INSOLUBILITA’ DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio Luglio 2002

Il problema diofanteo Un’equazione diofantea è un’equazione della forma: E0(x1,…,xn) = E1(x1,…,xn) dove E0 , E1 sono poly(nomi) a coefficienti interi positivi. poly::=monom| |monom+monom monom::=NAT|VAR| |monom.monom NAT::=(1|2|…|9)(0|1|2|…|9)* VAR::=x|y|z|u|v|w|VAR NAT Un’equazione diofantea esponenziale è una equazione della forma: E0(x1,…,xn) = E1(x1,…,xn) dove E0, E1 sono polinomi esponenziali (polyexp) a coefficienti interi positivi. polyexp::=monom| |monom+monom monom::=NAT|VAR| |monom.monom| |monommonom

Esempio Data l’equazione: (x+2)2 = 1 + 7y2 il cui grafico è il seguente: -3 -1 Sue soluzioni intere sono: (-1,0),(-3,0). Ci chiediamo se esistono soluzioni sui naturali: una breve ricerca rivela che (6,3) è soluzione intera positiva per l’equazione data. Cercare soluzioni intere / naturali sono sottoproblemi del cercare soluzioni reali ma non per questo risulta essere più banale.

Il X problema di Hilbert era: trovare un metodo per determinare se una equazione diofantea data ha soluzioni su ℤ. si ALGORITMO DI DECISIONE E0, E1 no

:questo problema specifica le terne pitagoriche: (w+1)2 z2 :questo problema specifica le terne pitagoriche: x2 + y2= z2, dove x,y,z > 1

:grazie al grande teorema di Fermat dimostrato nel 1995 (u+1)w+3 + (v+1)w+3 zw+3 L’enigma di Fermat L’Ultimo teorema di Fermat o “enigma” di Fermat afferma che non esistono numeri interi positivi legati dalla relazione: xn + yn = zn con n > 2

INDICE » casi decidibili emblematici » riduzione del X a ℕ » idea chiave della dimostrazione di insolubilità: › insiemi diofantei; › insiemi diofantei esponenziali; › insiemi r.e. ( listabili ). » insolubilità del X ( gödelizzazione, argom. diagonale ) » questioni aperte › limitazione alla forma normale di Davis › ampliamento del X a ℚ D D E E R R   ?   ?

Sottoproblemi classici (risolti) del X.  equazioni lineari: ax + by = c con a, b, c > 0  equazioni di Pell: x2 - (b2 - 1) y2 = 1 con b > 0 C.N.S. per la risolubilità di  è che M.C.D(a,b) | c ;  ha sempre infinite soluzioni.  ricade come caso particolare nella decidibilità dell’aritmetica additiva (Presburger, 1929). Sia  che  ricadono nella decidibilità di equazioni di 2° grado.

Riduzione di altri problemi al diofanteo

Congettura di Martin Davis (1953) Def.: (rappresentazione diofantea di un insieme S) Si dice diofanteo un insieme S associato a un polinomio parametrico diofanteo D come segue: (a1, … , an)  S   x1, … , xm D(a1, … , an, x1, … , xm) = 0 (n si chiama dimensione di S) Congettura: le nozioni diofanteo si equival- di insieme ricorsivamente enumerabile gono Dalla dimostrazione di questa discese, nel 1970, l’insolubilità del X problema di Hilbert.

CRESCITA ESPONENZIALE Paradigma di ricorrenza: b(0) = 1 b(n+1)=b . b(n) a=bc  a = b(c) Varianti: b(n) = b(n) = n per n = 0,1 b(n+2) = b(n+1) + b . b(n) b(n+2) = b(n+1) - b . b(n) n = 1(n) [seq. Fibonacci] La diofantinità di a = bc discende da quella di una delle segg. relazioni: v = 2u (1970); a = b(c) (1970); a = b(c) (1993)

Ecco il modo in cui Davis (1973) rappresenta la relazione m = nk con m,n,k > 0: pell(c,x,y) Def x2 - (c2 - 1) . y2 = 1 pell(a,x,y) pell(a,u,v) pell(b,s,t) b > a > 1 y  k > 0 b > 4y 4y | b - 1 v > 0 y2 | v u | b - a s > x u | s - x t  k 4y | t- k ( x - y . (a - n) - m)2 = f2 . (2a . n - n2 - 1)2 2a . n - n2 - 1 > m > 0 pell(w,a,(w - 1) . (g + 1)) w > n > 0 w > k

Corollari della diofantinità di m = nk r.e secondo Turing  Gli insiemi diofantei esponenziali coincidono . . . diofantei  Per altra via: • gli insiemi diofantei sono chiusi rispetto alla quantificazione limitata (y)yx • le funzioni diofantee sono tutte e sole le ricorsive. 

Gödelizzazione di polinomi - I poly(N,P) :- natural(N), !, M is N mod 3, (M==0 -> M1=3; M1=M), I is (N-M1) //3, (N==0 -> P=1; M==1 -> name(I,S), [X] = "x", name(P,[X|S]) ; cantor(L,R,I), poly(L,PL), poly(R,PR), ( M==2 -> P=PL+PR; P=PL*PR )). poly(0,1). poly(N,Xi) :- atom(Xi), name(Xi,[X|S]), [X]="x", name(I,S), N is 3*I+1. poly(N,P+Q) :- poly(L,P),poly(R,Q), cantor(L,R,C), N is 3*C+2. poly(N,P*Q) :- poly(L,P),poly(R,Q), cantor(L,R,C), N is 3*C+3.

Gödelizzazione di polinomi - II % l'N-simo numero triangolare e`... triang(N,T) :- natural(N), !, T is (N*(N+1)) // 2. %…la somma T= 0+1+2+...+N triang(0,0). triang(Np1,TT) :- triang(N,T), Np1 is N+1, TT is T+Np1. cantor(L,R,C) :- natural(L), !, LpR is L+R, triang(LpR,T), C is T+R. cantor(L,R,C) :- triang(N,T), (T==C -> L=N,R=0; T>C -> R is C-T+N, L is N-1-R), !. Indicheremo con L(n), R(n) le projez. associate alla funzione di abbinamento, i.e., cantor(L(n), R(n) , n)

Argomento diagonale contro la risolubilità del X Ora sappiamo gödelizzare i poly involgenti la sola costante 1 e, come variabili, le x0 , x1 , x2 ,... : n | Pn (x0 , x) Di qui una enumerazione effettiva D0 , D1 , D2 ,… di tutti i sottinsiemi diofantei di ℕ : Dn = { x0 |  x PL(n) (x0 , x)= PR(n) (x0 , x)} Possiamo trovare polynomi PL(n*) (x0 , x) , PR(n*) (x0 , x) anche per l’insieme, che si dimostra diofanteo, { k | R(k)  DL(k) } (=Dn* ) mentre è, evidentemente, non diofanteo il  = { h | h  Dh } -->-->-->

Argomento diagonale contro la risolubilità del X -->-->--> Se per assurdo potessimo risolvere il X, allora avremmo modo di verificare se R(k)  DL(k) , ossia  x PL(n*) (x0 , x) = PR(n*) (x0 , x) o no; sarebbero dunque ricorsive la funzione Dh (x) (di h ed x) e la 1- Dx (x) funzione caratteristica di  , che dunque sarebbe diofanteo, contraddizione.

TEOREMA: indecidibilità forte del X problema Esistono un polinomio diofanteo V(x0, x1, … ,xm) e una funzione calcolabile tot. a tali che nessun algoritmo A dia risposta corretta circa la risolubilità su ℕ dell’equazione V(a(⌈A ⌉) , x1, … ,xm) = 0 : A(a(⌈A⌉ ))  ‘SI’  x1, … ,xm ℕ V(a(⌈A⌉) , x1, … ,xm) = 0 Già la famiglia V(b, x1, … ,xm) = 0, con bℕ di equazioni diofantee è dunque indecidibile. Compromesso fra il grado d di V e il numero massimo m di incognite: l’uno può essere reso più piccolo a costo di accrescere l’altro. Ecco alcuni record: (d,m) = (4, 58), (8, 38), ….. , (1.6 . 1045, 9)

Limitazione alla FORMA NORMALE di Davis La chiusura dei diofantei rispetto ad (y)yx, derivabile dalla diofantinità di m = nk , era stata individuata come possibile chiave per rispondere negativamente al X, grazie alla scoperta di una rappresentazione degli r.e., nota come forma normale di Davis: z (y)yzx1, … , xh P(y,z, x1, … , xh) = 0 Grazie alla diofantinità di m = nk , oggi sappiamo che h2. Può essere fissato h=1 ?

X in ambienti numerici diversi da ℕ Risolvere una equazione: D(X1,…..,Xm) = 0 nelle X1,…..,Xm su ℚ è equivalente a risolvere l’equazione: D((x1-y1)/(z+1),….., (xm-ym)/(z+1)) = 0 nelle incognite x1, y1,…..,,xm, ym, z su ℤ+. Quest’ultima equazione è equivalente alla seguente equazione omogenea: (z+1)dD((x1-y1)/(z+1),….., (xm-ym)/(z+1)) = 0 dove d è il grado del polinomio D.

Due problemi interriducibili:  stabilire se una equazione diofantea ha soluzione in ℚ;  stabilire se una equazione diofantea omogenea ha solu- zioni non-banali in ℤ. Le equazioni  sono una sottoclasse delle equazioni diofantee ed è pertanto possibile che questa sottoclasse ridotta sia decidibile. Inteso in senso largo il X problema di Hilbert rimane ancora aperto. In senso stretto, così come è stato letteralmente formulato, risulta chiuso grazie ai contributi di Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson e Yuri Matiyasevič.