LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Progetto DIGISCUOLA Autore: Prof. Antonio Scarpa

IL PAPIRO DI AHMES Il Papiro di Ahmes è il primo documento con un problema la cui soluzione richiede un'equazione di primo grado esso si trova su un papiro egiziano del 1700 a.C. circa, ed è conservato al British Museum di Londra. L'incognita viene indicata con il termine “mucchio”. Papiro di Ahmes, problema numero 25. Qual è il valore del mucchio, se il mucchio sommato alla sua metà diventa 16?

DEFINIZIONE DI EQUAZIONE Un'equazione è un'uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si cercano i valori da attribuire a una o più lettere che rendono vera l'uguaglianza. ESEMPIO 3x-5=2x-4 Che è verificata per x=1 Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dell'equazione; quella a sinistra è il primo membro, quella a destra il secondo membro. Le lettere per le quali si cercano i valori che rendono vera l'uguaglianza, sono dette incognite dell'equazione.

LE SOLUZIONI DI UN'EQUAZIONE I valori che rendono vera l'uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell'equazione. Si può anche dire che tali valori «verificano» (o anche «soddisfano») l'equazione. ESEMPIO Un’equazione x-5=3 ha per soluzione 8, perché 8-5=3. Diciamo che la soluzione è x=8. Risolvere un'equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l'uguaglianza. Tali valori costituiscono l'insieme delle soluzioni dell'equazione.

EQUAZIONI EQUIVALENTI Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Per esempio: 6x-2=0 è equivalente a 6x=2. Per risolvere un'equazione cercheremo di trasformarla in equazioni equivalenti, via via più semplici, fino a giungere a un'equazione in cui sia immediato trovare l'insieme delle soluzioni. Le regole di trasformazione di un'equazione in altre equazioni a essa equivalenti sono stabilite dai principi di equivalenza.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Data un'equazione, se si aggiunge ai due membri uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene un'equazione equivalente. ESEMPIO Consideriamo l'equazione 3x = 6 che ha come soluzione x = 2. Aggiungiamo a entrambi i membri 4 e otteniamo 2x + 4 = 6 + 4, ossia 2x + 4 = 10. La soluzione di questa equazione è x = 2, quindi è equivalente a quella data.

LE APPLICAZIONI DEL PRIMO PRINCIPIO REGOLA DEL TRASPORTO Data un'equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all'altro, cambiandolo di segno REGOLA DI CANCELLAZIONE Termini uguali presenti in entrambi i membri di un'equazione possono essere soppressi, ottenendo un'equazione equivalente.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Data un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente se si moltiplicano o si dividono i due membri per uno stesso numero, o espressione, diverso da 0.

LE APPLICAZIONI DEL SECONDO PRINCIPIO LA DIVISIONE PER UN FATTORE COMUNE DIVERSO DA ZERO Se tutti i termini di un'equazione hanno un fattore numerico comune (diverso da 0), si ottiene un'equazione equivalente dividendo tutti i termini per quel fattore. IL CAMBIAMENTO DI SEGNO Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

LE EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI Data un'equazione numerica nella forma: ax = b,