è multiplo di 37, essendo 407=11.37. Quindi anche il numero Y è multiplo di 37.

Criteri di divisibilità Un numero è divisibile per: 2, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8; 3 (oppure 9), se la somma delle cifre è un multiplo di 3 (oppure 9); 5, se l’ultima cifra è 0 o 5; 11, se la somma delle cifre pari meno la somma delle cifre dispari del numero è multiplo di 11

Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base (scrivo in parentesi gli elementi periodici): 2 sono 1 (0); 3 sono (1); 4 sono 1 2 (0); 5 sono 1 (0); 6 sono 1 (4); 7 sono (1 3 2 6 4 5); 8 sono 1 2 4 (0); 9 sono (1); 10 sono 1 (0);

Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base 11 sono (1 10); 12 sono 1 10 (4); 13 sono (1 10 9 12 3 4); 14 sono 1 (10 2 6 4 12 8); 15 sono 1 (10); 16 sono 1 10 4 8 (0); 17 sono (1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12); 18 sono 1 (10); 19 sono (1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2); 20 sono 1 10 (0);

Criteri di divisibilità I resti delle potenze di 10 in base 21 sono (1 10 16 13 4 19); 22 sono 1 (10 12); 23 sono (1 10 8 11 18 19 6 14 2 20 16 22 13 15 12 5 4 17 9 21 3 7); 24 sono 1 10 4 (16); 25 sono 1 10 (0); E così via.

Criteri di divisibilità Posso anche considerare le cifre corrispondenti agli inversi dei numeri, Al fine di confrontare e collegare la periodicità dei resti, la periodicità degli inversi e i criteri di divisibilità; (scrivo in parentesi gli elementi periodici).

Criteri di divisibilità Gli inversi dei numeri sono: 1/2=0,5; 1/3=0,(3); 1/4=0,25; 1/5=0,2; 1/6=0,1(6); 1/7=0,(142857); 1/8=0,125; 1/9=0,(1); 1/10=0,1; 1/11=0,(09);

Criteri di divisibilità 1/12=0,08(3); 1/13=0,(076923); 1/14=0,0(714285); 1/15=0,0(6); 1/16=0,0625; 1/17=0,(0588235294117647); 1/18=0,0(5); 1/19=0,(052631578947368421); 1/20=0,05; 1/21=0,(047619); 1/22=0,0(45);

Criteri di divisibilità 1/23=0,(0434782608695652173913); 1/24=0,041(6); 1/25=0,04; 1/26=0,0(384615); 1/27=0,(037); 1/28=0,03(571428); 1/29=0,(0344827586206896551724137931); 1/30=0,0(3); E così via.

La teoria della congruenza Una diretta conseguenza del metodo di Pascal è la teoria della congruenza: Sia A>1, esistono due interi a e b, con a>b0, sono congrui modulo A, quando la loro differenza a-b è un multiplo di A. E si scrive: ab(mod.A).

Confronto Come si può vedere, il numero degli elementi periodici (ed aperiodici) coincidono in entrambe le rappresentazioni, quindi le due rappresentazioni sono equivalenti per tutti i numeri, fissato una dato sistema di numerazione.

La teoria della congruenza Se a=Aq+b è la divisione euclidea di a per A, allora si ha: ab(mod.A).

La teoria della congruenza Proprietà usuali: 1) Se ab(mod.A) e bc(mod.A), allora ac(mod.A). 2) Se ab(mod.A) e cd(mod.A), allora a+cd+d(mod.A) acbd(mod.A).

La teoria della congruenza Tabella del resto ri in 10i=Aq+ri, Scrivendo sulla prima riga i numeri e nella prima colonna i resti: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 r10 r9 r8 r7 r6 r5 r4 r3 r2 r1

La teoria della congruenza Essendo 10iri(mod.A), si ottengono i resti per ricorrenza, Moltiplicando ambo i membri per 10, si ha: 10i+110ri(mod.A), Ossia ri+110ri(mod.A), N=an10n+ an-110n-1+…+ a110+ a0+ anrn+ an-1ri-1+…+ a1r1+ a0(mod.A).

La teoria della congruenza Piccolo teorema di Fermat: Se p è un numero primo ed a è un intero che non divide p, allora è vera l’equazione: ap-11(mod.p).

La teoria della congruenza La funzione φ(x) è tale che: Se x è un numero primo p, allora φ(p) = p-1 Se x è potenza di numeri primi, ossia del tipo pn, con n>1 e intero, allora φ(x) = (p-1) . pn-1 Se x è prodotto di due numeri primi distinti, ossia del tipo p . q, allora φ(x) = (p-1) . (q-1)

La teoria della congruenza La funzione φ(x) è tale che, in generale: Se x = p1n1.p2n2.….pknk , Allora φ(x) = φ(p1n1.p2n2.….pknk ) = φ(p1n1). φ(p2n2).….φ(pknk ) = (p1-1).pn1-1.(p2-1).pn2-1 .….(pk-1).pnk-1 O anche φ(x)= φ(p1n1.p2n2.….pknk ) = (p1-1).(p2-1).….(pk-1) . (p1n1.p2n2.….pknk ) / (p1.p2.….pk ), Che si può esprimere così: φ(x ) = Π (pini ) = (pi-1 ) . φ(pini ) / (pi), con i=1,…,k.

La teoria della congruenza Equazione di Eulero (generalizzazione del Piccolo teorema di Fermat): Se x è un numero intero>1 ed a è un altro intero tale che MCD(x;a)=1, allora è vera l’equazione: aφ(x)1(mod.x). Ovviamente per x=p siamo nelle ipotesi del piccolo teorema di Fermat.

Residui quadratici Eulero (1754-55) definisce i residui quadratici. Calcolare se un numero x è o meno un residuo quadratico modulo p è come risolvere l’equazione a2  x (mod. p). Ad esempio: 1, 2 e 4 sono residui quadratici modulo 7, mentre 3, 5 e 6 sono non-residui quadratici modulo 7. 1 e 4 sono residui quadratici modulo 5, mentre 2 e 3 sono non-residui quadratici modulo 5.

Residui quadratici Eulero (1783), ma senza dimostrazione e Legendre (1785), ma con una dimostrazione incompleta definiscono la legge di reciprocità quadratica. Gauss (1810) dimostra la legge di reciprocità quadratica, definendola il gioiello dell’aritmetica.

Residui quadratici Se p non divide a, allora a(p-1)/21(mod.p). a è residuo quadraticoa(p-1)/21(mod.p); a è non residuo quadratico a(p-1)/2p-1(mod.p).

Simbolo di Legendre Legendre impone a/p per il resto della divisione di a(p-1)/2 per p. Si ha che(a/p)=1 se a è un residuo quadratico modulo p; Mentre (a/p)=p-1 altrimenti.

Legge di reciprocità quadratica Siano p e q due numeri dispari, Se p e q sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=-(q/p); Se p e q non sono entrambi della forma 4n+3, si ha (p/q)=(q/p). In generale si ha: (p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4.

I tre casi del simbolo di Legendre Se a è più grande di c, allora al posto di a, si scrive il resto della divisione di a con c; Se il numero a, così ridotto, l’espressione (a/c) cambierà (a seconda del resto di a e c mod.4) in (c/a) o in –(c/a), si può ridurre (c/a) con (c’/a), dove c’ è il resto della divisione di c con a; Se a non è primo, si può decomporre a nei suoi singoli fattori primi: a=αβγ…, allora (a/c)=(α/c)(β/c)(γ/c)…, in generale (α2/c)=(α/c)(α/c).

Test di primalità Sono vari i test per provare se un numero sia primo o meno. I test sono basati su risultati elementari della teoria della congruenza e della teoria dei residui quadratici. Ne descrivo 3 di essi, data la loro importanza storica. I primi due test richiedono la fattorizzazione di N+1 o di N-1.

Test di primalità I test sulla primalità sono stati usati per scomporre i numeri del tipo 2n±1, 10n1, e in generale an±1. In particolare i numeri di Fermat del tipo 2n+1, con n=2k (col test di Pépin) e i numeri di Mersenne del tipo 2n-1, con n=p (primo). Il “più grande numero primo conosciuto”, aggiornando la ricerca al 1998, è un numero di Mersenne, ossia 23021377-1, il quale possiede 909526 cifre.

L’inverso del Teorema di Fermat Richiamo del piccolo teorema di Fermat: Se a e p sono interi primi tra loro, allora quando p è primo ap-11(mod.p). Ai cinesi era noto (500 a.C.) che se a=2, allora 2p-2 era divisibile col primo p.

Fattorizzazione di an-1 Ogni numero primo è sempre un fattore del precedente di una delle potenze di qualche progressione, se l’esponente di questa potenza è un divisore del precedente del numero primo.

Fattorizzazione di an-1 Esempi - Sia data la seguente progressione: 1 2 3 4 5 6 3 9 27 81 243 729 ecc., Con il suo esponente scritto sopra. Prendo in considerazione il numero 13. 13 è un fattore di 26 = 33-1, 3 è uno dei fattori di 12, dove 12 = 13-1. Siccome 6 (l’esponente di 729) è multiplo di 3, Si ha che 13 è anche fattore di 728 = 36-1. Questa proprietà è vera in generale per tutte le progressioni e per tutti i numeri primi.

Numeri di Mersenne/Fermat Si può rappresentare (genericamente) un numero in forma polinomiale, ossia: an-1. Se n=1, allora an-1=a-1; Se n=p (primo), allora an-1, ossia ap-1, e si può scomporre in: ap-1=(a-1).(ap-1+ap-2+…+a+1); Se n=b.c (con b e c interi), allora an-1=abc-1 = (ab-1).(ac-1+ac-2+…+a+1), o anche in: an-1=abc-1 = (ac-1).(ab-1+ab-2+…+a+1);

Numeri di Mersenne/Fermat In particolare se n è un numero pari, ossia n=2k, allora: an-1=a2k-1=(a2k/2-1).(a2k/2+1)=(ak-1).(ak+1). In particolare, se a=2 ed n potenza di 2, si può ottenere dalla scomposizione di un numero del tipo di Mersenne, un numero del tipo di Fermat. Un numero del tipo ak+1 è sempre un caso particolare di un numero del tipo an-1.

Scomposizioni polinomiali Dato un numero intero a>1, allora: an-1 = (a-1).(an-1+an-2+…+ a2+a+1), se n è un intero positivo qualsiasi. an-1 = ap-1 = (a-1).(ap-1+ap-2+…+ a2+a+1), con p numero primo, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. an+1 = (a+1).(an-1-an-2+…+ a2-a+1), se n è un intero positivo dispari. an+1 = ap+1 = (a+1).(ap-1-ap-2+…+ a2-a+1), con p numero primo dispari, in tal caso il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile in Z[x]. an-1 = (an/2-1).(an/2+1), se n è un numero intero positivo pari. an-1 = (abc-1) = (ab-1).(ac-1+ac-2+…+ a2+a+1), se n=bc. an+1 = (abc+1) = (ab+1).(ac-1-ac-2+…+ a2-a+1), se n è dispari ed n=bc.

Scomposizioni polinomiali a1-1=a-1; a2-1=(a-1).(a+1); a3-1=(a-1).(a2+a+1); a4-1=(a-1).(a+1).(a2+1); a5-1=(a-1).(a4+a3+a2+a+1); a6-1=(a-1).(a+1).(a2-a+1).(a2+a+1); a7-1=(a-1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a8-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4+1); a9-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a3+1); a10-1=(a-1).(a+1).(a4-a3+a2-a+1).(a4+a3+a2+a+1);

Scomposizioni polinomiali a11-1=(a-1).(a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a12-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a4+a2+1); a13-1=(a-1).(a12+a11+a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a14-1=(a-1).(a+1).(a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a15-1=(a-1).(a2+a+1).(a4+a3+a2+a+1).(a8-a7+a5-a4+a3-a+1); a16-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4+1).(a8+1); a17-1=(a-1).(a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+ +1); a18-1=(a-1).(a+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a6-a3+1).(a6+a3+1); a19-1=(a-1).(a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+a8+ +a7+a6 +a5+ +a4+a3+a2+a+1); a20-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a4-a3+a2-a+1).(a4+a3+a2+a+1) ).(a8+a7+a6+ a5+ +a4+a3+a2+a+1);

Scomposizioni polinomiali a21-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1).(a12-a11+a9-a8+a6-a4+a3-a+ +1); a22-1=(a-1).(a+1).(a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1).(a10-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a+ +1); a23-1=(a-1).(a22+a21+a20+a19+a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+a10+a9+ +a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a24-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a2-a+1).(a2+a+1).(a4+1).(a4+a2+1).(a8+a4+1); a25-1=(a-1).(a4+a3+a2+a+1).(a20+a15+a10+a5+1); a26-1=(a-1).(a+1) .(a12-a11+a10-a9+a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a12+a11+ +a10+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1); a27-1=(a-1).(a2+a+1).(a6+a3+1).(a18+a9+1); a28-1=(a-1).(a+1).(a2+1).(a6-a5+a4-a3+a2-a+1).(a6+a5+a4+a3+a2+a+1). .(a12+a10+a8+a6+a4+ +a2+1); a29-1=(a-1).(a28+a27+a26+a25+a24+a23+a22+a21+a20+a19 a18+a17+a16+a15+a14+a13+a12+a11+ +a10+a9+a8+ +a7+a6 +a5+ +a4+a3+a2+a+1); E così via.

Scomposizioni polinomiali Come detto prima, se p è primo, allora: (ap-1)/(a-1) = (ap-1+ap-2+…+a2+a+1) Non è ulteriormente scomponibile in forma polinomiale, quindi: (an-1)/(a-1) è scomponibile in forma polinomiale solo se n non è primo, Quindi (an-1)/(a-1) può essere un numero primo, solo se n è primo, [ma non sempre risulta essere un numero primo].

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=1, Si ha: (2-1)/(2-1) =1/1 = 1; Ma 1 è un numero invertibile. N.B.: d’ora in poi, essendo il denominatore pari ad 1, verrà omesso nel calcolo.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=2, Si ha: (22-1)/(2-1) = 4-1 = 3; Ma 3 è un numero primo.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=3, Si ha: (23-1)/(2-1) = 8-1 = 7: Ma 7 è un numero primo.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=4, Si ha: (24-1)/(2-1) = 16-1 = 15: Ma 15 = 3 . 5, quindi è un numero composto. Perché (24-1) è multiplo di (22-1) = 3. N.B.: d’ora in poi, siccome è generale la situazione che 2bc-1 sia multiplo di 2b-1, l’ultima considerazione verrà omessa. Perché n numero composto => 2n-1 numero composto.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=5, Si ha: (25-1)/(2-1) = 32-1 = 31: Ma 31 è numero primo.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=6, Si ha: (26-1)/(2-1) = 64-1 = 63: Ma 63 = 32 . 7, quindi è un numero composto.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=7, Si ha: (27-1)/(2-1) = 127: Ma 127 è un numero primo.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=8, Si ha: (28-1)/(2-1) = 255: Ma 255 = 3 . 5 . 17, quindi è un numero composto.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=9, Si ha: (29-1)/(2-1) = 511: Ma 511 = 7 . 73, quindi è un numero composto.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=10, Si ha: (210-1)/(2-1) = 1023: Ma 1023 = 3 . 11 . 31, quindi è un numero composto.

Numeri di Mersenne Calcolo di (2n-1)/(2-1): Se n=11, Il numero suddetto, a quanto sembra, dovrebbe essere primo, perché 11, ossia n è primo, tuttavia occorre provarlo. 2n-1 primo => n primo, Ma non vale il viceversa, come si può vedere nella diapositiva successiva.

Numeri di Mersenne I numeri che possono dividere 211-1 sono solo quelli del tipo 1+2.11k, con k numero intero positivo. I numeri di questo tipo sono i seguenti: 23, 45, 67, 89, …, 22k+1, …; Di essi solo 23 e 45 possono essere presi in considerazione, perché sono gli unici numeri [2047]=45. 23 è un numero primo e 2047 : 23 = 89, Quindi 23 è un numero primo che divide 2047. Perciò 2047 non è primo, perché 2047 = 23 . 89.

Numeri di Mersenne In generale, alcuni numeri della forma: O meglio, siccome 2-1=1, della forma: 2n-1 Sono descritti nella prossima diapositiva.

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 3 7 4 3 . 5 5 31 6 32 . 7 127 8 3 . 5 . 17 9 7 . 73 10 3 . 11 . 31 11 23 . 89 12 32 . 5 . 7 . 13 13 8191 14 3 . 43 . 127 15 7 . 31 . 151 16 3 . 5 . 17 . 257 17 131071 18 33 . 7 . 19 . 73 19 524287 20 3 . 52 . 11 . 31 . 41 21 72 . 127 . 337 22 3 . 23 . 89 . 683 23 47 . 178481 24 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 241 25 31 . 601 . 1801

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 26 3 . 2731 . 8191 27 7 . 73 . 262657 28 3 . 5 . 29 . 43 . 113 . 127 29 233 . 1103 . 2089 30 32 . 7 . 11 . 31 . 151 . 331 31 2147483647 32 3 . 5 . 17 . 257 . 65537 33 7 . 23 . 89 . 599479 34 3 . 43691 . 131071 35 31 . 71 . 127 . 122921 36 33 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 109 37 223 . 616318177 38 3 . 174763 . 524287 39 7 . 79 . 8191 . 121369 40 3 . 52 . 11. 17 . 31 . 41 . 61681 41 13367 . 164511353 42 32 . 72 . 43 . 127 . 337 . 5419 43 431 . 9719 . 2099863 44 3 . 5 . 23 . 89 . 397 . 683 . 2113 45 7 . 31 . 73 . 151 . 631 . 23311 46 3 . 47 . 178481 . 2796203 47 2351 . 4513 . 13264529 48 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 97 . 241 . 257 . 673 49 127 . 4432676798593 50 3 . 11 . 31 . 251 . 601. 1801 . 4051

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 51 7 . 103 . 2143 . 11119 . 131071 52 3 . 5 . 53 . 157 . 1613 . 2731 . 8191 53 6361 . 1416003655831 54 34 . 7 . 19 . 73 . 87211 . 262657 55 23 . 31 . 89 . 881 . 3191 . 201961 56 3 . 5 . 17 . 29 . 43 . 113 . 127 . 15790321 57 7 . 524287 . 39268347319 58 3 . 59 . 233 . 1103 . 2089 . 3033169 59 179951 . 320343178337 60 32 . 52 . 7 . 11 . 13 . 31 . 41 . 61 . 151 . 331 . 1321 61 2305843009213693951 62 3 . 715827883 . 2147483647 63 72 . 73 . 127 . 337 . 92737 . 649657 64 3 . 5 . 17 . 257 . 641 . 65537 . 6700417 65 31 . 8191 . 145295143558111 66 32 . 7 . 23 . 67 . 89 . 683 . 20857 . 599479 67 193707721 . 761838257287 68 3 . 5 . 137 . 953 . 26137 . 43691 . 131071 69 7 . 47 . 178481 . 10052678938039 70 3 . 11 . 31 . 43 . 71 . 127 . 281 . 86171 . 122921 71 2361183241434822606847 72 33 . 5 . 7 . 13 . 17 . 19 . 37 . 73 . 109 . 241 . 433 . 38737 73 439 . 2298041 . 9361973132609 74 3 . 223 . 1777 . 21781083 . 616318177 75 7 . 31 . 151 . 601 . 1801 . 1065184428001

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 76 3 . 5 . 229 . 457 . 174763 . 524287 . 525313 77 23 . 89 . 127 . 581283643249112959 78 32 . 7 . 79 . 2731 . 8191 . 121369 . 22366891 79 2687 . 224958284260258499201 80 3 . 52 . 11. 17 . 31 . 41 . 257 . 61681 . 4278255361 81 7 . 73 . 2593 . 262657 . 6947319183841 82 3 . 83 . 13367 . 164511353 . 8831418697 83 167 . 57912614113275649087721 84 32 . 5 . 72 . 13 . 29 . 43 . 113 . 127 . 337 . 1429 . 5419 . 14449 85 31 . 131071 . 9520972806333758431 86 3 . 431 . 9719 . 2099863 . 2932031007403 87 7 . 233 . 1103 . 2089 . 4177 . 9857737155463 88 3 . 5 . 17 . 23 . 89 . 353 . 397 . 683 . 2113 . 2931542417 89 61890019642690137449562111 90 33 . 7 . 11 . 19 . 31 . 73 . 151 . 331 . 631 . 23311 . 18837001 91 127 . 911 . 8191 . 2612585917490982161 92 3 . 5 . 47 . 277 . 1013 . 1657 . 30269 . 178481 . 2796203 93 7 . 2147483647 . 658812288653553079 94 3 . 283 . 2351 . 4513 . 13264529 . 165768537521 95 31 . 191 . 524287 . 12761021422289693921 96 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 97 . 193 . 241 . 257 . 673 . 65537 . 22253377 97 11447 . 13842607235828485645766393 98 3 . 43 . 127 . 4363953127297 . 4432676798593 99 7 . 23 . 73 . 89 . 199 . 599479 . 5079298981443391 100 3 . 53 . 11 . 31 . 41 . 101 . 251 . 601 . 1801 . 4051 . 8101 . 268501

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 101 2535301200456458802993406410751 102 32 . 7 . 103 . 307 . 2143 . 2857 . 6529 . 11119 . 43691 . 131071 103 10141204801825835211973625643007 104 3 . 5 . 17 . 53 . 157 . 1613 . 2731 . 8191 . 264917625139441 105 72 . 31 . 71 . 127 . 151 . 337 . 122921 . 473474689919911 106 3 . 107 . 6361 . 1416003655831 . 28059810762433 107 162259276829213363391578010288127 108 34 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 109 . 87211 . 262657 . 68719214593 109 649037107316853453566312041152511 110 3 . 11 . 23 . 31 . 89 . 683 . 881 . 2971 . 3191 . 201961 . 538037401 111 7 . 223 . 616318177 . 2698495133088002829751 112 3 . 5 . 17 . 29 . 43 . 113 . 127 . 257 . 5153 . 15790321 . 54410972897 113 3391 . 23279 . 65993 . 1868569 . 1066818132868207 114 32 . 7 . 571 . 174763 . 524287 . 160465489 . 39268347319 115 31 . 47 . 14951 . 178481 . 10683848415441845139401 116 3 . 5 . 59 . 233 . 1103 . 2089 . 3033169 . 57646075230342349 117 7 . 73 . 79 . 937 . 6553 . 8191 . 121369 . 674274976909561 118 3 . 2833 . 179951 . 320343178337 . 67826891670011 119 127 . 239 . 131071 . 167056681047484447373134449 120 32 . 52 . 7 . 11 . 13 . 17 . 31 . 41 . 61 . 151 . 241 . 331 . 1321 . 61681 . 4562284561 121 23 . 89 . 727 . 178639878363164227858270210279 122 3 . 768614336404564651 . 2305843009213693951 123 7 . 13367 . 164511353 . 690814754065816531725751 124 3 . 5 . 5581 . 8681 . 715827883 . 2147483647 . 19037413721 125 31 . 601 . 1801 . 1267650638007162390353805312001

Scomposizione di 2n-1, al variare di n 126 33 . 72 . 19 . 43 . 73 . 127 . 337 . 5419 . 92737 . 649657 . 77158673929 127 170141183460469231731687303715884105727 128 3 . 5 . 17 . 257 . 641 . 65537 . 274177 . 6700417 . 67280421310721 … 156 32 . 7 . 5 . 132 . 79 . 157 . 313 . 1249 . 1613 . 2731 . 8191 . 21841 . 121369 . 22366891 193 13821503 . 61654440233248340616559 . 14732265321145317351353282383 204 32 . 5 . 7 . 13 . 103 . 137 . 307 . 409 . 953 . 2143 . 2857 . 3061 . 6529 . 11119 . 13669 . 26317 . 43691 . 131071 . 1326700741 256 3 . 5 . 17 . 257 . 641 . 65537 . 274177 . 6700417 . 67280421310721 . 59649589127497217 . 5704689200685129054721 257 535006138814359 . 1155685395246619182673033 . 374550598501810936581776630096313181393 512 3 . 5 . 17 . 257 . 641 . 65537 . 274177 . 6700417 . 67280421310721 . 59649589127497217 . 5704689200685129054721 . 1238926361552897 . 93461639715357277769163558199606896584051237541638188580280321 521 13729595320261219429963801598162786434538870600286610818788926918371086366795312104245119281322909109954592622782961716074243975999433287625148056582230114303 E così via

Scomposizione di 3n-1, al variare di n 2 23 3 2 . 13 4 24 . 5 5 2 . 112 6 23 . 7 . 13 7 2 . 1093 8 25 . 5 . 41 9 2 . 13 . 757 10 23 . 112 . 61 11 2 . 23 . 3851 12 24 . 5 . 7 . 13 . 73 13 2 . 797161 14 23 . 547 . 1093 15 2 . 112 . 13 . 4561 16 26 . 5 . 17 . 41 . 193 17 2 . 1871 . 34511 18 23 . 7 . 13 . 19 . 37 . 757 19 2 . 581130733 20 24 . 52 . 112 . 61 . 1181 21 2 . 13 . 1093 . 368089 22 23 . 23 . 67 . 661 . 3851 2 . 47 . 1001523179 24 25 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 6481 25 2 . 112 . 3501192601

Scomposizione di 3n-1, al variare di n 26 23 . 797161 . 398581 27 2 . 13 . 109 . 433 . 757 . 8209 28 24 . 5 . 29 . 547 . 1093 . 16493 29 2 . 59 . 581613367499 30 23 . 7 . 112 . 13 . 31 . 61 . 271 . 4561 31 2 . 308836698141973 32 27 . 5 . 17 . 41 . 193 . 21523661 33 2 . 13 . 23 . 3851 . 2413941289 34 23 . 103 . 307 . 1021 . 64570081 35 2 . 112 . 1093 . 189150889201 36 24 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 757 . 530713 37 2 . 225141952945498681 38 23 . 581130733 . 290565367 39 2 . 132 . 797161 . 15040635637 40 25 . 52 . 112 . 41 . 61 . 1181 . 42521761 41 2 . 18236498188585393201 42 23 . 72 . 13 . 43 . 547 . 1093 . 2269 . 368089 43 2 . 164128483697268538813 44 24 . 5 . 23 . 67 . 661 . 3851 . 3138105961 45 2 . 112 . 13 . 757 . 4561 . 271983020401 46 23 . 47 . 1001523179 . 23535794707 47 2 . 13294407179478751643893 48 26 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 193 . 6481 . 731682737 49 2 . 1093 . 109469043563868952237 50 23 . 112 . 61 . 3501192601 . 3472494301

Scomposizione di 4n-1, al variare di n 3 2 3 . 5 32 . 7 4 3 . 5 . 17 5 3 . 11 . 31 6 32 . 5 . 7 . 13 7 3 . 43 . 127 8 3 . 5 . 17 . 257 9 33 . 7 . 19 . 73 10 3 . 52 . 11 . 31 . 41 11 3 . 23 . 89 . 683 12 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 241 13 3 . 2731 . 8191 14 3 . 5 . 29 . 43 . 113 . 127 15 32 . 7 . 11 . 31 . 151 . 331 16 3 . 5 . 17 . 257 . 65537 17 3 . 43691 . 131071 18 33 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 109 19 3 . 174763 . 524287 20 3 . 52 . 11. 17 . 31 . 41 . 61681 21 32 . 72 . 43 . 127 . 337 . 5419 22 3 . 5 . 23 . 89 . 397 . 683 . 2113 23 3 . 47 . 178481 . 2796203 24 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 97 . 241 . 257 . 673 25 3 . 11 . 31 . 251 . 601 . 1801 . 4051

Scomposizione di 4n-1, al variare di n 26 3 . 5 . 53 . 157 . 1613 . 2731 . 8191 27 34 . 7 . 19 . 73 . 87211 . 262657 28 3 . 5 . 17 . 29 . 43 . 113 . 127 . 15790321 29 3 . 59 . 233 . 1103 . 2089 . 3033169 30 32 . 52 . 7 . 11 . 13 . 31 . 41 . 61 . 151 . 331 . 1321 31 3 . 715827883 . 2147483647 32 3 . 5 . 17 . 257 . 641 . 65537 . 6700417 33 32 . 7 . 23 . 67 . 89 . 683 . 20857 . 599479 34 3 . 5 . 137 . 953 . 26137 . 43691 . 131071 35 3 . 11 . 31 . 43 . 71 . 127 . 281 . 86171 . 122921 36 33 . 5 . 7 . 13 . 17 . 19 . 37 . 73 . 109 . 241 . 433 . 38737 37 3 . 223 . 1777 . 21781083 . 616318177 38 3 . 5 . 229 . 457 . 174763 . 524287 . 525313 39 32 . 7 . 79 . 2731 . 8191 . 121369 . 22366891 40 3 . 52 . 11. 17 . 31 . 41 . 257 . 61681 . 4278255361 41 3 . 83 . 13367 . 164511353 . 8831418697 42 32 . 5 . 72 . 13 . 29 . 43 . 113 . 127 . 337 . 1429 . 5419 . 14449 43 3 . 431 . 9719 . 2099863 . 2932031007403 44 3 . 5 . 17 . 23 . 89 . 353 . 397 . 683 . 2113 . 2931542417 45 33 . 7 . 11 . 19 . 31 . 73 . 151 . 331 . 631 . 23311 . 18837001 46 3 . 5 . 47 . 277 . 1013 . 1657 . 30269 . 178481 . 2796203 47 3 . 283 . 2351 . 4513 . 13264529 . 165768537521 48 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 97 . 193 . 241 . 257 . 673 . 65537 . 22253377 49 3 . 43 . 127 . 4363953127297 . 4432676798593 50 3 . 53 . 11 . 31 . 41 . 101 . 251 . 601 . 1801 . 4051 . 8101 . 268501

Scomposizione di 5n-1, al variare di n 22 2 23 . 3 3 22 . 31 4 24 . 3 . 13 5 22 . 11 . 71 6 23 . 32 . 7 . 13 7 22 . 19531 8 25 . 3 . 13 . 313 9 22 . 19 . 31 . 829 10 23 . 3 . 11 . 71 . 521 11 22 . 12207031 12 24 . 32 . 7 . 13 . 31 . 601 13 22 . 305175781 14 23 . 5 . 29 . 449 . 19531 15 22 . 11 . 31 . 71 . 181 . 1741 16 26 . 3 . 13 . 17 . 313 . 11489 17 22 . 190734863281 18 23 . 33 . 7 . 19 . 31 . 829 . 5167 19 22 . 4788371582031 20 24 . 3 . 11. 13 . 41 . 71 . 521 . 9161 21 22 . 31 . 19531 . 196890121 23 . 3 . 23 . 67 . 5281 . 12207031 23 22 . 2980232238769531 24 25 . 32 . 7 . 13 . 31 . 313 . 601 . 390001 25 22 . 11 . 71 . 101 . 251 . 401 . 9384251

Scomposizione di 6n-1, al variare di n 5 2 5 . 7 3 5 . 43 4 5 . 7 . 37 52 . 311 6 5 . 7 . 31 . 43 7 5 . 55987 8 5 . 7 . 37 . 1297 9 5 . 19 . 43 . 2467 10 52 . 7 . 11 . 101 . 311 11 5 . 72559411 12 5 . 7 . 13 . 31 . 37 . 43 . 97 13 5 . 2612138803 14 5 . 7 . 29 . 1379 . 55987 15 52 . 43 . 311 . 1406371 16 5 . 7 . 37 . 1297 . 1679617 17 5 . 3385331888947 18 5 . 7 . 19 . 31 . 43 . 2467 . 46441 19 5 . 121871948002099 20 52 . 7 . 11. 37 . 101 . 311 . 1634221 21 5 . 43 . 55987 . 1822428931 22 5 . 7 . 51828151 . 72559411 23 5 . 157946044610720563 24 5 . 7 . 13 . 31 . 37 . 43 . 97 . 1297 . 1678321 25 53 . 311 . 731325737104301

Scomposizione di 7n-1, al variare di n 2 . 3 2 24 . 3 3 2 . 32 . 19 4 25 . 3 . 52 5 2 . 3 . 2801 6 24 . 32 . 19 . 43 7 2 . 3 . 29 . 4733 8 26 . 3 . 52 . 1201 9 2 . 33 . 19 . 37 . 1063 10 2 . 3 . 11 . 191 . 2801 11 2 . 3 . 1123 . 293459 12 25 . 32 . 52 . 13 . 19 . 43 . 181

Scomposizione di 8n-1, al variare di n 7 2 32 . 7 3 7 . 73 4 32 . 5 . 7 . 13 5 7 . 31 . 151 6 33 . 7 . 19 . 73 72 . 127 . 337 8 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 241 9 7 . 73 . 262657 10 32 . 7 . 11 . 31 . 151 . 331 11 7 . 23 . 89 . 599479 12 33 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 109 13 7 . 79 . 8191 . 121369 14 32 . 72 . 43 . 127 . 337 . 5419 15 7 . 31 . 73 . 151 . 631 . 23311 16 32 . 5 . 7 . 13 . 17 . 97 . 241 . 257 . 673 17 7 . 103 . 2143 . 11119 . 131071 18 34 . 7 . 19 . 73 . 87211 . 262657 19 7 . 524287 . 39268347319 20 32 . 52 . 7 . 11 . 13 . 31 . 41 . 61 . 151 . 331 . 1321 21 72 . 73 . 127 . 337 . 92737 . 649657 22 32 . 7 . 23 . 67 . 89 . 683 . 20857 . 599479 23 7 . 47 . 178481 . 10052678938039 24 33 . 5 . 7 . 13 . 17 . 19 . 37 . 73 . 109 . 241 . 433 . 38737 25 7 . 31 . 151 . 601 . 1801 . 1065184428001

Scomposizione di 9n-1, al variare di n 23 2 24 . 5 3 23 . 7 . 13 4 25 . 5 . 41 5 23 . 112 . 61 6 24 . 5 . 7 . 13 . 73 7 23 . 547 . 1093 8 26 . 5 . 17 . 41 . 193 9 23 . 7 . 13 . 19 . 37 . 757 10 24 . 52 . 112 . 61 . 1181 11 23 . 23 . 67 . 661 . 3851 12 25 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 6481 13 23 . 398581 . 797161 14 24 . 5 . 29 . 547 . 1093 . 16493 15 23 . 7 . 112 . 13 . 31 . 61 . 271 . 4561 16 27 . 5 . 17 . 41 . 193 . 21523661 17 23 . 103 . 307 . 1021 . 64570081 18 24 . 5 . 7 . 13 . 19 . 37 . 73 . 757 . 530713 19 23 . 581130733 . 290565367 20 25 . 52 . 112 . 41 . 61 . 1181 . 42521761 21 23 . 72 . 13 . 43 . 547 . 1093 . 2269 . 368089 22 24 . 5 . 23 . 67 . 661 . 3851 . 3138105961 23 . 47 . 1001523179 . 23535794707 24 26 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 193 . 6481 . 731682737 25 23 . 112 . 61 . 3501192601 . 3472494301

Scomposizione di 10n-1, al variare di n 32 2 32 . 11 3 33 . 37 4 32 . 11 . 101 5 32 . 41 . 271 6 33 . 7 . 11 . 13 . 37 7 32 . 239 . 4649 8 32 . 11 . 73 . 101 . 137 9 34 . 37 . 333667 10 32 . 11 . 41 . 271 . 9091 11 32 . 11111111111 12 33 . 7 . 11 . 13 . 37 . 101 . 9901 13 32 . 53 . 79 . 265371653 14 32 . 11 . 239 . 4649 . 909091 15 33 . 37 . 41 . 271 . 90090991 16 32 . 11 . 17 . 73 . 101 . 137 . 5882353 17 32 . 11111111111111111 18 34 . 7 . 11 . 13 . 19 . 37 . 52579 . 333667 19 32 . 1111111111111111111 20 32 . 11 . 41. 101 . 271 . 9091 . 99009901 21 33 . 37 . 43 . 239 . 4649 . 20951185837 22 32 . 112 . 23 . 35932447 . 11111111111 23 32 . 11111111111111111111111 24 32 . 7 . 11 . 13 . 37 . 73 . 101 . 137 . 9901 . 99990001 25 32 . 41 . 271 . 100001000010000100001

Inverso del Teorema di Fermat Il Teorema di Fermat ci permette di stabilire se un numero è composto. Il Teorema di Fermat non serve per stabilire se un numero è primo. Quindi, l’Inverso del Teorema di Fermat è falso, come mostro in un controesempio nella prossima diapositiva.

Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Per a=2 e N=341, si ha 23401(mod.341), 341 non è primo, ma è il prodotto di 11 per 31. Dimostrazione: Siccome le successive potenze di 2 in base 11 sono: {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}, si ha: 2101(mod.11), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 10, si ha anche: 23401(mod.11), perché le successive potenze di 2 in base 31 sono: {2, 4, 8, 16, 1}, si ha: 251(mod.31), E, in particolare, essendo 340 multiplo di 5, si ha anche: 23401(mod.31); Quindi, si ha alla fine che: 23401(mod.[11.31]), o per meglio dire: 23401(mod.341).

Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Per a=3 e N=341, allora 334056(mod.341). Dimostrazione: Le successive potenze di 3 in base 341 fino ad arrivare ad 1 sono: {3, 9, 27, 81, 243, 47, 141, 82, 246, 56, 168, 163, 148, 103, 309, 245, 53, 159, 136, 67, 201, 262, 104, 312, 254, 80, 240, 38, 114, 1}, Quindi il periodo di 3 in base 340 è 30, ma dividendo 340 con 30, si ha: 340=11.30+10, e quindi: 3340=311x30+10=(330)11.310, Ma 3301(mod.341), e quindi anche (330)11111 =1(mod.341), inoltre, essendo e 31056(mod.341), anche 3340=(330 )11.31056(mod.341). Da ciò, 341 non è primo. Quando si verifica che un numero n è del tipo: 2n-11(mod.n), ed esiste un numero a, con a 2 per cui: an-1x(mod.n), x1; Si dice che il numero è pseudo-primo in base 2.

Pseudo-primi Si ha, quindi, che 341 è pseudo-primo alla base 2. I numeri pseudo-primi sono rari, solo 1770 numeri più piccoli di 25.109 sono pseudo-primi alle basi 2, 3, 5 e 7. L’Inverso del Teorema di Fermat serve per escludere dal test di primalità tutti quei numeri che non verificano la condizione dell’Inverso del Teorema di Fermat, poiché essi non possono essere in nessun caso primi.

Inverso del Teorema di Fermat Lucas (1876) Se ax-1: È divisibile per n, per x coincidente con n-1 Non è divisibile per n, per x uguale ad una parte aliquota di n-1, Allora, il numero n è primo.

Inverso del Teorema di Fermat Esempio: Sia a=3, n=65537=216+1; I divisori di n-1 sono: {1, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216}. Se scrivo il resto delle divisioni tra le potenze di 3 con esponenti le successive potenze di 2, ottengo la sequenza, nella quale ciascun termine è il quadrato del precedente: {3, 9, 81, 6561, 54449, 61869, 19139, 15028, 282, 13987, 8224, 65529, 64, 4096, 65281, 65536, 1}. Dal fatto che 3 non ha il resto uguale a 1 prima dell’ultimo termine della sequenza ed ha resto pari ad uno nell’ultimo termine, si ha che n=65537=216+1 è un numero primo.

Test di Lucas Il Test di Lucas presenta l’inconveniente che richiede la fattorizzazione del numero n-1 ed una verifica per ciascuno dei fattori. La difficoltà è ridotta se il test è applicato ai numeri della forma n=pk+1, con p primo. Tuttavia, se il numero da considerare è grande, si richiedono noiosi calcoli.

Test di Lehmer Teorema 1. Se ax1(mod.N) per x=N-1, ma non per un divisore proprio di N-1, allora N è primo. Questo metodo richiede: La completa fattorizzazione di N-1; Il numero dei valori di x può essere esageratamente elevato; La condizione di primalità è sufficiente, ma non necessaria. Tali inconvenienti sono limitati, se N-1 è una potenza di 2.

Test di Lehmer Teorema 2. Se ax1(mod.N) per x=N-1, ma non per x, tale che x è quoziente di N-1 sulla divisione di alcuni suoi fattori primi, allora N è primo. Teorema 3. Se ax1(mod.N) per x=N-1 e se axr>1, per x=(N-1)/p, e se r-1 è primo con N, allora tutti i fattori primi di N sono della forma npα-1, dove α è la più alta potenza al quale i primi p occorrono come divisori di N-1.

Test di Lehmer Esempio: sia N=9999999900000001, Questo numero è dato da (1024-1)/(108-1). Si ha, allora: N-1 = [(1024-1)/(108-1)]-1 = 108(1016-1)/(108+1) = 108(108-1) = 28.58.32.11.73. 101.137. I divisori di 28 e 58 (essendo 8 la potenza più elevata relativamente ai numeri primi) sono stati scelti come valori di pα e per testare l’operazione seguente: 7(N-1)/107128121476353673=r(mod.N), Allora r2=7(N-1)/5428233546143224(mod.N) E, finalmente, r59999999900000000=N-1(mod.N) e r101(mod.N), Essendo r2-1 primo con N, segue che ogni fattore di N è della forma: n28+1, ed anche della forma: n58+1, o meglio della forma: n108+1. Ma N1/2<108, così N è primo, così si ha la completa fattorizzazione del numero 1024+1 è: 1024+1=17.5882353.9999999900000001.

Test di Lehmer John Selfridge (1975) semplifica il Teorema 2, il quale permette di cambiare il valore di a per qualche divisore di N-1. Egli stabilisce che se per qualche divisore primo p di N-1, esiste un a tale che: a(N-1)/p≡r(mod.N), con r>1, ma a(N-1)≡1(mod.N), allora N è primo.

Sequenza di Fibonacci Sequenza di Fibonacci (1282): 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, (i-1)+i, … . Simon Stevin (1634), osserva tale sequenza e la collega al problema circa il numero di conigli prodotti da una coppia di conigli. Robert Simson nota che tale sequenza e nota che è data da: (1+5)/2, radice dell’equazione quadratica X2-X-1=0. Tale successione ha suscitato interesse da parte di altri matematici a partire dal 1750. Lucas (1876) a partire dall’equazione X2-X-1=0, stabilisce le due sequenze definite da: Un=(an-bn)/(a-b) e Vn=an-bn=Un-1+Un+1.

Test di Lucas L’uso delle successioni: Un=(an-bn)/(a-b) e Vn=an-bn=Un-1+Un+1, È utile per provare se un numero di Mersenne della forma 2m-1 sia primo, e Lucas stesso stabilì che 2127-1 fosse primo. Con questo metodo fu trovato nel 1988 il numero primo di Mersenne: 2110503-1.

Test di Lucas La “sequenza di Lucas” generalizza la sequenza all’equazione quadratica al caso: x2-Px+Q=0, dove P e Q sono interi e coprimi, tramite le formule: U2n=UnVn, V2n=(Vn)2-2Qn, U2n+1=Un+1Vn-Qn e V2n+1=Vn+1Vn-PQn. Teorema (fondamentale) di Lucas. Se in una delle successioni ricorsive Un determina che Up-1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie, il cui rango è divisore di p-1 iniziando così, il numero p è primo; proseguendo allo stesso modo, se Up+1 è divisibile per p, ad esclusione di ciascuno degli altri termini della serie il cui rango è un divisore di p+1 iniziato così, allora il numero p è primo.

Test di Lucas Teorema 2. Sia p=24q+3-1 nel caso in cui 4q+3 è primo e 8q+7 è composto; noi produciamo la serie rn: 3, 7 , 47, 2207, … dal significato della relazione, per n>1, rn+1=rn2-2, Il numero p è primo, mentre il rango del primo termine divisibile per p occupa un rango tra 2q+1 e 4q+2; il numero p è composto se alcuno dei 4q+2 primi termini della serie è divisibile per p.

Test di Pépin Dal teorema di Pépin si trova un algoritmo per testare la primalità dei numeri di Fermat. Un numero di Fermat della forma Fn=2k+1, dove k=2n. Fermat asserì (erroneamente) che tutti i numeri di tale forma fossero primi.

Scomposizione dei numeri di Fermat Fn Goldbach (1729) provò che F5=232+1 sia composto, dal fatto che F5=641.6700417. Verso la fine del 19° si cerca di trovare se F6 sia primo o composto. Il più grande numero di Fermat esplorato col test di Pépin è F22, che contiene 1262612 cifre, esso è composto. Il più grande numero conosciuto essere composto è F23471. Il primo numero di Fermat sconosciuto è F24.

Test di Pépin Teorema. La condizione necessaria e sufficiente affinchè il numero an=2k+1, con k=2n sia primo, per n>1, è: che il numero 5(an-1)/2+1 sia divisibile per an.