Le parole “difficili” in geometria Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici Terzo incontro Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014 1

IL PORTAPOSATE DI NONNA AGOSTINA (da Nel mondo della matenmatica vol,2 a cura di Clara Colombo Bozzolo… Erickson) Tra le bancarelle del mercato, nonna Agostina trova un portaposate molto semplice, ma funzionale. Sulla confezione è disegnata la rappresentazione schematica dell’utensile, che vedi di fianco, e sulla quale è riportata una misura reale.Nonna Agostina nota che il disegno è formato da quattro rettangoli congruenti. Si ricorda che il fondo del cassetto in cui vorrebbe riporre il portaposate è un rettangolo largo 50cm e lungo 65cm.  Il portaposate starà in questo cassetto? 15cm Rispondi alla domanda e spiega come hai proceduto………………………….. …………………………………………………………………………………. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

RETTANGOLI IN INCOGNITO Le misure, in centimetri, delle lunghezze dei lati di un rettangolo sono espresse da numeri interi. Il perimetro del rettangolo è 26 cm. Quanti sono i rettangoli che corrispondono a questa descrizione? * Qual è la somma della lunghezza di due lati consecutivi del rettangolo descritto? ………………. Perché?………………………………………………………… * Per individuare i rettangoli descritti usa la seguente tabella: ℓ e ℓ’ indicano le lunghezze di due lati consecutivi del rettangolo. 7 8 9 10 11 12 di ℓ’ 6 5 4 3 2 1 di ℓ Misura in centimetri di ℓ’ di ℓ Misura in centimetri Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Viste le richieste successive si determina la misura dell’area in centimetri quadrati di ciascuno dei rettangoli Misura in centimetri di ℓ 1 2 3 4 5 6 di ℓ’ 12 11 10 9 8 7 Misura in centimetri quadrati dell’area 12 22 30 36 40 42 Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Per ogni coppia di lunghezze che hai determinato, disegna su carta centimetrata il rettangolo da essa individuato. Quanti rettangoli hai trovato? ……………………………….. Un rettangolo R: ha i lati le cui lunghezze sono un numero intero di centimetri ha il perimetro di 22cm è equiesteso ad uno dei rettangoli precedenti. Quanto sono lunghi i lati del rettangolo R? * Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Il rettangolo R è quello con i lati lunghi 5cm e 6cm. Per individuare il rettangolo R si può seguire il procedimento descritto nella prima parte del problema; in questo caso le misure, in centimetri, delle lunghezze di due lati consecutivi devono avere come somma 11: Misura in centimetri di ℓ 1 2 3 4 5 di ℓ’ 10 9 8 7 6 Misura in centimetri quadrati dell’area 18 24 28 30 Il rettangolo R è quello con i lati lunghi 5cm e 6cm. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

ha il lato la cui lunghezza è un numero intero di centimetri Un rettangolo Q: è quadrato ha il lato la cui lunghezza è un numero intero di centimetri è equiesteso ad uno dei rettangoli con perimetro 26cm. Quanto è lungo il lato del rettangolo Q? * Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto. 7 8 9 10 11 12 di ℓ’ 6 5 4 3 2 1 di ℓ Misura in centimetri Misura in centimetri quadrati dell’area 42 40 36 30 22 Il quadrato Q deve avere area 36cm2, dato che questo è l’unica misura della prima parte che risulta essere il quadrato di un numero naturale. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

TRIANGOLI IN INCOGNITO Le misure, in centimetri, delle lunghezze dei lati di un triangolo sono espresse da numeri interi. Il perimetro del triangolo è 12 cm. Quanti sono i triangoli che corrispondono a questa descrizione? - Il triangolo descritto può avere un lato lungo 6cm? ………………. Perché?…. - Il triangolo descritto può avere un lato lungo più di 6cm? …Perché?…….. * Per individuare i triangoli descritti usa la seguente tabella: ℓ, ℓ’e ℓ” indicano le lunghezze dei tre lati del triangolo.   Misura in centimetri di ℓ di ℓ’ di ℓ” Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Analisi del compito e dei possibili sviluppi I triangoli descritti nel problema hanno i lati lunghi meno di 6cm, affinché sia rispettato il criterio di costruibilità; le misure, in centimetri, delle lunghezze dei loro lati sono, dunque, tutte le terne di numeri, minori di 6 e maggiore di 0, che hanno 12 come somma. Per ogni terna di lunghezze che hai determinato, con gli strumenti opportuni disegna il triangolo da essa individuato.  Quanti triangoli hai trovato? ……………………………….. Contrassegna con una lettera diversa ognuno dei triangoli che hai trovato.   Misura in centimetri di ℓ 5 4 di ℓ’ di ℓ” 2 3 Nome del triangolo a b c Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

La classificazione rispetto ai lati è piuttosto immediata Completa i seguenti diagrammi: inserisci nella zona opportuna la lettera che individua ogni triangolo. Se è necessario usa il goniometro per misurare l’ampiezza degli angoli dei triangoli La classificazione rispetto ai lati è piuttosto immediata essere isoscele a c b essere rettangolo essere ottusangolo b Si osserva che per il triangolo c la misura è inutile, perché in quanto equilatero, esso è sicuramente acutangolo. c a Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

TRIANGOLI IN INCOGNITO I triangoli a, b, c, d, e - sono isoperimetrici e hanno perimetro minore di 30cm - non sono tra loro congruenti - hanno i lati le cui lunghezze sono espresse da un numero intero di centimetri. Inoltre: il triangolo a è equilatero i triangoli b e c sono entrambi isosceli e hanno almeno un lato lungo 10cm. Qual è il perimetro dei triangoli? * Rispondi alla domanda e spiega il ragionamento che hai fatto. ………………………………………………………………………………… Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

TRIANGOLI IN INCOGNITO Il triangolo b è acutangolo. Quanto sono lunghi i suoi lati? Quanto sono lunghi i lati del triangolo c?  Sul quaderno, con gli strumenti opportuni disegna i possibili triangoli isosceli che rispettano tutte le caratteristiche descritte. * Rispondi alle domande del problema e spiega il ragionamento che hai fatto.……………………………………………………………………………… Il triangolo -         d è rettangolo e ha due lati lunghi 6cm e 8cm -         e ha due lati lunghi 4cm e 7cm. Esistono questi triangoli? È possibile costruire il triangolo rettangolo d? ……………… Perché? ……. Se hai risposto sì, qual è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo? ………… È possibile costruire il triangolo e? ……………………… Perché? …… Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

TRIANGOLI IN INCOGNITO Il problema consiste nel determinare i triangoli dl perimetro minore di 30cm e che hanno le lunghezze dei lati espresse da un numero intero di centimetri. Il fatto che tra i triangoli ce ne sia uno equilatero, significa che la misura, in centimetri, del perimetro è un multiplo di 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27. I triangoli b e c sono isosceli e non congruenti né tra loro né con quello equilatero; da ciò si deduce che la misura, in centimetri, del perimetro - è maggiore di 20, dato che i due lati congruenti possono essere lunghi 10cm - è un numero pari, dato che, se i due lati non congruenti non sono lunghi 10cm, la somma delle loro lunghezze è pari; il perimetro è, pertanto, 24cm. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

- il triangolo equilatero a ha i lati lunghi 8cm Si ricava che -         il triangolo equilatero a ha i lati lunghi 8cm -         i due triangoli isosceli possono avere i lati lunghi 10cm, 10cm, 4cm, oppure 10cm, 7cm, 7cm; si dice che b è acutangolo, quindi è il triangolo con i lati lunghi 10cm, 10cm, 4cm, dato che l’altro triangolo isoscele è ottusangolo. Il triangolo c ha i lati lunghi 10cm, 7cm, 7cm. Per l’individuazione del triangolo d sono date informazioni superflue, ma gli alunni non sono a conoscenza del teorema di Pitagora. Non esiste il triangolo e perché le lunghezze dei suoi lati 4cm, 7cm, 13cm non rispettano il criterio di costruibilità. Per quanto riguarda l’area dei triangoli si ha -         area del triangolo a: 27,71cm2 -         area del triangolo b: 9,95cm2 -         area del triangolo c: 24,49cm2 -         area del triangolo d: 424cm2 a meno di errori dovuti all’imprecisione nelle misure delle lunghezze delle altezze Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Problemi con le figure Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Puzzle geometrico di Sam Loyd Osserva i cinque pezzi che formano il puzzle. Ricopiali su un cartoncino centimetrato e ritagliali. Ora prova a costruire dei poligoni convessi, uno diverso dall’altro, utilizzando ogni volta tutti i cinque pezzi che hai ritagliato Il tuo lavoro è finito quando sarai riuscito a costruire: 1 triangolo, 7 quadrilateri, 7 pentagoni e 3 esagoni. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

TRIANGOLI QUADRILATERI Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

PENTAGONI ESAGONI Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Successivamente si chiede di calcolare 1) la misura dell’area in centimetri quadrati 2) la misura del perimetro in centimetri 3) è ora interessante chiedere di calcolare • velocemente... la misura dell’area di ogni poligono costruito • nel modo più conveniente la misura del perimetro degli stessi poligoni. Si può concludere il lavoro facendo una partizione dell’insieme dei 18 poligoni trovati, secondo la relazione “ ... essere isoperimetrico a ...”. Si potrà così ribadire che due o più poligoni che hanno la stessa area non necessariamente hanno anche lo stesso perimetro. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Poligono a b d e misura dell’area in cm2 4 3 5 7 Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Anche per la misura del perimetro basta osservare che i tratti obliqui rispetto alla quadrettatura sono multipli dell’ipotenusa del triangolo rettangolo fig.c . La lunghezza di tale segmento si calcola facilmente applicando al triangolo c il Teorema di Pitagora: mis. in centimetri dell’ipotenusa del triangolo c = 2,2…= 5 Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

UN CICLAMINO SPECIALE I petali del fiore sono …... La foglia è un poligono …... Il contorno del fiore è un poligono …….. Le due parti dello stelo sono linee …….. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Disegna i tre petali e scrivi il nome di ogni figura Calcola la misura dell’area di ciascun quadrilatero in cm2 Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Calcola la misura dell’area della foglia in cm2 E’ più esteso il fiore o la foglia? Calcola il perimetro del fiore e della foglia, adopera il righello solo se necessario Un petalo del fiore ha un asse di simmetria, evidenzialo con un colore Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

La “bambolina poligonale” si trasforma Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Nella fig. 1 vedi il ritratto di una bambolina poligonale. Quanti poligoni formano il ritratto?............ Denomina ogni poligono con una lettera minuscola e precisa il nome e le caratteristiche di ognuno. Colora con uno stesso colore i poligoni equiestesi Scrivi la misura dell’area di ogni poligono in unità - quadretto (cm2) e deduci la misura dell’area della bambolina. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Il ritratto della bambolina ha un asse di simmetria: segnalo. Sai giustificare, senza usare le misure, perché il perimetro della gonnellina è maggiore di quello delle braccia? Ricopia il ritratto della bambolina su un foglio centimetrato. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Che poligono hai ottenuto?........... Ricopialo sul tuo quaderno. Ritaglia i singoli poligoni e ricomponili in modo da formare un poligono convesso. Che poligono hai ottenuto?........... Ricopialo sul tuo quaderno. Calcola la misura della sua area in quadretti. Attenzione !... Il poligono convesso che hai trovato ha assi di simmetria? ... Se la risposta è “sì” , segnalo. Calcola la misura del perimetro del poligono trovato in centimetri. Lunghezze: lato quadretto 1cm; di conseguenza la lunghezza della diagonale-quadretto, approssimata ai millimetri è 1,4cm. Fai vedere il procedimento che segui. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Possibili risposte non uniche Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Domanda per i docenti e per gli allievi di scuola media : Perché con questi pezzi è sicuramente impossibile costruire un quadrato? .............................................................. Possiamo ora continuare l’attività proponendo di ricopiare, sempre su carta centimetrata, solo il contorno di ogni poligono e di verificare se la sua area è di 22 quadretti unitari, per differenza dall’area del rettangolo meno esteso in cui tale poligono è contenuto. Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Esempi Verifichiamo, per differenza, che l’area di ogni poligono è di 22 quadretti ( cm2). Misura dell’area dei poligoni disegnati in quadretti (cm2) rettangolo triangoli poligono 6x5=30 2x4 = 8 30-8 = 22 ottagono 7x5=35 2x2+4,50x2 = 13 35-13=22 esagono 6x4=24 2x1=2 24-2 = 22 pentagono Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

I seguenti poligoni sono isoperimetrici? Giustifica la tua risposta Fig.4 Fig.1 Fig.2 Fig.3 Vi sono poligoni equiestesi? Giustifica la tua rispoasta Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Da un poligono tante figure domande riposte corrette Quanti lati ha il poligono? 95 % Il suo nome è… 50 % Quanti angoli? 85 % Quanti angoli sono retti? 40 % Gli altri due angoli sono 25 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Da un poligono tante figure domande riposte corrette Quanti lati ha il poligono? 95 % Il suo nome è… 50 % Quanti angoli? 85 % Quanti angoli sono retti? 40 % Gli altri due angoli sono 25 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

domande riposte corrette 85 % 50 % 25 % Quale delle due figure è la più estesa? 85 % Il contorno della prima figura da quanti lq è formata 50 % E quello della seconda figura? 25 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

domande risposte corrette 30 % 25 % 10 % 0 % Questa figura è più estesa o meno estesa delle precedenti? 30 % Espressione per il calcolo dell’area in q 25 % Espressione per la misura del perimetro 10 % Un’altra proprietà in comune 0 % Costruzione errata per errori di ritaglio 25 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Costruzione nuova figura 12 % Costruzione scatola senza coperchio 100 % Poligono da aggiungere come coperchio 100 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

40 % 45 % Disegni della scatola con coperchio corretti 90 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014

Disegno diverso dagli altri 5 % Clara Colombo Bozzolo-Patrizia Dova-Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre-dicembre 2014