Einstein, Bohr e i paradossi della Teoria dei Quanti dal Principio di Indeterminazione al Tele-Trasporto… Vedi anche Biografie, eventi, curiosità http://www.daugerresearch.com/orbitals/ Pergine Valdarno, 21 Maggio 2004

quanto elementare di azione Max Planck (1900) Radiazione di “corpo nero”: equilibrio termico fra luce e pareti di una fornace a temperatura T Oscillatori di diverse frequenze n emettono luce Secondo la termodinamica classica tutti gli oscillatori hanno la stessa energia mediaE = T Questo conduce ad una distribuzione spettrale in disaccordo con le osservazioni  catastrofe ultravioletta Planck fa l’ipotesi rivoluzionaria che l’energia degli oscillatori sia un multiplo intero di una energia elementare hn proporzionale alla loro frequenza Ne deduce che l’energia media diminuisce per alte frequenze o basse temperature e ottiene una distribuzione in perfetto accordo con le osservazioni! quanto elementare di azione F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Gli oscillatori di Planck a bassa temperatura All’equilibrio termodinamico, la probabilità che un oscillatore abbia energia E decresce secondo la legge di Boltzmann P(E) = P0 e-E/T Per energie continue, l’area sotto la curva P(E) deve valere 1 (probabilità di una qualche energia E) . Ne segue che l’energia media dell’oscillatore èE = T Per energie discrete E = n∙hn è la somma di P(E) sui valori n∙hn che deve valere 1. Ne segueE = hn/(ehn/T-1) Per temperature T inferiori all’energia elementare hn dell’ oscillatore, quest’ultimo smette praticamente di oscillare! hn∙P(E) E/hn E/hn F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Radiazione di fondo cosmica Radiazione cosmica di “corpo nero” corrispondente a una temperatura di 2.7 K scoperta da Penzias e Wilson nel 1964 Rappresenta un residuo fossile che risale a circa 300˙000 anni dopo il Big-Bang, quando la radiazione si separa dalla materia e comincia a raffreddarsi a causa dell’espansione dell’universo F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradossi della Teoria dei Quanti Albert Einstein: 1905 Studia le fluttuazioni statistiche dello zig-zag di particelle microscopiche sospese in un liquido (moto Browniano) e dimostra l’esistenza degli atomi Introduce il Principio di Relatività: la velocità c della luce nel vuoto è costante, la lunghezza di un corpo in movimento si contrae, il tempo rallenta, la massa m aumenta ed è proporzionale all’energia Porta alle estreme conseguenze l’idea di Planck degli oscillatori quantizzati e immagina un’onda luminosa come un insieme di “pacchetti” di energia hn, che spiegano correttamente l’effetto foto-elettrico (premio Nobel nel 1921) E = mc2 F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

I quanti di luce di Einstein Partendo dalla legge di Planck per la radiazione termica di alta frequenza hn»T, Einstein dimostra che la probabilità che l’energia E sia concentrata in un volume DV minore del volume totale V della fornace è (DV /V)n dove n=E/hn Questa è la stessa probabilità che n atomi di un gas si trovino nel volume DV. Dunque l’energia di un’onda luminosa di alta frequenza n non è distribuita su tutto il volume, ma è concentrata in quanti di energia hn La doppia natura della luce, ondulatoria e corpuscolare, richiede una profonda revisione dei concetti classici. Einstein pensa che le equazioni di Maxwell descrivano correttamente le basse frequenze, mentre le alte frequenze corrispondano a “singolarità” del campo Per 20 anni, fin dopo la scoperta di Compton, nessuno credette all’ipotesi dei quanti di luce di Einstein! F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradossi della Teoria dei Quanti Niels Bohr (1913) Bohr chiarisce il mistero delle righe spettrali emesse dagli atomi proponendo una rivoluzionaria teoria che combina la meccanica classica e il quanto elementare di Planck Gli elettroni si muovono con energie discrete su orbite stazionarie attorno al nucleo seguendo la meccanica classica, ma senza emettere luce L’emissione o l’assorbimento di luce corrispondono a un salto quantico fra due orbite stazionarie Il salto quantico non è descritto dalla meccanica classica e la luce emessa ha una frequenza hn=Ei-Ef Le orbite stazionarie corrispondono a valori discreti del momento angolare che sono multipli di h/2p Per orbite con grandi raggi si ritrovano i risultati classici: principio di “corrispondenza” F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradossi della Teoria dei Quanti Le onde di de Broglie (1923) Louis de Broglie, un aristocratico fisico francese di origine piemontese, considera un sistema di orologi sincronizzati in quiete che riempiano tutto lo spazio Gli stessi orologi, in moto con velocità v, sono associati a un’onda con velocità di fase vfase = c2/v De Broglie suppone che ogni particella di massa m abbia una “pulsazione interna” di frequenza n tale che hn = mc2 Quando la particella si muove con velocità v e impulso p = mv, la sua pulsazione interna rimane in sincronismo con la fase dell’onda e le si può associare una lunghezza d’onda l = h/p http://www.davis-inc.com/physics/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

La teoria quantistica di Heisenberg (1925) Werner Heisenberg considera i salti quantici dell’ elettrone fra due stati stazionari nell’atomo di Bohr come il solo fatto realmente osservabile Non si può misurare la traiettoria dell’elettrone! Calcola gli “elementi di matrice” delle variabili dinamiche osservabili fra due stati stazionari e li usa per studiare l’intensità delle righe spettrali Dalla regola di combinazione di Ritz per le righe spettrali deriva una “meccanica delle matrici” che descrive quantità il cui prodotto non è commutativo In particolare, la coordinata q e l’impulso p=mv di una particella non commutano: qp – pq = i h/2p Nel limite classico h 0 si ritrova la commutatività (principio di “corrispondenza” di Bohr) F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Cosa sono i numeri complessi? Sono stati inventati per risolvere equazioni come x2 + 1 = 0 Un numero complesso è una freccia o lancetta di orologio Ha una lunghezza |modulo| e un angolo di rotazione (o di fase) La somma di due numeri complessi si ottiene combinando geometricamente le due frecce Il prodotto si ottiene moltiplicando i moduli e sommando gli angoli di fase: Y e Y* sono coniugati se hanno fasi opposte Una freccia di lunghezza 1 e angolo di fase 90o moltiplicata per se stessa da -1: questo numero complesso si chiama i Y2 i i Y1 Y Y1+Y2 1 1 YY*=|Y|2 i2=-1 Y* F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Il principio di indeterminazione (1927) Dalla non commutatività delle variabili dinamiche Heisenberg deduce un limite alla precisione con cui si possono misurare simultaneamente posizione e impulso di una particella: Dq Dp > h Supponiamo che l’elettrone si trovi sotto la lente di un microscopio che forma un cono di angolo 2A, e che venga illuminato con luce di lunghezza d’onda l molto piccola La massima risoluzione del microscopio è Dq = l / (2 sinA) Ma nell’urto col fotone di impulso p = h/l si ha un cambiamento incontrollabile dell’impulso dell’elettrone! Il fotone deve entrare nel cono formato dalla lente del microscopio per essere osservato, ma può farlo rimbalzando verso sinistra o destra Per piccoli angoli A, l’impulso orizzontale finale dell’elettrone nei due casi è p ± h sinA / l e ne risulta un’incertezza Dp = 2 h sinA / l Perciò il prodotto Dq Dp è almeno uguale ad h La frequenza di un treno d’onde di durata Dt ha un’indeterminazione Dn>1/Dt dunque DE Dt > h http://www.aip.org/history/heisenberg/p08b.htm F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

La meccanica ondulatoria di Schrödinger Nel 1926 il fisico austriaco Schrödinger pubblica una teoria ondulatoria ispirata dalle idee di de Broglie e di Einstein: la novità è che riesce a scrivere una fantastica equazione che descrive perfettamente gli stati atomici degli elettroni e quindi tutta la Chimica Si tratta di una equazione simile a quella per la propagazione del calore (Fourier), ma la quantità che oscilla è una misteriosa funzione d’onda complessa Y Einstein ne è entusiasta e intravede la possibilità di una descrizione causale e continua nello spazio e nel tempo degli incomprensibili salti quantici di Bohr Heisenberg è “disgustato” dall’equazione d’onda… Ma poco dopo Schrödinger scopre che la sua equazione d’onda è perfettamente equivalente alla meccanica delle matrici di Heisenberg! F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Principio di sovrapposizione, entanglement e “collasso” L’equazione di Schrödinger è lineare cioè se Y1 e Y2 sono soluzioni lo è anche Y1 + Y2 Quindi una particella può trovarsi in due posti contemporaneamente e un sistema di due particelle identiche può essere “entangled” (cioè “intricato”) per cui si perde l’identità delle singole particelle: ad esempio Y1(a) Y2(b) - Y1(b) Y2(a) Max Born propone di interpretare la funzione d’onda Y in senso statistico: il quadrato del modulo di Y(q) è la probabilità di misurare la particella in q L’equazione di Schrödinger descrive l’evoluzione del sistema in assenza misure Ma la funzione d’onda “collassa” in modo irreversibile in seguito a una misura F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Feynman riscopre le traiettorie (1942) Facciamo un balzo di 15 anni e vediamo come il giovane Feynman scopra un terzo modo equivalente per descrivere il comportamento delle onde-particelle La particella percorre tutte le possibili traiettorie che uniscono il punto iniziale a quello finale Ciascuna traiettoria contribuisce una “ampiezza di probabilità” pari a exp(2pi S/h), dove l’azione S è il prodotto dell’intervallo di tempo t per il valor medio dell’energia cinetica meno l’energia potenziale La funzione d’onda Y di Schrödinger si ottiene sommando le ampiezze complesse per tutte le traiettorie possibili: il suo modulo al quadrato |Y|2 dà la probabilità di trovare la particella in quel punto Nel limite classico si ritrova il Principio di Minima Azione, perché le ampiezze si cancellano se S varia F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Fenomeni di Interferenza http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/lightinterference/lightinterference.html F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Esperimento di interferenza con elettroni (Akira Tonomura, 1973) Filmato (richiede QuickTime) http://www.hqrd.hitachi.co.jp/em/doubleslit.cfm Gli elettroni emessi da una sorgente sono inviati a un “bi-prisma”. Gli elettroni possono passare ai due lati del filamento centrale che li focalizza sul piano del rivelatore in basso. Anche quando arrivano solo 10 electroni/sec, l’accumulazione di singoli electroni forma una figura di interferenza. F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Interferenza di singoli elettroni Elettroni accumulati sullo schermo: (a) 8 electrons, (b) 270 electrons, (c) 2000 electrons, (d) 6000. Il tempo di esposizione dall’inizio alla fase (d) è di 20 minuti. F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradossi della Teoria dei Quanti Strane conseguenze… Arriva un singolo elettrone (o fotone) per volta Passa attraverso entrambe le fenditure come un’onda Si manifesta come una particella sullo schermo Statisticamente si osserva una figura di interferenza L’interferenza scompare: se si blocca una delle due fenditure se si cerca di scoprire il cammino seguito dall’elettrone F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

“Collasso” della funzione d’onda: un primo paradosso Situazione: Un solo fotone è emesso da una sorgente e si propaga come un’onda sferica Domanda (Albert Einstein): Se il fotone compare al rivelatore A, come fa la funzione d’onda ai rivelatori B e C a sapere che deve annullarsi? http://faculty.washington.edu/jcramer/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Einstein non si arrende Einstein è molto insoddisfatto dell’interpretazione statistica di Born e della “complementarità” di Bohr “Dio non gioca ai dadi” (e se lo fa, allora preferirei lavorare in un casinò…) Cerca di dimostrare che i limiti del principio di indeterminazione non sono fondamentali Critiche di Einstein: indeterminismo, mancanza di una visualizzazione spazio-temporale, abbandono di una spiegazione locale e causale della realtà, e in fondo abbandono dei suoi fotoni F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Secondo paradosso: il gatto di Schrödinger Esperimento: Un gatto si trova in una scatola sigillata contenente un meccanismo, comandato da una transizione atomica. Il meccanismo ha una probabilità del 50% di uccidere il gatto Quando “collassa” la funzione d’onda? Qual è la funzione d’onda del gatto appena prima che si apra la scatola? Y = ½ vivo+ ½ morto? F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Secondo paradosso: il gatto di Schrödinger Esperimento: Un gatto si trova in una scatola sigillata contenente un meccanismo, comandato da una transizione atomica. Il meccanismo ha una probabilità del 50% di uccidere il gatto Quando “collassa” la funzione d’onda? Qual è la funzione d’onda del gatto appena prima che si apra la scatola? Y = ½ morto + ½ vivo? E se ora osserviamo Schrödinger, qual è la sua funzione d’onda durante l’esperimento e quando “collassa”? F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione di Copenhagen Quantum Mechanics Principio di indeterminazione di Heisenberg: Dualità onda-particella, variabili coniugate Impossibilità di misure coniugate simultanee : q e p, E e t Interpretazione statistica di Born: Significato della funzione d’onda y come probabilità: P = y y*=| y |2 La Meccanica Quantistica predice solo il comportamento medio Complementarità di Bohr: Concezione “olistica” del sistema fisico + l’apparato di misura Complementarità degli aspetti onda-particella: onda oppure particella Il principio di indeterminazione riguarda la natura, non la misura Interpretazione "conoscitiva" di Heisenberg: Identificazione di y con la conoscenza di un osservatore Collasso di y e non-località reflettono la conoscenza dell’osservatore Positivismo di Heisenberg: “Non interrogarsi” sul significato o la realtà oltre il formalismo Preoccuparsi esclusivamente di osservabili e misure F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione Multi-Universo (Hugh Everett, 1957) Quantum Mechanics Mantiene l’indeterminazione di Heisenberg e l’interpretazione statistica di Born Nessun Collasso La funzione y non collassa; si suddivide in nuove funzioni d’onda che riflettono i diversi risultati possibili di ogni misura. Le nuove funzioni d’onda si trovano in “Universi” fisicamente distinti… Nessun Osservatore: La nostra percezione del collasso di y deriva dalla nostra coscienza che ha seguito una particolare suddivisione della funzione d’onda Interfereza fra “Universi”: L’interferenza quantistica avviene se le funzioni d’onda in vari “universi” non si sono separate perché conducono allo stesso risultato F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione “Transazionale” (John Cramer, 1986) L’indeterminazione di Heisenberg e l’interpretazione statistica di Born non sono postulati, ma derivano dall’Interpretazione Transazionale Onda di Offerta: La funzione d’onda iniziale y è interpretata come un’onda ritardata di offerta per formare un evento quantistico Onda di Conferma: La funzione d’onda di risposta y* (presente nel formalismo) è interpretata come un’onda avanzata di conferma per procedere all’evento quantistico Transazione – la “stretta-di-mano” quantistica: Si forma un’onda stazionaria y y* avanti/indietro-nel tempo, che trasferisce energia e impulso; l’evento diventa reale Nessun Osservatore: Le transazioni con osservatori non differiscono dalle altre transazioni; L’osservatore e la sua conoscenza non gioca alcun ruolo speciale Nessun Paradosso (se si accetta che il futuro possa influenzare il passato!): Le transazioni sono intrinsecamente non-locali e a-temporali F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione “Transazionale” Passo 1: La sorgente invia una “onda di offerta” Y F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione “Transazionale” Passo 1: La sorgente invia una “onda di offerta” Y Passo 2: Il rivelatore risponde con un’ “onda di conferma” Y* F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

L’interpretazione “Transazionale” Passo 1: La sorgente invia una “onda di offerta” Y Passo 2: Il rivelatore risponde con un’ “onda di conferma” Y* Passo 3: Il processo si ripete finché energia e impulso sono trasferite e la transazione è completa (collasso della funzione d’onda) F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Sommario di alcune interpretazioni Copenhagen Many Worlds Usa la “conoscenza dell’osservatore” per spiegare collasso della funzione d’onda e non-località. Raccomanda di “non far domande” sulla realtà. Usa la suddivisione degli “universi” per spiegare il collasso della funzione d’onda. Ha qualche problema con la non-località. Transactional Usa “advanced-retarded handshake” per spiegare collasso della funzione d’onda e non-località. Permette di “visualizzare” gli eventi quantistici. F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Scelta ritardata della misura Una sorgente S emette un solo fotone che si propaga attraverso due fenditure producendo interferenza L’osservatore può scegliere: (a) di misurare la figura d’interferenza, cioè la lunghezza d’onda, usando lo schermo E oppure (b) di misurare attraverso quale fessura è passato il fotone mediante i due telescopi collimati T1 e T2 L’osservatore decide quale misura effettuare solo dopo che il fotone ha attraversato le fenditure http://faculty.washington.edu/jcramer/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Esperimento cosmico di scelta ritardata (Wheeler, 1980) Secondo John Wheeler, potremmo costringere un fotone deviato da una lente gravitazionale (galassia) a decidere ora se comportarsi come un’onda o come una particella all’epoca in cui ha attraversato la galassia, cioè miliardi di anni fa! F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Interpretazione “Transazionale” Inserendo lo schermo E, si forma una transazione tra E e la sorgente S che implica propagazione attraverso entrambe le fenditure http://mist.npl.washington.edu/TI/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Interpretazione “Transazionale” Inserendo lo schermo E, si forma una transazione tra E e la sorgente S che implica propagazione attraverso entrambe le fenditure Senza lo schermo E, si forma una transazione tra un telescopio T1 o T2 e la sorgente S , che implica propagazione attraverso una sola fenditura http://mist.npl.washington.edu/TI/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Interpretazione “Transazionale” Inserendo lo schermo E, si forma una transazione tra E e la sorgente S Senza lo schermo E, si forma una transazione tra uno dei telescopio (T1 o T2) e la sorgente S In entrambi i casi, è irrilevante quando si prenda la decisione http://mist.npl.washington.edu/TI/ F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradosso EPR: esperimento di Freedman-Clauser (1972) In un esperimento EPR si misurano le polarizzazioni correlate di una coppia di fotoni “entangled” La misura dà lo stesso risultato che si otterrebbe se i due filtri fossero dalla stessa parte [legge di Malus R(qrel) = Cos2qrel] Nel 1936 Furry propose un collasso immediato della funzione d’onda: i due fotoni avrebbero lo stesso stato di polarizzazione casuale. Ma la correlazione sarebbe diversa e più debole di quella osservata La diseguaglianza di Bell è violata! F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Paradosso EPR: interpretazione Transazionale Un esperimento EPR richiede una doppia conferma avanzata e ritardata tra la sorgente e i due rivelatori Le “linee di comunicazione” non sono istantanee nello spazio, ma attraverso intervalli temporali positivi e negativi lungo il cono di luce Segnali lungo il cono di luce non violano lo spirito della relatività F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Comunicazione più veloce della luce? Domanda: Possiamo inviare informazioni al rivelatore D2 scegliendo quale misura effettuare al rivelatore D1? Risposta: No! Gli operatori per le misure in D1 e D2 commutano. La scelta della misura in D1 non ha alcun effetto osservabile su D2 Livelli di comunicazione EPR: Imporre leggi di conservazione (Si) Segnali osservatore-osservatore (No!) F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti

Salto Quantico… nel Futuro Carver Mead, un allievo di Richard Feyman, descrive l’interazione elettromagnetica fra un atomo sorgente in uno stato eccitato e un atomo ricevente nel futuro inizialmente nello stato fondamentale. Si può allora visualizzare il salto quantico dallo stato eccitato a quello fondamentale dell’atomo sorgente! L’interazione a distanza crea una transizione non lineare per cui l’atomo si trova in una sovrapposizione con coefficienti A(t) e B(t) rapidamente variabili dello stato eccitato e del fondamentale |Y(t)|2 A(t)2 B(t)2 C. Mead, Collective Electrodynamics F. Ruggiero Paradossi della Teoria dei Quanti