Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella parta da un punto P localizzato a 1m dall’origine e si sposti verso il punto Q localizzato a 5 m dall’origine e quindi torni indietro al punto R a 2 m dall’origine. E supporremo che il tutto si concluda in 4 secondi P R Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Lo spostamento totale è di un metro nella direzione positiva dell’asse x: ΔS = 1 m Il tempo impiegato è 4 secondi: Δt = 4 s La velocità media è: v = ΔS / Δt = 0,25 m/s nella direzione positiva dell’asse x

Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente. Definiamo un sistema di assi cartesiani per x e t. Lo spostamento in questo sistema di assi sarà descritto da una curva così. x Q 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

La velocità istantanea in ogni punto si ricava come la pendenza della retta tangente in quel dato punto. Così per esempio nel punto Q la velocità istantanea è zero x Q v = dx / dt = 0 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

x Q S R E come si calcola ? P t Nel punto S indicato in verde, sarà la pendenza della tangente alla curva nello stesso punto: x Q 1 2 3 4 5 6 m S R E come si calcola ? P t 1 2 3 4 sec

In questa retta, individuiamo due punti, per esempio A (t=2s ; x = 7,3m) e B (t=4s; x = 2,5m) 1 2 3 4 sec

A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t E calcoliamo la pendenza (coefficiente angolare di questa retta): A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s 1 2 3 4 5 6 m S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t 1 2 3 4 sec

A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t Che cosa è questa v = Δx / Δt = -2,4 m/s ? A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s 1 2 3 4 5 6 m S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt La velocità v così calcolata è la velocità di un punto materiale che si muove a velocità costante fra A e B e che nel punto S ha ovviamente la stessa velocità del nostro punto materiale di prima. t 1 2 3 4 sec

In modo del tutto analogo possiamo calcolare la velocità istantanea in qualsiasi punto ! x Q 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

Esempio 2 E facile intuire che il moto lungo l’asse x dell’esercizio precedente avviene con accelerazione variabile: P R Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Si pone allora il problema di calcolare anche l’accelerazione istantanea.

Poiché l’accelerazione istantanea è a = dv / dt, risulta intuitivo che dobbiamo prima ricavare la funzione v(t). Per fare questo, calcoliamo la velocità istantanea vi (ti) in numero di punti sufficientemente elevato. x Q R P t 1 2 3 4 sec

Definiamo un sistema di assi cartesiani per vx e t, e riportiamo i valori delle velocità istantanee calcolate nei vari punti e operiamo una interpolazione grafica vx P S Q W -8 -4 0 4 m/s R t 1 2 3 4 sec

La linea curva che abbiamo individuato nel piano (vx , t) altro non è che la rappresentazione grafica della velocita del punto materiale in funzione del tempo vx (t). vx -8 -4 0 4 m/s t 1 2 3 4 sec

Di questa funzione vx(t) potremo calcolare l’accelerazione istantanea punto ricordando che a = dv /dt è la pendenza della retta tangente in ogni punto vx -8 -4 0 4 m/s t 1 2 3 4 sec

Esempio 3 Consideriamo un moto unidimensionale (trattabile quindi con formalismo puramente scalare) con accelerazione a = costante x Abbiamo imparato che se a = costante: La velocità v cresce linearmente col tempo t: v = v0 + at Lo spostamento x cresce quadraticamente col tempo t: x = v0t + ½ a t2

a = costante (pendenza della curva = 0) Quindi se definiamo dei piani cartesianoiin cui raffigurare graficamente l’andamento delle tre grandezze fisiche in questione in funzione del tempo , otterremo quanto segue: a a = costante (pendenza della curva = 0) v cresce linearmente col tempo (pendenza della curva = costante) x cresce quadraticamente col tempo, la pendenza della curva cresce uniformemente col tempo t v t x t

v = dx/dt = dx/dt (v0t) + dx/dt (½ a t2) = vo + at Nel Corso di Analisi Matematica imparerete la calcolare e derivate di alcune semplici funzioni: Funzione y = f(x) Derivata dy / dx y = k dy/dx = 0 y = k x dy/dx = k y = kx2 dy/dx = 2kx Come abbiamo visto, l’equazione dello spostamento x in funzione del tempo t è una parabola: x = v0t + ½ a t2 e applicando le regole sulle derivate, ricaviamo che: v = dx/dt = dx/dt (v0t) + dx/dt (½ a t2) = vo + at Ed eseguendo la derivata su v: dv/dt = a = costante

Esempio 4 La velocità di una automobile che viaggia in direzione ovest si riduce uniformemente da 45 km/h a 30 km/h in una distanza di 100 m. 1° Quesito: qual è il valore della accelerazione costante ? Possiamo ridurre il calcolo al caso scalare: una autovettura che si muove lungo l’asse x 30 km/h 45 km/h x 100 m

(v –v0)/a = 2x/(v0+v)  a = (v –v0)/(2x /(v0+v)) = - 5625 km/h2 Sappiamo che: v = v0 + at Conosciamo v = 30 k/h, e conosciamo v0 = 45 k/h, tuttavia il dato che ci viene fornito NON è il tempo t in cui avviene la variazione di velocità, ma lo spostamento x = 100 m = 0,100 km. Risolviamo la relazione v = v0 + at rispetto a t e otteniamo : t = (v –v0) / a [1] Definiamo adesso la velocità media fra t e t0 come <v> = (v0 + v) / 2 Possiamo quindi scrivere x = <v> t  t = x / <v> = 2x / (v0+v) che eguagliata alla [1] risulta nella relazione: (v –v0)/a = 2x/(v0+v)  a = (v –v0)/(2x /(v0+v)) = - 5625 km/h2

t = (v –v0)/a = (30 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.00267 h = 9,6 s 2° Quesito: Quanto tempo è trascorso durante la decelerazione ? Scriveremo: t = (v –v0)/a = (30 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.00267 h = 9,6 s

t = (v –v0)/a = (0 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.008 h = 28,8 s 3° Quesito: Se si suppone che l’automobile continui a decelerare con la medesima legge, quanto tempo dovrà trascorrere affinché si fermi, essendo partita con una velocità di 45 km/h ? Scriveremo di nuovo: t = (v –v0)/a = (0 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.008 h = 28,8 s

Esempio 5 Una particella si muove all’interno di un tubo rettilineo sotto vuoto lungo 2 m 1° Quesito: Supponendo costante l’accelerazione, quanto tempo rimane la particella nel tubo, se vi entra con una velocità di 1000 m/s e ne esce con velocità 9000 m/s ? 2 m 1000 m/s 9000 m/s Di nuovo, scriveremo: x = <v> t dove <v> = (v1 + v2)/2 = (9000+1000)/2 = 5000 m/s Da cui t = x / <v> = 2 m / 5000 m/s = 0,0004 s

Che si legge: 20 milioni di: metri al secondo quadrato 2° Quesito: Determinare l’accelerazione Dalla relazione: v2 = v1 +at ricaviamo a = (v2 –v1) / t cioè: a = (9000 -1000) m/s / 0.0004 s = 20 x 106 m/s2 Che si legge: 20 milioni di: metri al secondo quadrato

y(t) = v0t − ½ g t2 Dove g = 9,8 m/s2 e v0 = 0 Esempio 6 Un oggetto cade liberamente partendo da fermo. Determinare la posizione e la velocità dell’oggetto dopo 1; 2; 3 e 4 secondi. Definiamo il nostro asse y di riferimento e scegliamo il punto di partenza all’origine. y La posizione y in funzione del tempo t è data dalla formula: y(t) = v0t − ½ g t2 Dove g = 9,8 m/s2 e v0 = 0 Da cui si ricava per s=1: y1 = − ½ 9,8 = −4,9 m E per la velocità si ricava: v1 = vo –gt = 0 – 9,8 = −9,8 m/s

Analogamente, applicando le stesse formule al caso t=2; 3 e 4 s si ricava y2 = − ½ 9,8 x 22 = −19,6 m y3 = − ½ 9,8 x 32 = −44,1 m y4 = − ½ 9,8 x 42 = −78,4 m v2 = vo –gt = 0 – 9,8 x 2 = −19,6 m/s v3 = vo –gt = 0 – 9,8 x 3 = −29,4 m/s v4 = vo –gt = 0 – 9,8 x 4 = −39,2 m/s

Esempio 7 v0 = 29,4 m/s y v = v0 − g t ymax t = (v0 − v) / g Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo con una velocità di 29,4 m/s. 1° Quesito: Quanto tempo impiega la palla a raggiungere il suo punto più alto ? Dati del quesito: v0 = 29,4 m/s Inoltre risulta evidente che v (ymax) = 0 Per ricavare il tempo t scriveremo: v = v0 − g t t = (v0 − v) / g t = (29,4 -0) m/s / 9,8 m/s2 = 3 s y ymax

y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e t = 3 s 2° Quesito: determinare la massima altezza ymax raggiunta dalla palla. Scriveremo: y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e t = 3 s Quindi: ymax = 29,4 x 3 − ½ 9,8 x 32 = 88,2 − 44,1 = 44 m

y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m 3° Quesito: A che istante la palla sarà ad una altezza yk di 39,2 m dal suolo ? Scriveremo nuovamente: y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m Abbiamo quindi una equazione di secondo grado in t: ½ g t2 − v0t + yk = 0 4,9 t2 − 29,4 t + 39,2 = 0 a b c t = (−b ± (b2 − 4ac)1/2) / 2a (b2 − 4ac)1/2 = 9,8 t = ( 29,4 ± 9,8 ) / 9,8  t1 = 2 t1 = 4