L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N

Impareremo a … Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il "comportamento", gli elementi neutri Lo 0 nelle due operazioni

Cos'è un'operazione aritmetica? Eseguiamo una piccola operazione 2+3=5 Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5. Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +

Diciamo che L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni. I due numeri dati si dicono termini dell'operazione, il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione.

Addizione in N Operazione e termini Procedimento Definizione addizione Operazione interna Commutativa Associativa Dissociativa Elemento neutro

Operazione e suoi termini Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali 10+5=15 8+8=16 5+2=7 addendi somma Sebastiano: aggiunte unità. Paola:boh!

Procedimento Quale procedimento ci permette di ottenere le somme, cioè i risultati delle addizioni? Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda: dal numero 10 come arriviamo al numero 15? Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando! E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità quante sono indicate dal secondo addendo, il numero 5.

Definizione di addizione L’addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma, al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo.

Operazione interna Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsiasi, notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale: : Anna: sono tutti Naturali. Luca:perché bisogna badare ai risultati essi sono ancora elementi di N N 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7 7 + 4 = 11 4 + 1 = 5 10 + 5 = 15 15 + 5 = 20 4 + 4 = 8

Le proprietà: l'addizione è commutativa 5+6=11 6+5=11

l'addizione è associativa 4+5+3=12 associo il 4 con il 5 (4+5) + 3 = 9 + 3 = 12 È la proprietà associativa

Gode della proprietà dissociativa 3 + 25 = 28 3 + 20+ 5 = 28 ho dissociato l'addendo 25 Questa è la proprietà dissociativa

Ha l'elemento neutro 6+5+0 = 11 6+5 = 11 8+9+5+0= 22 8+9+5 = 22 6+5+0 = 11 6+5 = 11 8+9+5+0= 22 8+9+5 = 22 11+5+4+0+2+3 = 25 11+5+4+2+3 = 25 Noto che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione

minuendo sottraendo differenza (o resto) La sottrazione Procediamo come per l’addizione … 10 – 8 = 2 minuendo sottraendo differenza (o resto)

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e, come tale … Procedimento Quale procedimento ci permette di ottenere le la differenza, cioè il risultato della sottrazione? Dal numero 10 come arriviamo al numero 2? Considera: c’è un legame tra addizione e sottrazione? 10-8=2 2+8=10 e anche 10-2=8 8+2=10 La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e, come tale …

Definizione della sottrazione Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10! Perciò: La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia come risultato il minuendo.

Operazione interna? Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un diagramma di Eulero-Venn Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N. il risultato non sempre appartiene a N. N 8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 ? 10 – 15 = 7 – 4 = 3 ? 3 – 7 = 15 – 5 = 10 Anna: sono tutti Naturali. Luca:perché bisogna badare ai risultati essi sono ancora elementi di N

Le proprietà: la sottrazione non è commutativa 9-6=3 6-9≠3

Gode della proprietà invariantiva Consideriamo la sottrazione 12 – 7 = 5 Operiamo nel seguente modo: (12+2) – (7+2) = 14 – 9 = 5 E ancora (12-4) – (7-4) = 8 – 3 = 5 Il risultato di una sottrazione non cambia se al minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva

Brevi considerazioni Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento neutro poiché anche se 5-0=5 Essendo falso: 0-5=5 lo zero non può considerarsi elemento neutro.