Dalle operazioni con i numeri alle operazioni con le lettere Un percorso multimediale di matematica per la classe prima. A cura dei proff. Lombardi Antonio e Tortora Salvatore

INDICE La storia dei numeri Le operazioni e gli insiemi numerici Dai numeri alle lettere Il calcolo letterale I Monomi

La storia dei numeri Forse accadde un caldo pomeriggio d’estate o in una sera d’autunno. Di certo era un lontano giorno di tantissimi anni fa: Seduto fuori della caverna dove dimorava insieme al gregge e alla sua famiglia, un uomo primitivo (antico pastore) osservava le sue pecore entrare lentamente nell’ovile. Un pensiero lo tormentava da giorni: come poteva sapere se c’erano tutte le sue pecore o se qualcuna s’era smarrita o peggio ancora era stata sbranata da un lupo? Torna all’indice

Mentre osservava gli animali entrare faceva urtare tra loro, nel palmo della sua mano, dei sassolini levigati raccolti giorni addietro sul greto di un fiume. Ed ecco all’improvviso l’idea: perché non conservare un sassolino per ogni pecora che entra nell’ovile? Così al mattino avrebbe portato con sé un sassolino per ogni pecora del suo gregge. Alla sera per ogni pecora entrante nell’ovile poggiava nella sua mano uno dei sassolini messi da parte: Torna all’indice

Era nato il concetto di numero. se fosse avanzato qualche sassolino bisognava tornare al pascolo e cercare la pecora o le pecore mancanti. Era nato il concetto di numero. Successivamente inventò un simbolo per ogni possibile quantità di sassolini. Questi simboli, in epoca romana, ricordavano le dita della mano: I II III oppure la mano con quattro dita unite e il pollice separato : V. Torna all’indice

Come è noto le cifre sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Oggi i simboli che si usano per rappresentare i numeri si chiamano cifre. Come è noto le cifre sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Attenzione a saper distinguere la differenza tra la cifra e il numero. Quindi la scrittura: “ 5 ” è un simbolo grafico, per l’appunto una cifra, con cui si indica quanti oggetti ho contato. Torna all’indice

Così nella frase “ ieri sono stato a cena con 12 amici” viene indicato il numero 12 ed esso si scrive con due cifre: la cifra 1 e la cifra 2. Quindi: 12 indica il numero degli amici ed esso si scrive con le due cifre sopra indicate. Torna all’indice

Le Operazioni e gli insiemi numerici A tutti sono note le operazioni che coinvolgono i numeri e le quattro operazioni. Così non vi è difficoltà nell’addizionare, sottrarre, moltiplicare o dividere dei numeri. Per i nostri antenati fu certamente un progresso notevole passare dalla semplice operazione del contare i capi di bestiame o le pelli o le armi, a quella ancora più utile di poter sommare o sottrarre le stesse quantità. Torna all’indice

Sono perciò familiari le operazioni del tipo: 3 x 4 = 12 Moltiplicazione o prodotto 8 – 2 = 6 Sottrazione 9 + 5 = 14 Addizione o somma 12 : 3 = 4 Divisione Con queste semplici quattro operazioni l’uomo ha per secoli gestito le sue attività: l’agricoltura, il commercio e la costruzione di palazzi, strade, ponti, acquedotti ecc. Torna all’indice

Poi si scoprì l’utilità di introdurre numeri preceduti dal segno + o - e numeri decimali o frazionari: i numeri si sono così ampliati per rispondere ad esigenze di calcoli sempre più ampie. Perciò si sa calcolare: – 8 + 5 = -3; +3(– 2) = – 6 e ancora: (– 4)(– 5) = – 20; e +12 – 7 = +5; (– 2)2 = +4; (– 4)3 = – 64; Torna all’indice

In particolare con i soli numeri naturali non è possibile compiere operazioni del tipo: 3 – 8; 15 – 56; 120 – 254 perché 8 è più grande di 3, 56 è più grande di 15 e infine 254 è più grande di 120. E allora per rendere possibili tali operazioni si sono introdotti i numeri relativi (positivi e negativi) e le regole per eseguire le somme e le sottrazioni con essi. Quindi 3 – 8 = – 5; 15 – 56 = – 41; 120 – 254 = – 134 Torna all’indice

ESEMPIO 1 Somma di frazioni In questo esempio si propone un ripasso dell’operazione di somma tra frazioni tutte positive attraverso la ricerca del minimo comune multiplo. Torna all’indice

In modo analogo: la divisione 8 : 2 = 4 è una divisione esatta perché il resto è zero, ma non risulta possibile dividere esattamente 3 : 2 perché il resto stavolta è 1. Allora si sono introdotti i numeri decimali (o frazionari) e le relative regole. Pertanto 3 : 2 = 1,5 cioè 3 : 2 = 1 + 1/2 Così anche 7 : 4 = 1,25 cioè 1 + 1/4 Torna all’indice

C’è infine un’altra operazione che non sempre è possibile eseguire: l’estrazione di radice quadrata o l’estrazione di radice terza, quarta ecc. Infatti = 2 perché 22 = 4 E ancora: = 2 perché 23 = 8 Ma non è invece una radice esatta perché il suo valore è un numero con infinite cifre decimali e non periodico. Torna all’indice

Come già detto è un esempio di numero irrazionale. Allora questi numeri, che si presentano con infinite cifre decimali e senza un periodo, si chiamano numeri irrazionali. Come già detto è un esempio di numero irrazionale. Se si prova a calcolare con una calcolatrice da tavolo la radice quadrata di 2, si vedrà il visore riempirsi di cifre decimali, in effetti quelle visualizzate sono solo le prime otto o dieci cifre perché in realtà le cifre decimali sono infinite. Torna all’indice

Numeri reali: tutti quelli considerati prima più gli irrazionali come A questo punto riepiloghiamo quali e quanti sono i tipi diversi di numeri che si conoscono: Numeri naturali: 1, 5, 2, 45, 785 ecc. Numeri interi relativi: – 5, +6, +15, – 58 ecc. in pratica tutti i naturali presi però con il segno + o - Numeri razionali relativi: +2,4 – 42,23 – 5/8 – 21,03 – 75 84 5 – 1 ecc. quindi tutti i precedenti più i decimali e frazionari presi con il segno + o – Numeri reali: tutti quelli considerati prima più gli irrazionali come Torna all’indice

Numeri naturali: il loro simbolo è N Numeri interi relativi: il loro simbolo è Z Numeri razionali relativi: il loro simbolo è Q Numeri reali: il loro simbolo è R Inoltre, come lo schema seguente illustra, R contiene Q, Q contiene Z e Z contiene N. Torna all’indice

Q Z N Q R Torna all’indice

ESEMPIO 2 Operazioni con i numeri relativi Si propone un ripasso delle operazioni con i numeri reali relativi Torna all’indice

Dai numeri alle lettere Torna all’indice

Ora è necessario fare un passo avanti: A tutti è noto fin dalle scuole elementari che per calcolare l’area di un rettangolo bisogna moltiplicare la lunghezza della base per la lunghezza dell’altezza. E’ la formula dell’area e si scrive così: A = b x h Ora tale formula contiene l’operazione di prodotto ma, cosa importante, tale prodotto non è indicato tra due numeri, bensì tra due lettere che indicano delle lunghezze espresse in metri, centimetri, o altro. Torna all’indice

Quindi per applicare tale formula si deve sostituire alla lettera il numero opportuno che indica una lunghezza. Soltanto dopo tale sostituzione eseguirò il calcolo e otterrò un numero che esprime l’area. Altri esempi di formule che contengono operazioni espresse tra lettere sono ricavabili dalla geometria, dalle scienze fisiche e naturali, ma anche dalla vita comune. Torna all’indice

Così si può considerare la formula che calcola la lunghezza di una circonferenza: L = 2 x  x r E l’area del quadrato: A = l x l Oppure se indico con P il peso della frutta e con C il costo al kilogrammo in euro, con: S = P x C si calcola quanti euro si dovranno spendere per acquistare una certa quantità di frutta. Torna all’indice

Perimetro di un rettangolo: P = 2 x (a + b) Altri esempi di formule in cui le lettere rappresentano dei numeri sono: Perimetro di un rettangolo: P = 2 x (a + b) Dove a e b sono le lunghezze della base e dell’altezza del rettangolo. Torna all’indice

A queste domande risponde il Calcolo letterale. Ora, stabilito che con una certa lettera si può indicare una certa quantità (peso, area, perimetro ecc.), il passo successivo consiste nel considerare come si possono eseguire le quattro operazioni con le lettere. Cioè, se ha senso sommare 2 con 3, ha un senso anche la somma di a con a? E quale può essere il risultato? Allo stesso modo se si sa calcolare 3 x 7, quale sarà il risultato di b x b? A queste domande risponde il Calcolo letterale. Torna all’indice

IL CALCOLO LETTERALE Cominciamo con il considerare una grandezza generica che indico con la prima lettera dell’alfabeto: a Posso sommare a con sé stessa? Posso cioè eseguire a + a = ? Torna all’indice

un pallone + un pallone = due palloni. E quale sarà il risultato? Immagino che con la lettera a si indichi un pallone da calcio. Allora a + a indica la somma di due palloni, e in tal caso tutti risponderanno che un pallone + un pallone = due palloni. = 2 + Torna all’indice

Dove tra il 2 e la a c’è il segno di prodotto. Facile, no? Ma allora, se si ricorda che a rappresenta un pallone, si dovrà concludere che due palloni si scrive così: 2a Dove tra il 2 e la a c’è il segno di prodotto. Facile, no? Torna all’indice

Vediamo ancora: in questa stavolta vignetta un ombrello viene indicato con la lettera b: = 3 + + Cioè: b + b + b = 3b Torna all’indice

In simboli matematici: b + b – b = b o anche: 2b – b = b Proseguendo si avrà: + – = In simboli matematici: b + b – b = b o anche: 2b – b = b Torna all’indice

E se si hanno oggetti diversi? + + + = Quale sarà la loro somma? E’ evidente che si possono sommare tra loro soltanto oggetti uguali, perciò il risultato sarà: 2 + 2 Torna all’indice

Utilizzando le lettere di prima, a per il pallone e b per l’ombrello, si avrà: a + a + b + b = 2a + 2b E se devo calcolare a + a – a – a –a = ? È lo stesso che calcolare 2a – 3a = ? Certamente! Quindi 2a – 3a = – a Così anche: a – 3a +4b – 2b = – 2a + 2b e pertanto si può concludere che la somma tra lettere dello stesso nome si esegue sommando i numeri scritti davanti ad ognuna di esse. Si noti che a significa 1a e così b = 1b. Si dice cioè che il numero 1 davanti alla lettera si sottintende. Torna all’indice

Per applicare le cose dette si propongono alcuni esercizi: Calcolare: 2a + b - a + 2b = ? 2b – a +b + a – b = ? 3a + 2b – a – b = ? c + b + a + 2a – a + 2c – c = ? 2c + 3b – 2a + c – 2b = ? Torna all’indice

ab + ab = 2ab; 3ab – ab = 2ab; 4ad – ad + 2ad = 5ad Ora estendendo il simbolismo introdotto si può pensare di sommare tra loro non solo singole lettere ma anche gruppi di lettere, purché formati dalle stesse lettere, così: ab + ab = 2ab; 3ab – ab = 2ab; 4ad – ad + 2ad = 5ad o ancora sommare gruppi di lettere dove una o più lettere posseggono un esponente: a2, b3, ab2, a2b, ecc. Non si dimentichi che a2 significa che la quantità rappresentata dalla a è elevata alla seconda. Da questo punto in poi tali lettere o gruppi di lettere precedute da un numero, saranno chiamate: Monomi Torna all’indice

I monomi +2a4c -3m a x3 -5y2 ab2 Torna all’indice

Quindi 2a3b è un monomio e così altri monomi sono: 2ab, 3ac4, – 4a2, – 3a2b3, ecc. Inoltre il numero davanti alle lettere prende il nome di coefficiente del monomio. Altri esempi di monomi con coefficienti frazionari sono: 5 ab2 6 3 ab3c 2 4 2 ab 3 Torna all’indice

Monomi siffatti si chiamano ‘simili’ Pertanto – ab2, +5ab2, e Quindi si è visto come si eseguono le somme di monomi e come si può facilmente notare, per sommare due monomi essi devono: -avere le stesse lettere con gli stessi esponenti -i coefficienti possono essere anche diversi tra loro Monomi siffatti si chiamano ‘simili’ Pertanto – ab2, +5ab2, e 5 ab2 6 sono simili tra loro in quanto la parte letterale è sempre ab2. Torna all’indice

Esempio: (2a)(– 3a2b) = – 6a3b (– 4a3b2c4)(– 3ab3) = +12a4b5c4 Dopo aver visto l’operazione di somma si esamina come si può eseguire il prodotto e la divisione tra i monomi: La regola è semplice: si moltiplicano tra loro i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali. Esempio: (2a)(– 3a2b) = – 6a3b (– 4a3b2c4)(– 3ab3) = +12a4b5c4 Ovviamente nel moltiplicare i coefficienti si deve ricordare la regola dei segni per il prodotto: + per + dà +; + per – dà –; – per – dà +; – per – dà +; Torna all’indice

(+ 0,5ab2)(– 3a5x2 yz4) (+ 2bc3 xy2) = Esercizi proposti: (– 4a4b3c2)(– 5ab) = (+ 4ab5c4)(– 2a4b2x4) = (+ a2bc3)(+ 11ab2x2 y) = (+ 7a2bc3)(– 3x2 yz4) = (+ 2,5a)(– 3a5x2 yz4) (+ 7bc3) = (+ 0,5ab2)(– 3a5x2 yz4) (+ 2bc3 xy2) = Torna all’indice

Se invece si devono dividere due monomi si procede in tale modo: si dividono tra loro i coefficienti e si calcola la differenza tra le lettere dello stesso nome. Esempio: (– 8a3b4c6) : (+2a2bc3) = – 4ab3c3 ( + 15x4y2z) : (– 3x4yz) = – 5y 2 3 a6b5: 2 3 a5b = – ab4 (+ 2,5a)(– 3a5x2 yz4) (+ 7bc3) = Torna all’indice

Esercizi proposti: (– 18a3b2c8) : (+2a3bc6) = ( + 15x5y5z7) : (– 5x4yz5) = (– 8a3b4c6) : (–2a2bc3) = ( + 18x4y2z) : (+ 6x4yz) = – 2 a2x3z5 3 4 a4x5y7z9 : 3 = Torna all’indice

Per eseguire la potenza di un monomio si moltiplica ogni esponente delle lettere per l’esponente a cui si deve elevare il monomio. Anche il coefficiente deve essere elevato a potenza. Esempio: (– 3a2b4c5)3 = – 27a6b12c15 Torna all’indice

Ritorniamo ai numeri Consideriamo adesso un monomio qualunque: – 4a2b3c Esso presenta tre lettere: a, b, c, quindi posso assegnare un numero ad ognuna delle lettere e calcolare il valore del monomio. In pratica scelgo di sostituire tali valori: a = – 2; b = + 1; c = + 3. Torna all’indice

Con tali valori delle lettere il monomio avrà il valore: – 4 (– 2)2 (+1)3 (+3) = – 48 Se cambio i valori assegnati alle lettere, otterrò per il monomio un diverso valore. Notare che non appena alle lettere si siano sostituiti dei numeri, l’operazione di prodotto, che prima era solo espressa tra lettere, consente di ottenere un valore numerico per il monomio. Torna all’indice

Ora esercitiamoci e calcoliamo quanto varrà il monomio: – 4a2b3c Se si assegnano alle lettere tali valori: a = +2; b = +1; c = – 1; e poi: a = 0; b = +1; c = – 1; infine: a = +2; b = +1/ 2; c = – 1; Torna all’indice

FINE PRESENTAZIONE