Indici temporali di un flusso di pagamenti

Indici temporali di un flusso di pagamenti Consideriamo una rendita costituita da n rate R1, R2, …, Rn non necessariamente costanti, con valuta t1, t2,…,tn. Vogliamo associare ad una rendita un indice temporale che sintetizzi la distribuzione delle rate nel tempo. Vita a scadenza: tn-t0

Scadenza media aritmetica È la media aritmetica delle scadenze ti ponderate con pesi dati dagli importi Ri delle rate La scadenza media aritmetica non dipende né dal tasso di valutazione né dal regime di attualizzazione.

ESEMPIO La scadenza media aritmetica di una rendita così costituita: (10000; 2), (11500; 4), (13000; 6).

Scadenza media È definita come la scadenza z di un unico capitale W di importo pari alla somma delle rate in modo tale che il valore attuale di W, in un regime di sconto opportuno, coincida con il valore attuale della rendita. In particolare, se il regime di sconto è quello composto, Passando ai logaritmi otteniamo:

Scadenza media la scadenza media dipende: dal regime di attualizzazione dal tasso di valutazione usato.

Scadenza media Si dimostra che, per i regimi di sconto fin qui descritti, la scadenza media esiste sempre, è unica e risulta compresa tra la scadenza della prima e dell'ultima rata. Si dimostra inoltre che, nel regime a sconto commerciale, la scadenza media e la scadenza media aritmetica coincidono (DIM).

Proprietà della scadenza media in regime composto La scadenza media è sempre inferiore alla corrispondente scadenza media aritmetica per qualunque valore positivo del tasso di interesse periodale i: La scadenza media è funzione decrescente del tasso di interesse periodale i:

Proprietà della scadenza media in regime composto All’approssimarsi a 0 del tasso di interesse periodale i, la scadenza media tende a coincidere con la scadenza media aritmetica: All’aumentare del valore del tasso di interesse periodale i, la scadenza media tende a coincidere con la scadenza della prima rata:

Esempio Si prevede di incassare Euro 500 tra un mese e Euro 800 tra due mesi. Qual è la scadenza media in regime composto al tasso annuo i = 8%? Il tasso da utilizzare è quello equivalente mensile i12 = 0.006434. z = 1.6146 mesi. La scadenza media z è un mese e 18 giorni.

Durata media finanziaria (duration) È una scadenza media aritmetica avente per pesi i valori attuali delle rate: Misura la distanza da t0 del baricentro della distribuzione temporale delle masse

ESEMPIO La duration di una rendita così costituita: (10000; 2), (11500; 4), (13000; 6), tasso interesse annuale 0,1

Duration rendita rata costante La duration è indipendente dalla rata

Esempio Consideriamo le due rendite finanziariamente equivalenti (valore attuale = 110) e il fattore di sconto composto

Scadenza media aritmetica

Scadenza media

duration

Esercizi ACD: cap.5 es.5.10, cap. 10 es.10.16 punto a), es.10.18 punto a) BC: cap. 2 es.8,