“Frazioni e numeri decimali: un percorso ricco di opportunità didattiche” Primo incontro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Programma Definizione di frazione Itinerario didattico Problemi con le frazioni Un po’ di storia I numeri decimali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Prova a dividere un quadrato in: 4 quadrati 7 quadrati 10 quadrati   Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Prova a dividere un quadrato in: 4 quadrati 7 quadrati 10 quadrati   Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONE (da DIZIONARIO DI MATEMATICA ELEMENTARE di Stella Baruk ed FRAZIONE (da DIZIONARIO DI MATEMATICA ELEMENTARE di Stella Baruk ed. Zanichelli 2006) …Le frazioni sono enti matematici con molteplici significati: indicano che un intero (continuo o discreto) è stato diviso in un numero, fissato dal denominatore, di parti uguali e di queste ne vengono prese in considerazione tante quanto indicato dal numeratore. sono operatori che applicati ad una grandezza ne producono un’altra omogenea alla prima esprimono rapporti tra grandezze omogenee o non omogenee. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONE (da lo Zingarelli ed. Zanichelli 2006) lat. tardo fractione(m) ‘spezzatura’, da fractus, part. pass. di frangere ‘spezzare’ Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONE: significati (da lo Zingarelli ed. Zanichelli 2006) Porzione, parte staccata di un tutto: un quarto d'ora è una frazione di ora; solo una piccola frazione di persone riuscì nell'intervento (sport) Nelle gare a staffetta, ciascuna delle parti uguali in cui è suddiviso il percorso, coperta in successione da un componente delle squadre Nel ciclismo, tappa. Ciascuna parte che si ottiene frazionando soluzioni o miscugli liquidi. (mat.) Quoziente di due numeri interi. Espressione matematica composta da una coppia di numeri interi, numeratore e denominatore;….. Borgata di comune priva di uffici comunali. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

RIFLESSIONI DIDATTICHE di Clara Colombo Bozzolo Lo studio delle frazioni oggi, nella scuola, avviene a tre livelli: livello intuitivo (S.P. e, in parte, S.S.1°G.) livello algoritmico (S.S.1°G e, in parte, S.S.2°G) livello formale (S.S.2°G e Università) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

RIFLESSIONI DIDATTICHE Nella Scuola dell’obbligo si studiano le frazioni sotto i seguenti aspetti: Frazione come parte di una grandezza: m/n applicata ad una grandezza X. In questo caso si ha sempre m/n < 1 Frazione come operatore su una grandezza : trasforma questa grandezza in un’altra, quindi può essere anche maggiore di 1 o uguale a 1. es. un segmento può essere il doppio, il triplo … di un altro un segmento può essere i 5/3 di un altro. Messa in evidenza della frazione complementare di una frazione data (quest’ultima deve essere minore di 1). Rappresentazione di frazioni sulla retta dei numeri. Frazioni equivalenti e confronto tra frazioni. Classi di frazioni equivalenti (numero razionale). Frazione inversa di una frazione data. Operazioni tra frazioni. Frazione come rapporto: percentuali, similitudini, probabilità. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Indagine sulle conoscenze pregresse Avete mai sentito la parola frazione? 1.a Fate esempi di frazioni. Cosa significa «un mezzo, la metà»? come si fa a trovare mezzo litro di acqua, mezzo chilogrammo di pane? Sulla cattedra si mette un numero opportuno di cubetti, per esempio 24. 2.a Se vi dico di prendere la metà di questi cubetti, cosa fate? 2.b Se dovete prendere un terzo dei cubetti, cosa fate? 2.c Se dovete prendere un quarto dei cubetti, cosa fate? Cosa significano le frasi «un quarto d’ora, mezz’ora, tre quarti d’ora»? 3.a A quanti minuti corrispondono? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Programma La frazione come parte di un intero La frazione come operatore su un intero La frazione come rapporto I numeri decimali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

La frazione come parte di un intero L’UNITÀ FRAZIONARIA LA FRAZIONE Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

L’UNITÀ FRAZIONARIA 5.1 L'unità frazionaria 5.1.1 Suddivisione, in parti uguali, di grandezze; denominazione di ciascuna delle parti e sua scrittura formale - grandezze continue - grandezze discrete, in particolare i numeri naturali 5.1.2 Confronto e ordinamento di unità frazionarie - collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

MAGA ORTENSIA FRA MATEMATICA E MAGIA Suddivisione, in parti uguali di grandezze continue (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag 41) MAGA ORTENSIA FRA MATEMATICA E MAGIA Molto tempo fa, in un castello, viveva una maga, chiamata Ortensia, che aveva una grande passione: la matematica. … Un giorno a Ortensia giunse la notizia che il suo collega, il mago Sambuco, aveva vinto il prestigioso premio "Strega" per le sue ricerche sui numeri naturali. Un po’ invidiosa del risultato ottenuto da Sambuco, Ortensia decise di fargli uno scherzo e di preparare una pozione magica per trasformarlo in un … babbuino! … Ecco la ricetta per trasformare una mente geniale in uno sciocco babbuino: “Disegna queste figure su fogli di carta magica ricavata dagli alberi Betullacitrulla e Pinobabbuino, colora la parte indicata in ogni figura e pronuncia le parole magiche ABBÙ – INOB”. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

MAGA ORTENSIA FRA MATEMATICA E MAGIA Colora di ogni ingrediente la parte necessaria per la pozione magica 1 mezzo terzo quarto quinto 1 mezzo terzo quarto quinto rappresentano ciascuna delle parti uguali in cui è stato suddiviso l’intero e si chiamano …………………………… unità frazionarie Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

AD OGNI PARTE LA SUA FRAZIONE Scrivi l’unità frazionarie corrispondente ad ogni disegno. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

AD OGNI PARTE LA SUA UNITA’ FRAZIONARIA Colora l’unità frazionaria corrispondente ad ogni disegno. 1 quinto 1 ottavo 1 sesto 1 dodicesimo Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

AD OGNI PARTE LA SUA UNITA’ FRAZIONARIA Collega le unità frazionarie ai disegni corrispondenti. 1 quinto 1 terzo 1 nono 1 quarto 1 dodicesimo Hai collegato tutti i disegni ad un’unità frazionaria?…………… Perché? …………………….. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

intero 5 ………… ……….. PARTI UGUALI Completa la tabella. Numero di parti uguali nome di ciascuna parte: unità frazionaria 5 ………… ……….. 1 quinto Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

intero 8 ………….. ………… PARTI UGUALI Completa la tabella e il disegno. Numero di parti uguali nome di ciascuna parte: unità frazionaria 8 ………….. ………… 1 dodicesimo Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

L’INVENZIONE DI MAGA ORTENSIA pag. 54 Ricordi la pozione magica per trasformare Sambuco in un babbuino? Zenzero ha così trascritto la ricetta: un mezzo foglio magico rotondo, un terzo di foglio rettangolare, un quarto di foglio quadrato, un quinto di foglio rettangolare. Ad Ortensia viene l’idea di riscrivere con i simboli matematici gli ingrediente della sua ricetta. 1 mezzo 1 2 Un mezzo Un terzo 1 terzo 1 3 1 quarto 1 4 Un quarto Un quinto 1 quinto 1 5 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

L’INVENZIONE DI MAGA ORTENSIA 1 2 Numeratore Linea di frazione Denominatore Il denominatore indica quante sono le parti uguali in cui è stato suddiviso l’intero Il numeratore indica quante sono le parti considerate. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA STOFFA MAGICA pag.59 Maga Ortensia possiede un pezzo di magica stoffa "non mi vedi", che rende invisibili chiunque la indossi. Iperico, Cumino e Zenzero vorrebbero utilizzarla per farsi un mantello ciascuno e la maga li vuole accontentare. Poiché i tre hanno differenti taglie, divide la stoffa in tre parti di diversa grandezza. E' corretto dire che ciascun aiutante ha ricevuto in dono 1/3 della stoffa? …….. Perché? ………………………………………………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONI O NON FRAZIONI? Indica per ciascuna figura se è stata frazionata bene, ossia divisa in parti uguali. Scrivi, dove è possibile, la frazione corrispondente alla parte evidenziata. Si No Si No Si No Si No Si No Si No Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo e Angela Costa, Erickson pag. 63) Fase manipolatoria e grafica Esempio: Si abbia a disposizione una scatola di 15 bottoni, uguali tra loro, e si ponga la situazione problematica: «La sarta Carmela usa per una camicia 1/3 dei bottoni della scatola. Quanti bottoni utilizza Carmela?». Si propone di dividere con cartoncini la scatola in 3 parti e di distribuire i bottoni in modo che in ogni parte ne sia contenuto lo stesso numero. Si fa rappresentare la situazione sul quaderno: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo e Angela Costa, Erickson) Fase manipolatoria e grafica Con domande opportune, come quanti bottoni sono nell’intera scatola? quanti gruppi di bottoni abbiamo formato? quanti bottoni abbiamo distribuito in ogni gruppo? e il completamento della tabella Numero di bottoni nella scatola Numero di gruppi equonumerosi Numero di bottoni per gruppo 15 3 5 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete Fase manipolatoria e grafica I bambini dovrebbero ricondurre la nuova situazione problematica a quelle di divisione la divisione 15 : 3 = 5 e l’espressione “1/3 di 15 bottoni è 5 bottoni”. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Suddivisione, in parti uguali di grandezze discrete pag.64 Fase manipolatoria e grafica divisione che risolve un problema di ripartizione la divisione 15 : 3 = 5 Attraverso il denominatore è noto il numero dei gruppi equonumerosi, ma non la loro numerosità. La rappresentazione grafica può causare errori se la divisione viene interpretata come «divisione che risolve un problema di contenenza» cioè quando il denominatore viene letto come la numerosità di ciascuno dei gruppi. Nel caso di 1/3 di 15 bottoni si avrebbe, secondo quest’ultima accezione Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

RIFLESSIONI … 15bot. : 3scat. = 5bot./scat. 15bot. : 3bot./scat. = 5scat. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Esempio, in parte, errato Il percorso Verona-Padova è di 81 km. Il tratto Verona-Vicenza è i 2/3 dell’intero percorso. Quanto dista Verona da Vicenza? 81 : 3 = 27 x 2 = 54 km 3/3 1/3 2/3 Il che equivale a compiere la seguente operazione: Quanti e quali errori ci sono? Ancora errori ? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

I LIBRI DI MAGIA pag.69 (Suddivisione in parti uguali di grandezze discrete) Maga Ortensia, dopo aver usato i suoi 20 libri di magia per preparare la pozione Corriveloce, li sistema in parti uguali sui quattro ripiani della libreria. Raggruppa i libri in modo opportuno. Su ogni ripiano ci sono ….. libri (….…, ….…) …….. Scrivi l'operazione che ti permette di calcolare 1/4 di 20 ……………………. 1/4 di 20 è …… 5 20 4 5 20 : 4 5 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

IL FILTRO SMEMORELLA pag.69 Gli aiutanti di Maga Ortensia hanno raccolto nel bosco Querciaombrosa un bellissimo mazzo di 20 fiori “Mi scordo di te”. La maga utilizza 1/5 di questi fiori per preparare il filtro “Smemorella”. Disegna i fiori raccolti e colora solamente quelli utilizzati dalla maga per il filtro “Smemorella”. Scrivi l'operazione ……………………………… La maga adopera ….. fiori 20 : 5 4 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

GIRONZOLANDO AL LUNA PARK pag.73 Luca, Marco e Chiara stanno gironzolando al luna park. Quando arrivano alla chiosco dei dolci si fermano e comprano 12 liquirizie ripiene per ciascuno. I tre ragazzi riprendono il loro giro al luna park mangiando le liquirizie. Quando decidono di andare a casa, Luca ha mangiato 1/ 3 delle proprie liquirizie, Marco ne ha mangiate 1/ 2 delle sue e Chiara 1/ 4 delle sue. Disegna le liquirizie di ciascun bambino e colora solamente la parte che corrisponde a quelle mangiate. Luca Marco Chiara Completa. 1/3 di 12 è ………… 1/2 di 12 è ………… 1/4 di 12 è ………… 4 6 3 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

GIRONZOLANDO AL LUNA PARK Colora un quadretto per ogni liquirizia mangiata da ciascun bambino. Luca Marco Chiara Chi porta a casa più liquirizie? …………. Chiara Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Confronto e ordinamento di unità frazionarie - collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri Per giungere a individuare i punti interni all’intervallo da 0 a 1 corrispondenti alle unità frazionarie si suggerisce di partire da diverse strisce di carta non quadrettata, della stessa lunghezza, e di farle suddividere, mediante piegatura, in un numero, opportuno, di parti uguali. Se si predispongono strisce lunghe 18 cm, i bambini non dovrebbero avere difficoltà a frazionarle, anche senza ricorrere alla misura, in 2, 4, 8, 3, 6, 9 parti. Su ogni striscia viene colorata una delle parti ottenute alle estremità. Incolonnando una striscia sotto l’altra, in modo che le unità frazionarie evidenziate siano allineate da una stessa parte, è possibile ottenere un loro primo confronto e ordinamento. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Confronto e ordinamento di unità frazionarie - collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri 1/2 1/3 1/4 1/6 1/8 1/9 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Confronto e ordinamento di unità frazionarie - collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri Per rendere ancora più diretto il confronto e l’ordinamento tra unità frazionarie, da ogni striscia viene fatta tagliare l’unità frazionaria evidenziata; tale unità viene fatta riportare su un’unica striscia lunga come le precedenti, in modo da allineare un estremo dell’unità sempre con quello a sinistra della striscia e da segnare su di essa un tratto in corrispondenza dell’altro estremo. 1 2 3 4 6 8 9 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Confronto e ordinamento di unità frazionarie - collocazione di unità frazionarie sulla linea dei numeri 1 2 3 4 6 8 9 Si tratta di un passaggio importante, in quanto la frazione unitaria sulla retta numerica non è più associata a parti estese di segmenti, poligoni, strisce, …, ma a punti, come i numeri naturali, quindi cominciano ad assumere una loro “esistenza autonoma”, indipendente dall’intero a cui vengono applicate. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

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Osservando la retta numerica… 1 9 1 8 1 6 1 4 1 3 1 2 1 le unità frazionarie occupano solo la prima metà dell’intervallo da 0 a 1, l’unità frazionaria maggiore è 1/2, tra due unità frazionarie è minore quella con denominatore maggiore. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Graduazione dell’intervallo da 0 a 1 con unità frazionarie qualsiasi (teorema di Talete) Si supponga di volere individuare sul segmento di estremi A e B associato all’intervallo da 0 a 1 il punto corrispondente all’unità frazionaria 1/7: dall’estremo A si traccia una semiretta qualsiasi s, con apertura a piacere, a partire da A si riportano con il compasso sulla semiretta s 7 segmenti tra loro congruenti e a due a due adiacenti, si unisce con la retta t il secondo estremo dell’ultimo segmento ottenuto sulla semiretta s con l’estremo B, con riga e squadra si tracciano le parallele alla retta t passanti per gli estremi intermedi dei segmenti costruiti sulla semiretta s, i punti di intersezione di tali rette con il segmento AB lo dividono in 7 parti uguali s t A B Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015