L’equazione della retta

Una retta su un piano cartesiano è sempre rappresentata da un’equazione di primo grado nelle lettere x e y (o anche solo la x o solo la y) Le coordinate di un punto appartenente ad una retta devono soddisfare l’equazione della retta stessa.

Rette parallele all’asse delle y Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,1), B(2,-3), C(2,-½), D(2,3). Osserviamo che hanno tutti la prima coordinata (la x) uguale a 2

Rette parallele all’asse delle y

Rette parallele all’asse delle y Osserviamo che sono tutti allineati

Rette parallele all’asse delle y

Rette parallele all’asse delle y Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente prima coordinata uguale a 2

Rette parallele all’asse delle y

Rette parallele all’asse delle y Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la prima coordinata, la x, uguale a 2. Pertanto l’equazione della retta è:

Rette parallele all’asse delle y Ovviamente se avessimo preso dei punti aventi prima coordinata, anziché 2, ad esempio -1 e li avessimo uniti con una retta, tale retta avrebbe avuto equazione:

Rette parallele all’asse delle y Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse y ha sempre equazione

Esercizi Determinare l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il punto A(-3,1). Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazione Dal momento che tale retta passa per il punto A avente prima coordinata uguale a -3 , la sua equazione è

Esercizi Determinare l’equazione dell’asse y Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazione Dal momento che tale retta passa per l’origine che ha prima coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse y è

Esercizi Disegnare la retta di equazione Sappiamo che una retta di equazione È una retta parallela all’asse y. Scegliamo allora un qualunque punto avente ascissa 1, ad esempio A(1,0) e disegniamo una retta verticale passante per tale punto risolvendo il problema

Rette parallele all’asse delle y

Rette parallele all’asse delle x Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,3), B(-1, 3), C(½,3), D(-2,3). Osserviamo che hanno tutti la seconda coordinata (la y) uguale a 3

Rette parallele all’asse delle x

Rette parallele all’asse delle x Osserviamo che tutti i punti sono allineati

Rette parallele all’asse delle x

Rette parallele all’asse delle x Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente come seconda coordinata 3

Rette parallele all’asse delle x

Rette parallele all’asse delle x Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la seconda coordinata, la y, uguale a 3. Pertanto l’equazione della retta è:

Rette parallele all’asse delle x Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse x ha sempre equazione

Esercizi Determinare l’equazione della retta parallela all’asse x passante per il punto A(3,-2). Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazione Dal momento che tale retta passa per il punto A avente seconda coordinata uguale a -2 , la sua equazione è

Esercizi Determinare l’equazione dell’asse x Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazione Dal momento che tale retta passa per l’origine che ha seconda coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse x è

Esercizi Disegnare la retta di equazione Sappiamo che una retta di equazione è una retta parallela all’asse x. Scegliamo allora un qualunque punto avente ordinata 1, ad esempio A(0,1) e disegniamo una retta orizzontale passante per tale punto risolvendo il problema

Rette passanti per l’origine Si consideri una qualunque retta passante per l’origine, e prendiamo su di essa due punti e

Rette passanti per l’origine Da A e da B tracciamo due segmenti che arrivano perpendicolarmente all’asse delle x, formando i triangoli OHA e OKB

Rette passanti per l’origine I due triangoli sono simili (perché hanno l’angolo di vertice O in comune ed un angolo retto). Quindi, per una proprietà dei triangoli simili, risulta: Ma AH è l’ordinata del punto A e OH la sua ascissa, così come BK è l’ordinata del punto B e BK la sua ascissa. Quindi l’equazione precedente diventa:

Rette passanti per l’origine E se scegliessimo un altro punto sulla retta risulterebbe In altre parole, ogni punto su quella retta ha sempre lo stesso rapporto fra la sua coordinata y e la sua coordinata x. In formule:

Rette passanti per l’origine Tale costante è chiamata coefficiente angolare e si indica con la lettera m (minuscola da non confondere con M che indica il punto medio). Pertanto l’equazione di una qualunque retta passante per l’origine è Da cui si ricava, moltiplicando per x a destra e a sinistra:

Rette passanti per l’origine Ricapitolando: ogni retta passante per l’origine ha equazione: Comprendiamo bene questo concetto: sappiamo che per ogni punto, e quindi anche per l’origine, passano infinite rette.

Rette passanti per l’origine Ad ognuna delle infinite rette corrisponde un valore di m. Quindi con l’equazione y=mx non si rappresenta una sola retta bensì le infinite rette passanti per l’origine. Appena si da un valore ad m le infinite rette diventano una soltanto

Scegliamo ad esempio m=3 La retta che rimane ha equazione y=3x

Osservazione importante L’equazione y=mx rappresenta tutte le rette passanti per l’origine tranne una: l’asse y che ha equazione x=0. Quindi y=mx assieme alla retta x=0, rappresentano tutte (ma proprio tutte) le rette passanti per l’origine

Esercizi Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (2,4). Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx. Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equa- zione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y del punto

Esercizi Quindi Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa che è l’equazione cercata

Esercizi Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (3,-5). Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx. Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equa- zione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y del punto

Esercizi Quindi Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa che è l’equazione cercata

Esercizi Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (0,5). Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx. Si osserva però che il punto scelto è sull’asse y. Pertanto la retta cercata è proprio l’asse y che ha equazione

Esercizi Determinare se il punto (4,6) appartiene alla retta Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione

Esercizi Dal momento che il primo termine coincide col secondo le coordinate del punto soddisfano l’equazione e quindi il punto (4,6) appartiene alla retta

Esercizi Determinare se il punto (3,2) appartiene alla retta Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione

Esercizi Dal momento che il primo termine è diverso dal secondo le coordinate del punto non soddisfano l’equazione e quindi il punto (3,2) non appartiene alla retta

Equazione di una retta qualunque Abbiamo visto che una qualunque retta per l’origine ha equazione y=mx. Prendiamo per esempio la retta y=2x

y=2x

Equazione di una retta qualunque Ad essa appartengono tutti i punti la cui seconda coordinata, la y, è doppia della prima, la x. Ad esempio (1;2), (-3;-6); (2;4); (3/2;3) ecc. (verificalo per esercizio). Mentre ad esempio non ci appartengono (-1;2), (5;9) ecc.

I punti A(1;2) e B(2;4) appartengono alla retta

Alziamo adesso la retta ad esempio di 3

La nuova retta è la precedente “alzata” di 3

Osserviamo che … C ha la stessa ascissa dell’origine O (cioè zero) D ha la stessa ascissa di A (cioè 1) e E ha la stessa ascissa di B (cioè 2).

C ha la stessa ascissa di O, D la stessa di A e E la stessa di B

E le ordinate? C ha la stessa ordinata di O aumentata di 3 D ha la stessa ordinata di A aumentata di 3 E ha la stessa ordinata di B aumentata di 3 E così via per qualunque punto della retta …

Pertanto ogni punto sulla “nuova” retta ha la seconda coordinata, la y, uguale al doppio della prima più 3. Infatti C è di coordinate (0;3) (3 è il doppio di zero più 3) Infatti D è di coordinate (1;5) (5 è il doppio di 1 più 3) Infatti E è di coordinate (2;7) (7 è il doppio di 2

Quindi l’equazione della nuova retta è:

Ovviamente… Se invece di “alzare la retta” di 3 l’avessimo alzata di 4 avremmo ottenuto la retta di equazione Mentre se l’avessimo alzata di -1 (cioè abbassata) avremmo ottenuto la retta di

Ma anche… Se invece della retta y=2x avessimo alzato la retta y=5/2x avremmo ottenuto oppure o ancora

Estendiamo al caso generale Se prendiamo la retta y=mx e “l’alziamo” di un numero q otteniamo l’equazione di una qualunque retta del piano cartesiano che è EQUAZIONE IN FORMA ESPLICITA DELLA RETTA

Osservazione super importante Come l’equazione y=mx rappresenta tutte le rette per l’origine eccetto l’asse delle y, l’equazione y=mx+q rappresenta tutte le rette del piano cartesiano eccetto le rette parallele all’asse y (che infatti hanno equazione x=numero)

Osservazione Il fatto che con la forma si possa rappresentare una qualunque retta (eccetto quelle parallele all’asse y) significa che posso rappresentare anche le rette per l’origine e le rette parallele all’asse x. Infatti:

Se all’equazione Poniamo q=0 rimane Cioè una retta per l’origine.

mentre Se all’equazione Poniamo m=0 rimane Ed essendo q un numero abbiamo l’equazione di una retta parallela all’asse x.

Ricapitolando Retta parallela all’’asse y ha equazione Retta parallela all’’asse x ha equazione Retta passante per l’origine (eccetto l’asse y) ha equazione Retta qualunque (eccetto le rette parallele all’asse y) ha equazione