Esempio -1 Individuare il centro di massa di un sistema di tre particelle di massa m1 = 1kg, m2 = 2 kg, e m3 = 3kg, poste ai vertici di un triangolo equilatero con lato = 1m y m3 m2 m1 x

x1 = 0 y1 = 0 xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = x2 = 1 y2 = 0 Avendo posizionato il triangolo sul piano x-y come in figura, risulta: x1 = 0 y1 = 0 x2 = 1 y2 = 0 x3 = ½ y3 = ½ √3 xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = = 1 x 0 + 2 x 1 + 3 x ½ / (1+2+3) =3,5 / 6 yCM = ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) = = 1 x 0 + 2 x 0 + 3 x ½ √3/ (1+2+3) = 2,6 / 6 y m3 m2 m1

Esempio -2 Sulle tre particelle localizzate come in figura agiscono le tre forze indicate y 16 nt m2 4 kg 6 nt m1 8 kg CM -3 -2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 3 4 m3 4 kg 14 nt Quesito: Trovare l’accelerazione del centro di massa del sistema

xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = (8 x 4 + 4 x (-2) + 4 x 1) / 16 = 28/16 yCM= ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) = (8 x 1 + 4 x 2 + 4 x (-3)) / 16 = 4 / 16 yCM = 1/4 m

La risultante delle forze ha pertanto modulo: Determiniamo adesso la risultante delle forze agenti sul sistema: Fx = 0 – 6 nt + 14 nt = 8nt Fy = 16nt + 0 + 0 = 16 nt La risultante delle forze ha pertanto modulo: F = (Fx2 + Fy2) ½ = (82 + 162) ½ = 18 nt E forma con l’asse x un angolo θ dato da θ = arctan (16nt/8 nt) = arctan (2) = 63°

L’accelerazione del centro di massa sarà quindi a = F / Mtot = 18 nt / 16 kg = 1,1 m/s2 e formerà con l’asse x lo stesso angolo di 63 gradi

Esempio -3 Consideriamo due blocchi A e B, di massa mA e mB, uniti da una molla a riposo, su un piano orizzontale privo di attrito. Allontaniamo i blocchi, tendendo la molla e quindi lasciamoli liberi. Descrivere il moto che ne segue.

Ma quali considerazioni fisiche possiamo fare ? OK, qualitativamente sappiamo già che tipo di moto ci aspettiamo: Ma quali considerazioni fisiche possiamo fare ?

Il sistema è isolato Non agiscono forze esterne su di esso Le uniche forze presenti sono quelle interne generate dalla molla che si annullano a vicenda Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva Quando abbondoniamo i due blocchi, risulta P = 0 Quindi deve essere P=0 in ogni istante successivo Questo certamente è possibile anche se i due blocchi si muovono: la quantità di moto è una grandezza vettoriale. Quindi se in un dato istante uno dei due blocchi avrà una quantità di moto positiva, l’altro l’avrà negativa. P = 0 = mAvA + mBvB  mBvB = − mAvA  vA = −(mB / mA) vB

KA = ½ mAvA2 che possiamo scrivere come: (mAvA)2 / 2mA Quindi: le velocità sono sempre di segno opposto e con il rapporto fra i moduli inverso al rapporto fra le masse L’energia cinetica di A vale: KA = ½ mAvA2 che possiamo scrivere come: (mAvA)2 / 2mA Analogamente: KB = ½ mBvB2 che possiamo scrivere come: (mBvB)2 / 2mB Da cui, poiché : (mAvA)2 = (mBvB)2 risulta: KA / KB = mB / mA Cioè le energie cinetiche sono inversamente proporzionali alle rispettive masse Poiché l’energia meccanica si conserva, i blocchi continueranno a oscillare scambiando Continuamente energia cinetica e energia potenziale.

Esempio -4 Consideriamo il caso di una palla lanciata in aria e poi afferrata al rientro a terra. A scopo esemplificativo, assumeremo che l’agente che lancia la palla, essendo ancorato a terra faccia parte della terra. Considereremo anche trascurabile l’attrito dell’aria. Il sistema in esame in sostanza è il sistema terra- palla. Le forze in gioco fra i due elementi del sistema, e cioè la terra e la palla, sono solo forze interne. Definiremo un sistema di riferimento in cui la terra è inizialmente ferma, e rispetto al quale, al momento del lancio, subirà un contraccolpo.

pT-P = 0 = pT + pP 0 = mT vT + mP vP mT vT = − mP vP Inizialmente, la quantità di moto del sistema terra-palla pT-P è nulla, e poiché non vi sono forze esterne che agiscono sul sistema, resterà sempre nulla. Quindi in qualsiasi istante successivo: pT-P = 0 = pT + pP 0 = mT vT + mP vP mT vT = − mP vP Quindi, quando la palla si allontana la terra retrocede e quando la palla si Riavvicina, la terra va in contro alla palla. I rapporto dei moduli delle velocità è inverso rispetto al rapporto fra le masse, il che ci dimostra che trascurare l’effetto del moto della Terra è lecito, essendo questo rapporto pari a circa 10−24 !

Esempio -5 Il caso della cinghia convettrice, in cui del materiale viene continuamente versato su una cinghia scorrevole come in figura TROVARE LA FORZA NECESSARIA PER FARE SCORRERE LA CINGHIA A VELOCITA’ COSTANTE

F = d/dt [ (m+M) v ] = (m+M) dv/dt + v d/dt (m+M) Indichiamo con m la massa del materiale sulla cinghia e M la massa della cinghia. La quantità di moto del sistema (cinghia + materiale sulla cinghia) sarà: P = (m + M) v e la forza che cerchiamo è F = dP/dt Cioè: F = d/dt [ (m+M) v ] = (m+M) dv/dt + v d/dt (m+M) = (m+M) dv/dt + v dm/dt + v dM/dt Poiché M e v sono costanti l’equazione si riduce a: F = v dm/dt