Relazione come predicato Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Se xX e yY soddisfano il predicato p(x,y) La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione R x R y oppure (x,y)  R x R y  p(x,y) altrimenti x R y  p(x,y)

Relazione: Osservazione Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Una relazione R è ben definita solo quando sono ben determinati i due insiemi X, Y

Relazione: Dominio e Codominio Y X R Sottoinsieme di X da cui parte ALMENO UNA freccia Sottoinsieme di Y in cui arriva ALMENO UNA freccia DOMINIO CODOMINIO

= { (x,y): (x,y)XxY  (x,y)R } Relazione: Grafico a b c d 1 2 3 4 5 X x Y X Y X a b c d Y 1 5 3 2 4 R (a,1)R (a,4)R G = graf R = = { (x,y): (x,y)XxY  (x,y)R }  XxY (b,5)R (c,1)R (c,3)R (c,4)R

R R X Y X Y Relazione: Grafico X x Y Y X X x Y Y X R = G  XxY b c d Y 1 5 3 2 4 X x Y X Y R X a b c d Y 1 5 3 2 4 (x,y)  R  (x,y)  G R = G  XxY

R Y X Relazione - Funzione xX y Y : (x,y) R Da un elemento di X: Parte più di una freccia Parte una e una sola freccia NON parte alcuna freccia Dati due insiemi non vuoti X e Y, dicesi FUNZIONE o APPLICAZIONE di X in Y una relazione R di X e Y che soddisfi la seguente condizione xX y Y : (x,y) R

Relazione – Funzione: Esempio Quale delle seguenti relazioni è una FUNZIONE? X gufo ragno formica mucca cavallo uomo Y 1 2 3 4 6 8 xR y se x ha per numero di zampe y X Molise Lombardia Piemonte Veneto T.A.A. Sicilia Y Bolzano Verona Cuneo Torino Ancona Trento xR y se x è una regione contenente y X x Y 1 2 3 4 6 8 X Y u g m c f r X x Y BZ VR TO CN TN AN X Y L M V T S P xX y Y : (x,y) R

Noi ci occuperemo esclusivamente di di variabili reali (X Â) Funzioni Numeriche Noi ci occuperemo esclusivamente di funzioni reali (Y Â) di variabili reali (X Â) Una funzione f: X Y si dice numerica se A e B sono insiemi numerici. Classificazione delle funzioni: Algebriche Trascendenti Razionali intere Goniometriche Razionali fratte Logaritmiche Irrazionali Esponenziali In generale sono trascendenti tutte le funzioni che non sono algebriche

Funzioni Classificazione Un’applicazione chiamasi X Y suriettiva: tutti gli elementi di Y sono immagine di almeno un X f(X)=Y X Y se x1  x2  f(x1)f( x2 ) oppure se f(x1) =f( x2 )  x1 = x2 iniettiva: gli elementi di Y sono immagini al più di un solo elemento di X X Y biiettiva: ogni elemento di Y è immagine di uno e uno solo elemento di X (corrispondenza biunivoca)

Funzione SURIETTIVA: Esempio X gufo ragno formica mucca cavallo uomo Y 2 4 6 8 x R y se x ha per numero di zampe y 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA SI f (X) = Y X x Y X Y u g m c f r 2 4 6 8 Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti.

Funzione INIETTIVA: Esempio X Penna Raspa Oliatore Y x R y se x è utilizzato da y Insegnante Meccanico Falegname Elettricista 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia INIETTIVA SI se f (x1) = f (x2)  x1 = x2 oppure se x1  x2  f (x1)  f (x2) X x Y X Y F I E M P O R Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni yY arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

Funzione BIIETTIVA: Esempio 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI X Oro Bronzo Argento Y x R y se x è la medaglia per y Primo Secondo Terzo xX y Y : (x,y) R  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA SI f (X) = Y  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. X x Y X Y O A B P S T 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA SI f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)  Ad ogni yY arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

SI NO NO Funzione (y =) f(x) = x2 x R y se x2 è y X Y 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI x R y se x2 è y X - … -5 -3.5 -1.2 1.2 3.5 5 + … Y 1.44 12.25 25 xX y Y : (x,y) R  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA NO f (X) = Y  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. X x Y X Y 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA NO f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)  Ad ogni yY arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

SI SI NO Funzione (y =) f(x) = x2 x R y se x2 è y X Y+ 1. Verifichiamo che R sia una funzione xX y Y : (x,y) R  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente SI x R y se x2 è y X - … -5 -3.5 -1.2 1.2 3.5 5 + … Y+ 1.44 12.25 25 f (X) = Y 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. SI X x Y X Y f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2) 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA  Ad ogni yY arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. NO

Insieme Dominio - Insieme Codominio funzioni reali di variabili reali f : A B A  Â geometricamente situato sull’asse x f(A)  B  Â geometricamente situato sull’asse y

Insieme di Esistenza di una Funzione L’insieme di esistenza di una funzione è il dominio più ampio possibile Campo d’esistenza  x ÎÂ Campo d’esistenza  x ÎÂ : x3+4³ 0 Campo d’esistenza  x ÎÂ : 1+x > 0  2/(1+x) > 0

Funzione Inversa Sia f un’applicazione biiettiva tra A e B, si definisce applicazione inversa di f, l’applicazione f -1 tra B e A tale che f -1(b) = f -1(f(a)) = a Noto g, grafico di f, g ’, grafico di di f-1 è il simmetrico di g rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. b = f(a) x y O B A a b f g g ’ f -1 f -1(b) = f -1( f(a) ) = a

Funzioni Monotòne f dicesi f(x1) < f(x2) crescente SE f dicesi y O f(x1) < f(x2) f dicesi crescente x1 x2 Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f(x1) > f(x2) f dicesi decrescente f dicesi non decrescente x y O f(x1)  f(x2) x1 x2 Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f dicesi non crescente f(x1)  f(x2)

Funzioni Pari - Funzioni Dispari x y O x -x f(x) f(x) = f(-x) f dicesi Pari f(x) = x2 f(x) = cos(x) f(x) = | x | x y O f(x) -f(x)=f(-x) x f(x) = -f(-x) f dicesi Dispari -x f(x) = x f(x) = sin(x) f(x) = tg(x)

Funzioni Periodiche T Se  T t.c.  x f(x+T) = f(x) f dicesi Periodica y O T x1 x2=(x1+T) Se  T t.c.  x f(x+T) = f(x) f dicesi Periodica di periodo T f(x) = sin(x) : sin(x+k·2p) = sin(x) f(x) = cos(x) : cos(x+k·2p) = cos(x) f(x) = tg(x) : tg(x+k·p) = tg(x)

Funzioni Limitate f : A() B () Se l’insieme f(A) è Limitato superiormente la funzione y=f(x) dicesi Limitata superiormente Limitato inferiormente Limitata inferiormente Limitato Limitata Limitata superiormente:  L :  aA f(a)  L Limitata:  l,L :  aA lf(a) L Limitata inferiormente:  l :  aA f(a)  l

Funzioni Limitate f : A() B () max f(A) = 1 min f(A) = 0 Se l’insieme f(A) è dotato di Massimo la funzione y = f(x) è dotata di Massimo assoluto minimo minimo assoluto Se M è detto Massimo Assoluto Se m è detto minimo Assoluto max f(A) = 1 min f(A) = 0 y = f(1) = 1 è dotata di Massimo Assoluto y = f(0) = 0 è dotata di minimo Assoluto

Funzioni Limitate f : A() B () Si chiama estremo superiore (estremo inferiore) di f l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme f(A) Una funzione può possedere il sup (inf) nell’insieme A senza che questo sia un massimo (minimo) assoluto: f(x) = 1/x in A = (0,) inf f = 0 non  min f infatti f(x)>0

Funzioni particolari: le Successioni Si chiama successione di numeri reali nn’applicazione di N0 in  f: n  f(n) = an 1  f(n) = a1 2  f(n) = a2 ... n  1/n : {1, 1/2, 1/3, … 1/n, …} successioni monotòne crescente non decrescente decrescente non crescente an < an+1 an  an+1 an > an+1 an  an+1 Una successione {an} si dice se nN