LA CONVEZIONE

Caratteri della convezione Ci si riferisce fondamentalmente allo scambio di calore tra un solido ed un fluido in moto rispetto ad esso. Se il fluido fosse fermo: T  ≠ T p TpTp y x L Con il fluido in moto: ADERENZA DELLE PARTICELLE FLUIDE ALLA PARETE Nusselt ( )

CLASSIFICAZIONE Origine del moto ForzataNaturale Geometria del solido x r D Deflusso interno x y V Deflusso esterno

CLASSIFICAZIONE Carattere del moto LaminareTurbolento

STRATI LIMITE x = 0 y Velocità Le particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastanti Lo spessore dello strato limite d = d(x) è il valore di y per cui u=0,99u  Si denomina coefficiente d’attrito il valore: con τ s sforzo tangenziale alla parete

STRATI LIMITE Termico In generale: d t ≠ d Parete riscaldata Strato limite termico Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e scambiano energia con quelle sovrastanti Lo spessore dello strato limite d t = d t (x) è il valore di y per cui: Se T p -T  non varia con x, ne segue che d T cresce, diminuendo il gradiente di temperatura e quindi il calore scambiato

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 1/12 Ipotesi di flusso bidimensionale Conservazione della massa nel volume di controllo: Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue: VELOCITA’notazionevettoriale

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 2/12 se r = cost In coordinate cilindriche: VELOCITA’ II Legge di Newton nel volume di controllo: Quantità di moto eu MM t M F        Forze esterne DI MASSA (ad es. campo gravitazionale o elettromagnetico) DI SUPERFICIE Flussi della quantità di moto

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 3/12 Rappresentazione delle forze di superficie VELOCITA’ s = sforzo normale; t = sforzo tangenziale 1° pedice: orientamento della superficie su cui agisce lo sforzo 2° pedice: direzione della componente dello sforzo

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 4/12 VELOCITA’ La portata in massa nel piano y-z è: (altezza unitaria) Il flusso della q.d.m. è pertanto: Analogamente, nel piano x-z: Il flusso netto nella direzione x è dunque: L’incremento temporale della quantità di moto nel volume di controllo è: Operando le dovute sostituzioni nella II legge di Newton si ottiene, lungo x: Forza di volume

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 5/12 VELOCITA’ Per La semplificazione delle equazioni del moto si ipotizza un comportamento newtoniano del fluido: GLI SFORZI VISCOSI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AI GRADIENTI DI VELOCITA’ Introducendo la viscosità m, le equazioni che esprimono tale dipendenza sono: La sostituzione delle relazioni citate nella II legge di Newton prima ricavata, si ottengono le equazioni di NAVIER ( ) – STOKES ( ) L’espressione si semplifica notevolmente per fluidi incomprimibili e con viscosità costante Ovvero in notazione vettoriale trasposta

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 6/12 TEMPERATURA Si vuole descrivere l’andamento della temperatura all’interno dello strato limite termico convezione per l’ingresso del fluido superficie di controllo volume di controllo sorgenti interne EQUAZIONE DELL’ENERGIA e = energia cinetica + energia potenziale solo convezione, si trascura l’irraggiamento

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 7/12 TEMPERATURA Sostituendo nell’equazione dell’energia: Ricordando la definizione di entalpia per unità di massa del fluido: L’equazione dell’energia, sfruttando l’equazione di continuità, diventa: dove:

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 8/12 TEMPERATURA Ricordando l’espressione dell’operatore D: Dalla definizione di entalpia per una sostanza pura monofase: L’equazione si trasforma come segue: Se il fluido è incomprimibile (b = 0): si ottiene: con coeff. di dilatazione termica Se il fluido è un gas ideale (b T=1) :

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 9/12 TEMPERATURA Se la conducibilità termica del fluido è costante con la temperatura, non c’è generazione interna di calore ed è trascurabile la comprimibilità, insieme alla dissipazione viscosa m : o in coordinate cilindriche: ovvero:

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 10/12 Regime stazionario; proprietà fisiche del fluido (k, m, c p, …) costanti; fluido incomprimibile; forze di massa trascurabili (X = Y = 0); assenza di generazione interna di calore; approssimazione di strato limite Condizioni particolari u >> v Per gli sforzi tangenziali si ottiene: l’equazione di continuità assume la forma: l’equazione della quantità di moto lungo x diventa: l’equazione della quantità di moto lungo y diventa: velocità disaccoppiata dalla temperatura l’equazione dell’energia diventa:

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 11/12 Parametri di similitudine L’obiettivo è di trovare equazioni rappresentative del moto in cui compaiano solo gruppi adimensionali Si introducono le variabili adimensionali seguenti: Sostituendo nelle si ottiene: con le condizioni al contorno: Parete Corrente libera STRATO LIMITE DI VELOCITA’ STRATO LIMITE TERMICO Parete con le condizioni al contorno:

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 12/12 Parametri di similitudine Introducendo i numeri adimensionali le equazioni si trasformano come segue: EQUAZIONI ADIMENSIONALI Lo sforzo tangenziale alle parete è: da cui si ricava il coefficiente di attrito: Il numero di Nusselt si esprime come:

EFFETTI DI TURBOLENZA 1/3 Si tratta di una distorsione delle linee di corrente del deflusso laminare. Se Re è piccolo, i disturbi vengono dissipati, altrimenti si amplificano e il moto diventa turbolento. Il deflusso turbolento dà luogo a fluttuazioni nel tempo delle proprietà P del moto: La grandezza P è data, istante per istante, da: Valore medio temporale Componente fluttuante

EFFETTI DI TURBOLENZA 2/3 Nelle ipotesi di deflusso stazionario, fluido incomprimibile a proprietà costanti, le equazioni della conservazione della quantità di moto (lungo l’asse x) e dell’energia diventano: Lo sforzo tangenziale si esprime pertanto come segue: e il flusso termico totale: Si intensificano i trasferimenti di quantità di moto e di energia al fluido Uno dei modelli più semplici per la spiegazione della turbolenza chiama in causa i vortici Porzioni del fluido in moto nello strato limite prima di dissolversi nella matrice fluida

EFFETTI DI TURBOLENZA 3/3 Si introduce la viscosità turbolenta e M come: e la diffusività termica turbolenta e H come: La maggiore intensità di mescolamento rende i profili di velocità più uniformi nel moto turbolento il gradiente di velocità (quindi gli sforzi alle pareti) e il gradiente di temperatura (quindi il flusso termico) risultano superiori nel moto turbolento rispetto al moto laminare