Da un insegnamento per regole a un insegnamento per competenze Montecastrilli, 4 dicembre 2014 2° Incontro Da un insegnamento per regole a un insegnamento per competenze Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it

Due approcci diversi COME? INSEGNARE LE REGOLE INSEGNARE I ‘FATTI’… sorvolando sui fatti che le originano ignorando i perché di tali fatti spesso ignorando anche le relazioni fra: regole e fatti regole … e come utilizzarli in vista di un obiettivo  costruire competenze COME?

In matematica ci sono tanti tipi di perché… Dal 1° incontro…

Perché… …per due punti passa una sola retta? … ‘meno per meno fa più’? … in un’espressione si fanno prima le moltiplicazioni e poi le addizioni? …in un’equazione si può ‘portar di là’ un addendo cambiandolo di segno? …un numero primo è divisibile solo per se stesso e per 1? …la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°? …50=1? …la moltiplicazione si esegue nel modo usuale (in colonna)?

GLI ASSIOMI I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI Le regole di deduzione I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI

GLI ASSIOMI Il concetto di insieme. Il concetto di punto, retta, piano… Il concetto di numero naturale.

ASSIOMI TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA

I TEOREMI Si deducono dagli assiomi e da teoremi precedenti. A seconda degli assiomi scelti, una stessa proposizione può essere un assioma o un teorema. Sono teoremi anche i ‘lemmi’, ed i ‘corollari’. I TEOREMI TEOREMA: In un triangolo la somma degli angoli interni è 180°.

? Si dimostra a partire dalle proprietà delle operazioni. Ma anche: Perché la moltiplicazione si esegue nel modo usuale? 37 x 28 = ? 296 74 - 1036 Si dimostra a partire dalle proprietà delle operazioni.

GLI ASSIOMI I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI Le regole di deduzione I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI

Un numero primo è un numero divisibile solo per se stesso e per 1. LE DEFINIZIONI

GLI ASSIOMI I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI Le regole di deduzione I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI

Ordine di esecuzione delle operazioni in un’espressione. 3 + 2 x 6 = 15 … e non 30 LE CONVENZIONI

GLI ASSIOMI I TEOREMI LE DEFINIZIONI LE CONVENZIONI la ‘razionalità’ matematica Le regole di deduzione I TEOREMI LE DEFINIZIONI il linguaggio matematico LE CONVENZIONI

Teoremi, definizioni, convenzioni… Non nascono improvvisamente, da sé E’ all’interno di un problema che il matematico affronta che: nascono definizioni per indicare oggetti matematici significativi nascono delle intuizioni su quello che può accadere: le congetture solo successivamente si cerca di dimostrare tali congetture, che quindi diventano teoremi

ASSIOMI ESPLORAZIONE TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA CONGETTURA ESPLORAZIONE

ASSIOMI DIMOSTRAZIONE TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA CONGETTURA TEOREMA DIMOSTRAZIONE

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

Le Indicazioni Nazionali condividono questa visione

I processi tipici della matematica Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s’intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive. la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione). Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta. ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche PORSI AFFRONTARE RISOLVERE P R O B L E M I Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica

Riflessione Quali sono a vostro parere le caratteristiche della razionalità matematica, in particolare quelle che più lo differenziano da quella/e quotidiana/e?

p  q PENSIERO DEDUTTIVO Le regole di deduzione Se un numero è divisibile per 6, allora è divisibile per 2 n divisibile per 6  n divisibile per 2 p  q è equivalente a: non q  non p Se un numero non è divisibile per 2, allora non è divisibile per 6

TEST DI WASON A R 4 7 Quali carte gireresti per verificare se per queste 4 carte vale la regola: 'Se da una parte c’è una vocale, dall’altra c’è un numero pari‘ ?

VARIAZIONI SUL TEMA… Beve birra Beve acqua Sopra i 16 anni Sotto i Quali carte gireresti per verificare se per queste 4 carte vale la regola: 'Se una persona beve birra deve avere più di 16 anni'.

Pensiero deduttivo / pensiero induttivo In matematica tanti casi (esempi) che supportano un’affermazione non sono sufficienti per stabilire la verità dell’affermazione in generale n2 – n + 41 n=0 n=1 n=2 n=3 …n=40 …è un numero primo Verrebbe da concludere che: n2 – n + 41 è un numero primo per ogni intero positivo n Ma per n=41 n2 – n + 41 = 412-41+41= 412 che è un quadrato, quindi non è primo

Pensiero deduttivo / pensiero induttivo Con gli esempi in matematica non si dimostra… Con i contro-esempi invece sì! (si dimostra la falsità di una affermazione) E’ un CONTRO-ESEMPIO Ma per n=41 n2 – n + 41 = 412-41+41= 412 che è un quadrato, quindi non è primo

Pensiero deduttivo / pensiero induttivo Con gli esempi in matematica non si dimostra… Però i casi particolari, le regolarità ecc. suggeriscono CONGETTURE CONGETTURARE è un’altra attività matematica fondamentale, senza la quale non ci sarebbe niente da DIMOSTRARE

ASSIOMI TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA CONGETTURA

Esempi di congetture Il ‘teorema ‘ di Fermat La somma di due numeri consecutivi … La somma dei primi n numeri dispari… …

L’ultimo ‘teorema’ di Fermat Congettura di Fermat: Se x, y, z sono numeri interi, e n è un numero naturale, l’equazione: xn+yn=zn non ha soluzioni se n>2. Teorema di Fermat: Se x, y, z sono numeri interi, e n è un numero naturale, l’equazione: xn+yn=zn non ha soluzioni se n>3. “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina". Fermat non ha lasciato una dimostrazione

Andrew Wiles (1995) teoria Teorema di Fermat Teorema di Fermat-Wiles

Un esempio semplice Osservo cosa succede della somma di due numeri consecutivi Congettura: è sempre un numero dispari Provo a dimostrare n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 dispari

La somma dei primi n numeri dispari… 1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 ? 2 3 4

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica Razionalità matematica / razionalità quotidiana

Un triangolo che ha due lati uguali ha anche due angoli uguali. RAZIONALITÀ MATEMATICA RAZIONALITÀ QUOTIDIANA Un triangolo che ha due lati uguali ha anche due angoli uguali. Si vede dal disegno! E’ un teorema: va dimostrato a partire dagli assiomi e da altri teoremi

RAZIONALITÀ MATEMATICA RAZIONALITÀ QUOTIDIANA E’ vero che se si moltiplica un numero divisibile per 3 per uno pari il risultato è sempre un numero divisibile per 6? Devo DIMOSTRARE: n divisibile per 3: n=3k m divisibile per 2: m=2h nm=3k2h=6kh  è divisibile per 6 Provo con degli esempi: 3,2 6 6, 424 15, 460 Sì, è vero!

La matematica serve per RAGIONARE! !!!?????

Ci sono dei concetti che mi rimangono astratti, che non riesco a capire. Ci sono professori ai quali ho chiesto: a cosa serve la matematica? Loro mi hanno risposto, è una materia che fa ragionare, ma secondo me è una materia che fa andare fuori di testa tanta gente. (1S.23)

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica Razionalità matematica / razionalità quotidiana

…differenti razionalità 4343 PENSIERO NARRATIVO PENSIERO LOGICO - SCIENTIFICO …differenti razionalità (Jerome Bruner)

…ma appare inadeguato a interpretare fatti umani, 4444 PENSIERO NARRATIVO PENSIERO LOGICO - SCIENTIFICO si occupa di categorizzare la realtà, di ricercare cause di ordine generale, applicando argomentazioni dimostrative… …ma appare inadeguato a interpretare fatti umani, cioè a mettere in relazione azioni e intenzioni, desideri, convinzioni e sentimenti, a coglierne il significato L’interpretazione dei fatti umani è invece resa praticabile da un tipo differente di pensiero, che caratterizza una differente modalità di approccio al mondo

…ma è una causalità diversa da quella logica 4545 Tre componenti: Una situazione che presenta qualche conflitto, problema, disagio... (b) Un protagonista animato che è coinvolto in questa situazione con uno scopo (c) Una sequenza basata su rapporti causali, in cui il conflitto viene risolto L'idea di causalità è centrale nella narrazione di storie… …ma è una causalità diversa da quella logica

…ma è una causalità diversa da quella logica 4646 ‘La struttura di un’argomentazione logica ben costruita è radicalmente diversa da quella di un racconto efficacemente impostato. L’una cosa e l’altra, forse, rappresentano una versione più specializzata ed evoluta dell’esposizione pura e semplice, quella versione, cioè, per la quale i giudizi di fatto si convertono in giudizi implicanti la causalità. Ma i tipi di causalità impliciti in tali giudizi sono molto diversi nei due casi. Il termine «allora» riveste funzioni molto diverse nell’enunciato logico “se X, allora Y” e nel testo narrativo “il re morì e allora morì anche la regina”. Nel primo caso esso allude a una ricerca delle condizioni universali di verità, nel secondo a probabili rapporti particolari fra due eventi: un dolore mortale, il suicidio o un delitto.’ …ma è una causalità diversa da quella logica (Bruner, 1986)

Un esempio: i problemi

Luca (terza elementare) Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco. Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone. Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone? Perché? ‘E’ più facile che gli capiti all’arancia’ ‘Se Matteo prendeva quella al limone ne rimaneva una sola e invece è meglio prenderla all’arancia. ‘

IL PROBLEMA DEI GHIOTTONI (RMT: 5a elementare) “Secondo noi Bernardo ha la crostata di mele, perché egli sta ridendo quindi non è cascata a lui la crema al cioccolato.” IL PROBLEMA DEI GHIOTTONI (RMT: 5a elementare) I quattro bambini Bianchi hanno avuto, oggi alla fine del pranzo, tutti un dolce diverso. Sonia e i due gemelli non hanno voluto il gelato alla fragola. Cecilia ha inzuppato il dito nel budino al caramello di sua sorella. Bernardo, il più piccolo, ha trovato questo molto divertente. Uno dei maschi ha rovesciato una parte della sua crema al cioccolato mentre litigava con suo fratello. Qual è il dolce che Federico ha mangiato? Chi ha mangiato la crostata di mele?

Problema (P.L. Ferrari) In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno: Angelo: ‘Non è stata Bruna’ Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’ Chiara: ‘Non è stato Daniele’ Daniele: ‘Non sono stato io’ Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa. Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.

Problema (P.L. Ferrari) ‘Angelo’: ‘non è discolpato da nessuno’ ‘Chiara’: ‘non è nominata da nessuno perché vogliono coprirla’ ‘Daniele’: ‘Si discolpa, quindi probabilmente è stato lui.’ In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno: Angelo: ‘Non è stata Bruna’ Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’ Chiara: ‘Non è stato Daniele’ Daniele: ‘Non sono stato io’ Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa. Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.

Alla sera Pete ha 6 palline. Durante il giorno ha perso 2 palline. La mattina Pete aveva ……………………… giocato con le palline

Philip Roth La mia vita di uomo (1989)

Quand’ero io il paziente, malaticcio e febbricitante, lui tante volte mi disorientava, invece: mi pareva che fosse una specie di giocattolo elettrico parlante che veniva a giocare con me, puntualmente, ogni sera alle sei. Per divertirmi non sapeva escogitare di meglio che propormi certi problemi d’aritmetica, per i quali lui stesso era un mago. “ «Lo sconto»,”, esordiva, alla maniera d’uno studente che annuncia il titolo della poesia mandata a memoria.

Se volevo, potevo chiedergli che ripetesse questo o quel dettaglio. “Un negoziante, per cercar di dar via un cappotto passato di moda, ne abbassa il prezzo da trenta a ventiquattro dollari. Non riuscendo ancora a venderlo, lo ribassa ulteriormente a diciannove dollari e venti cents. Non trova nessun acquirente. Allora riduce ancora il prezzo e stavolta lo vende,” Qui faceva una pausa. Se volevo, potevo chiedergli che ripetesse questo o quel dettaglio. Sennò, procedeva. “Ebbene, Nathan, per quanto l’ha venduto, posto che l’ultimo sconto era in proporzione con i due precedenti?”

A chi avrà finito per vendere quel cappotto, il bottegaio? Oppure: ” «Per fare una catena». Un boscaiolo ha sei pezzi di catena ognuno di quattro anelli. Se il costo per aprire un anello è…” e così via. Il giorno dopo, mentre la mamma canticchiava un motivo di Gerschwin facendo il bucato, io, a letto, sognavo a occhi aperti il negoziante e il boscaiolo. A chi avrà finito per vendere quel cappotto, il bottegaio? Si sarà reso conto, l’acquirente, ch’era passato di moda? Se l’indossava per andare al ristorante, avranno riso di lui? E come si capiva che la moda era diversa, da un anno all’altro?

e perché, tutt’a un tratto, avrà avuto bisogno d’un cappotto? Ricordo ancora come era carico, per me, il termine “acquirente”. Sarà stato il boscaiolo coi sei pezzi di catena quello che, nella sua rustica innocenza, aveva finito per comprare il cappotto tagliato secondo la moda dell’anno scorso? e perché, tutt’a un tratto, avrà avuto bisogno d’un cappotto? Sarà stato invitato a un ballo in costume? E da chi?

Non riteneva che dessi prova d’intelligenza; e aveva ragione. Mia madre trovava “acute” le domande che io sollevavo a proposito di quei problemi, ed era lieta che mi dessero qualcosa cui pensare mentre lei era occupata con le faccende e non poteva giocare con me all’oca o a dama. Mio padre invece si sentiva cascare le braccia, a vedermi intrigato così da fantastici e irrilevanti dettagli storici o geografici o psicologici anziché dalla semplice e nuda bellezza della soluzione aritmetica. Non riteneva che dessi prova d’intelligenza; e aveva ragione. (Philip Roth)

Il tema di Giacomo A me passava la voglia di saperlo. 5959 Il tema di Giacomo Ho presente invece molto bene la mia maestra dalla terza alla quinta. Si chiama Rosa, è alta e magra ma aveva una natura pessimista, da pessimismo leopardiano: ad esempio verso Pasqua ci faceva fare dei problemi sulle uova con delle situazioni dove tanti pulcini morivano prima di nascere. Domandava: quanti nasceranno vivi? A me passava la voglia di saperlo. [Giacomo, prima media]

‘Forse ad ogni compleanno gli hanno regalato un animale…’ Problema: In un prato ci sono 20 pecore, 7 capre, e 2 cani. Quanti anni ha il pastore? CONTESTO DOMANDA 20 + 7 + 2 = 29 ‘Forse ad ogni compleanno gli hanno regalato un animale…’

Quindi deduco che abbia sui 70-76 anni". Problema: In un prato ci sono 20 pecore, 7 capre, e 2 cani. Quanti anni ha il pastore? "Ho fatto un ragionamento particolare: il pastore se ha due cani per così poche bestie uno dei due cani forse gli serve perché è non vedente. Quindi deduco che abbia sui 70-76 anni".

Un problema è una storia che si fa in matematica. [2.a] 6262 Un problema è una storia che si fa in matematica. [2.a] NARRATIVI Per me un problema è un tema di matematica. [3.a]

Logici o narrativi? Si può parlare di… alla realtà? un ‘approccio’ narrativo un approccio logico alla realtà? vedi ricerche di Smorti con i bambini piccoli Importanza di sviluppare entrambi i tipi di pensiero Importanza di riconoscere quale tipo di pensiero è più adeguato ad un certo contesto  obiettivo metacognitivo

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica Razionalità matematica / razionalità quotidiana

Tversky e Shafir, 1992 1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto. Che decideresti di fare? Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse: 2) di essere stato promosso 3) di essere stato bocciato

1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso Le terne possibili: C = compra N = non compra incerto promosso bocciato C C C C C N C N C C N N N C C N C N N N C N N N 1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso 3) Sa di essere stato bocciato

La roulette russa Sei persone si sfidano alla roulette russa usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto. (1) Secondo te qual è la posizione più sicura? 50%: la prima 23%: sono tutte equivalenti (2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima 40%: l’ultima

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

il linguaggio matematico

Linguaggio criptico…

…di cui non si coglie il senso

Linguaggio matematico linguaggio quotidiano O dall’uso diverso dei connettivi e dell’implicazione Linguaggio matematico linguaggio quotidiano A volte le difficoltà nascono da una sovrapposizione dei due linguaggi… ipotesi / tesi angolo, spigolo… altezza il linguaggio matematico

Connettivi 6 è un numero pari e divisibile per 3 6 è un numero divisibile per 3 e pari …commutativo L’ho visto e ho cambiato strada. Ho cambiato strada e l’ho visto. …non commutativo

Implicazione Se un numero è divisibile per 4 allora è divisibile per 2 Se un numero non è divisibile per 4 allora non è divisibile per 2 Se passi ti compro il motorino. Se non passi non ti compro il motorino.

Ma ci sono differenze più globali Il ruolo del contesto: Altri linguaggi di accompagnamento del messaggio: il tono della voce, l’espressione del viso, la postura, La possibilità di utilizzare deissi Le regole di comunicazione: il principio di cooperazione di Grice

“Scusi, sa l’ora?” “Sì.” “Grazie.” CONTESTO SIGNIFICATO SENSO ?!

Ho buttato un uovo contro il muro e non si è rotto. …cosa non si è rotto? Ho buttato un sasso contro il vetro e non si è rotto. …cosa non si è rotto? ?

Principio di cooperazione Esempio: A: Dov’è Carlo? B: C’è una Volkswagen gialla davanti a casa di Anna. In casi come questi l’ascoltatore per mantenere l’assunto di cooperazione fa delle inferenze: implicature conversazionali

Annalisa [Domanda in un test d’ingresso al 1° anno di università] Riconosci quale/i fra le affermazioni scritte sotto sono equivalenti all’affermazione: Non tutti gli operai della fabbrica sono italiani (a) Tutti gli operai della fabbrica sono stranieri (b) Alcuni operai della fabbrica sono italiani (c) Alcuni operai della fabbrica sono stranieri

Ma anche: 7  2 7 > 2 2  2 2 = 2

Le definizioni ESSENZIALI DESCRITTIVE Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli uguali. ESSENZIALI Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4 angoli uguali retti, le diagonali uguali, perpendicolari, che si dividono a metà!!! DESCRITTIVE

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE Il linguaggio della matematica è funzionale a questi processi il linguaggio matematico

Un esempio semplice Osservo cosa succede della somma di due numeri consecutivi Congettura: è sempre un numero dispari Provo a dimostrare n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 dispari Il linguaggio della matematica è funzionale a questi processi il linguaggio matematico

LINGUAGGIO Produzione di un testo dev’essere finalizzata ad uno scopo  Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo LINGUAGGIO QUOTIDIANO MATEMATICO

Arte di ascoltare e mondi possibili. Marianella Sclavi Arte di ascoltare e mondi possibili. Come si esce dalle cornici di cui siamo parte.

SCENARIO 1 Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto (bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato) di raccontare la storia rappresentata in una vignetta. Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio… Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il soggetto che compie l'azione? Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa così evidente): Loro! Insegnante: Chi ‘loro’? Ernesto: I ragazzi! Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi? Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre! Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire? Ernesto (tace, chiuso in se stesso) Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il racconto. (…)

SCENARIO 2 Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a finire lì e rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda fuori e li sgrida. (L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato assegnato? Cosa è importante per lui?) Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile: come racconteresti la stessa storia a una persona che non la sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi? (Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli sembra un po' confusa.)

SCENARIO 2 Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto, devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un bravo narratore anche in questo caso… (Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con l'insegnante in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare una parte c’è la difficoltà dell'inizio. Esita.) Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola? C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale abbiamo lavorato oggi. Passa la cornetta ad Ernesto. Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.

LINGUAGGIO Produzione di un testo dev’essere finalizzata ad uno scopo  Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo LINGUAGGIO QUOTIDIANO MATEMATICO

Alcune proposte didattiche Scuola primaria Scuola secondaria di primo grado Scuola secondaria di secondo grado

Pierluigi Ferrari Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica. Pitagora 2005

Scuola primaria L’esempio illustrato è tratto da una sequenza di attività finalizzate fra l’altro: alla rappresentazione delle strategie risolutive dei problemi alla costruzione a tale scopo di espressioni con lettere. Tali attività si sono sviluppate a partire della seconda, e alla fine di tale anno scolastico si è verificato l’episodio in esame. Il problema presentato è stato scelto per mettere in luce l’atteggiamento che i bambini avevano già raggiunto nei confronti del linguaggio.

Consegna: calcolare il numero delle palline delle prime 20 figure della sequenza. Classe: 2a primaria (fine anno scolastico)

A proposito della figura n.10 Anna (a proposito della figura n°10): “Allora, fa diciannove … perché … considerando che la figura cinque è nove … cinque più cinque fa dieci … dunque mi ha portato a diciannove” Adriano: “Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari” L. parafrasa l’intervento di Adriano. Gianluca: “Io ho fatto … ehm … ho aggiunto nella base tre pallini e poi in su sei” Eugenio: “Andiamo avanti di due fino a arrivare a diciannove” Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5

A proposito della figura n.10 L.: “Quindi nella figura numero sei quanti ne avremo?” E.: “Undici” L.: “Nella figura sette?” E.: “Tredici” L.: “Nella figura otto?” E.: “Quindici” L.: “Nella figura nove?” E.: “Diciassette” L.: “Nella figura dieci?” E.: “Diciannove” L.: “Eugenio praticamente vi ha detto che ogni volta aggiungiamo due” Diversi alunni: “Due, due”

L.: “Se la figura che vogliamo prendere in considerazione fosse la figura cento, o la figura cinquanta, o la figura settanta …cioè sarebbe facile continuare ad aggiungere due due due due?” Francesco: “No” L.: “Perché non sarebbe facile? Perché bisognerebbe …” F.: “Bisognerebbe aggiungere tante volte tante volte e poi diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo lungo” L.: “Diventerebbe noioso e lungo lungo lungo lungo, dice Francesco. Allora dobbiamo trovare una regola o un modo o un sistema che ci faccia arrivare a trovare la soluzione senza stare lì a contare” E.: “Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura” L.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?” E.: “Eee … al numero indicato nella figura”

L.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?” E.: “Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura” Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5 L.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?” E.: “Eee … al numero indicato nella figura”

L.: “Eugenio dice: il numero di palline che si trovano nella base sono esattamente corrispondenti al numero della figura. Cioè nella figura due ci sono due palline alla base, nella figura tre ce ne sono tre, nella figura quattro ce ne sono quattro nella figura cinque ce ne sono cinque eccetera eccetera. Osservate ancora più attentamente perché lui vi ha già dato una buona indicazione secondo me” A.: “Io ho notato una cosa che se tolgo quei due che ho aggiunto diventa il numero precedente” L.: parafrasa e orienta la discussione su quanto detto da Eugenio. Giulia: “Sempre numeri dispari” L.: “Si ma E, …, guardate un po’ in altezza. Biagio?” Biagio: “Ce n’è una in meno rispetto alle palline della base”

L.: parafrasa e chiede a Emma quante palline avremo nella base nella figura venti. Emma: “Venti” L.: “E nell’altezza?” Em.: “Diciannove” L.: “Perché ne avremo diciannove in altezza Emma?” Em.: “Perché in alto ce n’è sempre una in meno” L.: “In meno rispetto a che cosa?” Em.: “Rispetto alla base” L.: “Facciamo bene il ragionamento. Quindi partite da lì e andiamo avanti. Biagio ha un’ispirazione …” B.: “Le palline che ci sono nella figura cento sono sono centonovantanove perché sappiamo che ce n’è una in meno in verticale e alla base c’è sempre uguale quindi se dobbiamo avere la figura cento in base ci saranno cento e su ci saranno una in meno … novantanove le addizioniamo … centonovantanove”

L. : “Oh. Allora sentite bene” [Parafrasa Biagio L.: “Oh! Allora sentite bene” [Parafrasa Biagio.] “Vediamo se funziona anche con altri numeri. Con la figura ad esempio … quaranta. Biagio, hai provato a vedere che cosa verrebbe con la figura quaranta?” B.: “Sì. Ce n’abbiamo in alto trentanove e quaranta sotto quindi diventa settantanove” L.: “E vediamo, a Francesco che cosa verrebbe nella figura … trenta” F.: “Allora nella base trenta palline e in alto ventinove …” L.: “E allora che cosa faresti Francesco per sapere quante sono in tutto?” Sussurri, suggerimenti. F.: “Trentanove” L.: “No” F.: “Trenta più ventinove” L.: “E che cosa fa trenta più ventinove?” F.: “Sett … cinquantanove”

L.: “Sì. Proviamo a vedere con il numero duecento” Diversi alunni: “Eee” L.: “Allora vediamo chi vuole provare con duecento … quante palline ci sono nella figura duecento?” Adriano: “Nella figura duecento ci saranno duecento pallini alla base e centonovantanove pallini in alto” L.: “E allora in tutto quanti saranno?” Ad.: “Duecentonovantanove … no … trecentonovantanove” L.: “Secondo voi il ragionamento di Biagio funziona?” Coro: “Sìiiiiii”

L’attività prosegue con la scoperta che la strategia proposta da Biagio (sommare il numero della figura con lo stesso numero diminuito di 1) equivale a raddoppiare il numero della figura e sottrarre 1. Dopo questa scoperta (basata sulle prove numeriche effettuate) la classe si mette alla ricerca di un sistema per abbreviare la notazione. Tale esigenza è motivata dalla scelta, di tipo generale, di rappresentare le strategie in forma esplicita. La rappresentazione (per adesso verbale) della strategia trovata evidentemente era troppo lunga rispetto al foglio in cui doveva essere riportata. La discussione continua come segue.

Anna: “Abbreviamo numero in modo che ci stia base” Viene così proposta la scrittura n.base per due meno uno = n. delle palline L. suggerisce la parentesi dopo ‘per due’ e di eliminare ‘delle’. La classe concorda e si arriva così alla scrittura (n.base x 2) – uno = n.palline L.: “Vediamo se si può fare ancora qualcosa” Giulia propone di scrivere ‘uno’ in cifra: (n.base x 2) – 1 = n.palline B.: “Mettere simboli per abbreviarlo ancora e quindi farlo stringere di più. In un … palline … facciamo un cerchio e diventa una pallina oppure ne facciamo due per il plurale” Biagio propone quindi la scrittura (n.base x 2) – 1 = n.OO

Lo stesso Biagio propone un’ulteriore abbreviazione. B.: “Maestra, me n’è venuta un’altra … se mettiamo per la base invece che base una str … riga orizzontale, per verticale una verticale.” La proposta (finale) di Biagio è quindi: (n- x 2) – 1 = n OO Nota: Nel corso dell’attività, il punto che seguiva ogni occorrenza di n [n.] è poco a poco sparito.

Alcune proposte didattiche Scuola primaria Scuola secondaria di primo grado Scuola secondaria di secondo grado

Descrizione dell’attività B 2 classi di II media (A1 e A2), in due località diverse del comune di Alessandria FASE 1 (classe A1): L’insegnante di Matematica ha proposto di calcolare l’area del piano terra della scuola Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la pianta in scala, si sono procurati le misure necessarie e hanno calcolato l’area. FASE 2 (classi A1 e A2): Si chiede alla classe A1 di proporre il problema alla classe A2 soltanto attraverso un testo, senza usare figure.

Testo prodotto dalla classe A1 La nostra scuola assomiglia molto a una culla vista di profilo Il nostro edificio si compone di 3 rettangoli, 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore. Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C. A D C B (4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B sono uguali. (5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm (6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale all’altezza del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm (7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.

ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2

disegno originario disegno riprodotto C B disegno originario disegno riprodotto (3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C. viene riformulato (3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B quello sulla sinistra e C quello orizzontale.

disegno originario disegno riprodotto C B disegno originario disegno riprodotto (4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A. viene riformulato (4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è appoggiato sul rettangolo A e in parte sul rettangolo C, con il lato obliquo consecutivo all’altezza del rettangolo A.

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

Esplorare, congetturare e argomentare con la tavola pitagorica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

Alcune domande- stimolo Cosa ti aspetti: saranno di più i pari o i dispari? Perché? Controlla: evidenzia i pari sulla tua tavola. Sono di più i pari o i dispari? Perché?

Numeri divisibili per 2 (pari)

Alcune domande- stimolo Cosa ti aspetti: saranno di più i pari o i dispari? Perché? Controlla: evidenzia i pari sulla tua tavola. Sono di più i pari o i dispari? Perché? x PARI DISPARI E nel caso della somma?

Evidenzia nella tua tavola i numeri: divisibili per 3 divisibili per 5 divisibili per 7 Cosa osservi?

Numeri divisibili per 3

Numeri divisibili per 5

Numeri divisibili per 7

Cosa ti aspetti che succeda se fai la stessa cosa con 4? Controlla.

Numeri divisibili per 4

Cosa ti aspetti che succeda se fai la stessa cosa con 4? Controlla. Come mai succede questo?

Numeri divisibili per 6

Numeri divisibili per 8

Numeri divisibili per 9

Numeri divisibili per 4 Ci sono più numeri divisibili per 4 o più numeri pari? Perché?   Può capitare che un prodotto sia multiplo di 4 anche se nessuno dei fattori è multiplo di 4? Perché? Tutti i multipli di 4 sono pari? Perché? Tutti i numeri pari sono multipli di 4? E’ vero o falso? Il prodotto di due numeri naturali è pari se almeno uno dei fattori è pari.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 63= 7x9   80= 8x10 70= 7x10 72= 8x9 63 x 80 = 7x9x8x10 70x72=7x10x8x9  

Si può dimostrare in generale? a (b+1) (a+1) b a a+1 b ab (a+1)b b+1 a(b+1) (a+1)(b+1) ab(a+1)(b+1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

Quali finalità? FIN DAL PRIMO CICLO Avvio alla dimostrazione ARGOMENTARE Quali finalità? Avvio alla dimostrazione Sviluppo di competenze di comunicazione Sviluppo di competenze linguistiche

Quali differenze? PRIMO CICLO SECONDO CICLO ARGOMENTARE DIMOSTRARE

In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso ARGOMENTARE In generale: la soluzione ad un problema, la risposta ad una domanda In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso Dopo un’esplorazione Prevedere cosa succede Descrivere il funzionamento di un oggetto

In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso ARGOMENTARE In generale: la soluzione ad un problema, la risposta ad una domanda In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso

ALCUNI ESEMPI DI ATTIVITA’

In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso ARGOMENTARE In generale: la soluzione ad un problema, la risposta ad una domanda In particolare: una congettura fatta dall’allievo stesso la soluzione ad un problema

Terza secondaria di 1° grado 2010-11   congettura argomentazione Cosa si ottiene se si addizionano 3 numeri dispari consecutivi?

2a primaria

Teste e zampe (C) Nonna Giulia ha deciso di partire per una breve vacanza. I suoi nipoti Luca e Matteo le hanno promesso di dare da mangiare ai suoi animali: cani, gatti, polli e conigli. Il giorno prima di partire la nonna ha chiamato a casa sua Matteo, il più grande dei nipoti. gli ha fatto vedere il cibo da dare agli animali raccomandando di non sbagliare tra quello dei conigli e quello dei polli. Matteo ha ascoltato con grande attenzione e ha promesso di seguire scrupolosamente le sue istruzioni. Il giorno dopo i due fratelli escono per recarsi a casa della nonna ad accudire gli animali. Lungo la strada incontrano alcuni amici e si fermano a giocare ai giardini. Non si rendono conto che il tempo passa e che la mamma li aspetta per portarli in piscina per la gara di nuoto. Per fortuna la nonna ha lasciato il mangime degli animali vicino alle ciotole da riempire, così non devono perdere tempo.

Quando Matteo inizia a preparare il cibo per i polli e per i conigli esclama: “ Le ciotole sono 11 , una per ciascun animale, ma non ricordo quanti sono i polli e quanti sono i conigli! Corri Luca, vai a contarli, intanto io vado a dare da mangiare ai cani e ai gatti “. Luca protesta, ma poi obbedisce al fratello maggiore. Tutto trafelato Luca arriva nella parte opposta del cortile, dove si trova la stanza dei polli e dei conigli, ma si accorge che le gabbie sono troppo in alto per lui. riesce a vedere solo le zampe e, per timore di essere rimproverato, conta quelle . Torna di corsa da matteo ed esclama: “Non ho visto gli animali, ma ho contato 34 zampe!” Matteo si arrabbia perché lui ha bisogno di sapere con esattezza quanti sono i conigli e quanti i polli. Non può rischiare di sbagliare cibo, la nonna si è raccomandata! E’ tardi, non può andare lui, gli animali sono troppo distanti, la mamma li sta aspettando per portarli alla gara! Puoi aiutare Matteo a risolvere il suo problema? Matteo ha davvero bisogno del tuo aiuto!

In un recinto ci sono 11 animali, fra conigli e galline. Le zampe sono 34. Quanti sono i conigli? Quante le galline?

Classe seconda, scuola Mazzini, Pisa Processi risolutivi Classe seconda, scuola Mazzini, Pisa

Rachele e Chiara

Filippo e Tommaso ABBIAMO VISTO CHE 2-4-2-4- RIPETUTO PER 11 VOLTE FA 34 E SECONDO NOI I CONIGLI SONO 6 E I POLLI SONO 5. E POI ABBIAMO DISEGNATO 11 CIOTOLE, E ABBIAMO INIZIATO A CONTARE LE ZAMPE DEI CONIGLI E DEI POLLI.

Laura e Marta ABBIAMO DISEGNATO 11 CIOTOLE POI ABBIAMO SCRITTO 4 ZAMPE E 2 ZAMPE E 4 ZAMPE PER OGNI CIOTOLA.

Maria Chiara e Elisa IL MIO RAGIONAMENTO E' CHE O FATTO UN DISEGNO POI O CAPITO CHE GLI ANIMALI ERANO 11!!!

Maria Chiara e Elisa

Valerio e Francesca IN TUTTO I CONIGLI SONO 6 E I POLLI 5

Selia

PRIMA ABBIAMO PRESO 11 TESTE POI DOPO ABBIAMO MESSO LE ZAMPE E ABBIAMO MESSO A TUTTE LE TESTE 2 ZAMPE. POI CI SIAMO ACCORTI CHE NON BASTAVANO PERCHE ERAVAMO ARRIVATI A 24 E DOVEVAMO AGGIUNGERE ALTRE 10 ZAMPE E ALLA FINE ABBIAMO DATI ALTRI 10 E ABBIAMO OTTENUTO 6 CONIGLI E 5 GALLINE.

Osservazione In un recinto ci sono 11 animali, fra conigli e galline. Le zampe sono 34. Quanti sono i conigli? Quante le galline? Con questi numeri la soluzione è: 6 conigli 5 galline, e si può ottenere: C G C G C G C G C G C L’efficacia di questa strategia dipende dai numeri conviene cambiarli, ad esempio: 13 animali 36 zampe

Classe 4a primaria

Lavoro individuale Andrea ha misurato gli angoli acuti di un triangolo rettangolo e ha scritto che misurano rispettivamente 35 e 65 gradi. L’insegnante, senza misurare, dice che Andrea ha di certo sbagliato. Perché l’insegnante è sicura dell’errore di Andrea? Motiva bene la tua risposta.

Scuola secondaria di 1° grado (classe 1a) Un problema di costruzione geometrica

1a fase (individuale) Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati 2 cerchi di raggi 2cm e 3cm, con distanza tra i centri di 7 cm]. Spiega chiaramente il metodo che usi in modo che altri possano usarlo. Spiega con cura perché il metodo funziona.

Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati 2 cerchi di raggi 2cm e 3cm, con distanza tra i centri di 7 cm].   

2a fase Vengono selezionate dall’insegnante tre soluzioni al problema che corrispondono a modalità di approccio diverse sia alla soluzione adottata sia alla giustificazione prodotta I tre protocolli vengono presentati alla classe con lo scopo di arrivare ad una soluzione del problema condivisa (discussione di bilancio)

3a fase Dopo la discussione si costruisce un testo collettivo per istituzionalizzare il metodo di costruzione e le sue giustificazioni teoriche

Scuola secondaria di 2° grado (classe 1a) Dall’aritmetica all’algebra

Il quesito 1. Osserva le seguenti somme: 15+51=66; 23+32=55; 31+13=44; 54+45=99; 83+38=121; 73+37=110 Vedi qualche regolarità? 2. Come si può fare per capire se la regolarità si presenta sempre?

3a primaria Ingranaggi e ruote (Matematica 2001) Sito della CIIM:  MATERIALI UMI-CIIM

1. Dagli ingranaggi alle ruote a) Manipolare oggetti concreti che contengano ingranaggi costituiti da ruote dentate (giocattoli e /o oggetti della vita quotidiana come l’apriscatole, il frullino, il cavatappi..). b) Descrivere verbalmente il funzionamento di uno di questi oggetti opportunamente scelto dall’insegnante (ingranaggi con ruote dentate complanari). Un esempio potrebbe essere il temperino “a pistoni”: Si possono trovare molti altri oggetti sia presi dalla vita quotidiana sia da giochi posseduti dai bambini. La consegna che viene data focalizza l’attenzione sul funzionamento dell’oggetto“ Descrivi il funzionamento del temperino. Che cosa succede quando tempero la matita? Come si muovono le ruote?….”

c) Costruzione, in discussione, di un testo collettivo che descriva in modo sufficientemente preciso il funzionamento dell’ingranaggio scelto. Una attenzione particolare deve essere posta agli aspetti linguistici che si presentano nelle attività proposte. In particolare questo sembra essere un contesto significativo per un approccio precoce all’uso di connettivi linguistici. Il fatto che gli oggetti che si manipolano, descrivono e disegnano siano dinamici, rende possibile la messa in gioco di elementi del discorso importanti nell’attività argomentativa: ad esempio “se una ruota gira a destra allora l’altra..... (condizionalità); una ruota gira a destra, perchè l’altra gira a ... (causalità); prima una ruota gira a..., poi l’altra gira a.... poi... e poi... (temporalità); mentre una ruota gira a... l’altra....(contemporaneità)”.

d) Disegnare il meccanismo dell’oggetto cercando un modo per dar l’idea del movimento

2. Il problema del correttore a) L'insegnante propone ai ragazzi una scheda con l’immagine del correttore a nastro e con la seguente consegna individuale: Descrivi come funziona il bianchetto. Come sono le ruote? Come girano? Puoi utilizzare schizzi e disegni.

3. Il problema delle tre ruote Viene presentata la seguente situazione: Sappiamo che due ruote ingranate girano in versi opposti . Che cosa succede se le ruote sono tre? Immagina le possibili situazioni e spiega con cura le tue ipotesi.

Le situazioni possibili sono di due tipi: 1) le tre ruote sono disposte in “fila” e allora “la prima e l’ultima girano nello stesso verso”; 2) le ruote sono disposte “a collana”; in tal caso ognuna ingrana con le altre due, e quindi “ il meccanismo non può funzionare e c’è il blocco”.

I processi tipici della matematica la ‘razionalità’ matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI DEFINIRE

“un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma” 179179179 Una definizione è essenzialmente una abbreviazione: “un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma” Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a determinate definizioni “se le rette che contengono i lati opposti di un quadrilatero non hanno punti in comune, allora i due segmenti che congiungono ciascun vertice di quel quadrilatero con il vertice opposto si incontrano in un punto che divide ciascuno di essi in due parti congruenti” Esempio: “le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel punto medio di entrambe”, provare ad enunciarlo senza usare le parole: diagonali, parallelogrammi e rette parallele”

0. Quando / cosa si definisce? 180180180 Forse si potrebbe sottolineare che il concetto di significatività può, soprattutto a livello di scuola di base, essere anche costruito all’interno dell’ambiente classe. 0. Quando / cosa si definisce? Oggetti che siano significativi dal punto di vista matematico. ALTEZZA ??? Numeri divisibili per 2  NUMERI PARI Numeri divisibili per 7  ???

Sia dal punto di vista matematico, che “sociale”: improbabile che i ragazzi sentano l’esigenza di fare questo tipo di classificazioni 181181181 La significatività, soprattutto a livello di scuola di base, è costruita all’interno dell’ambiente classe. Esempi di definizioni poco significative dal punto di vista matematico e didattico: Frazioni ‘apparenti’ Equazioni ‘spurie’ …

182182182 1. Forma linguistica Non sempre permette di riconoscere una definizione Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3. Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.

2. I termini usati devono essere noti 183183183 2. I termini usati devono essere noti Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Devo PRIMA aver definito ‘poligono’ e ‘lati’

In particolare non ci dev’essere circolarità 184184184 In particolare non ci dev’essere circolarità I numeri naturali sono i numeri interi positivi. I numeri interi sono i numeri naturali positivi e negativi.

Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d’obbligo 185185185 Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d’obbligo Azione: il risultato dell’agire Agire: ciò che risulta in una azione Esempio di Luciano Coen e Achille C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002

In matematica ci sono oggetti ‘non definiti’ esplicitamente 186186186 In matematica ci sono oggetti ‘non definiti’ esplicitamente Insieme Numero naturale Punto, Retta, Piano… Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI … Per 2 punti passa una e una sola retta

3. Deve individuare univocamente l’oggetto 187187187 3. Deve individuare univocamente l’oggetto La circonferenza è una linea curva chiusa.

Vale in un contesto che spesso rimane implicito 188188188 Vale in un contesto che spesso rimane implicito Tangente a una curva: retta che interseca la curva in un solo punto

Vale in un contesto che spesso rimane implicito 189189189 Vale in un contesto che spesso rimane implicito Un numero pari è un numero divisibile per 2 ???

Non deve dipendere da aspetti non strutturali 190190190 Non deve dipendere da aspetti non strutturali Un numero irrazionale è un numero con la radice Un numero pari è un numero che finisce per 0, 2, 4, 6, 8 10 in base tre

191191191 4. Non è una descrizione Un martello è uno strumento che serve per piantare i chiodi; ha un manico di legno e una parte di metallo, che … Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali 192192192 Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

193193193 Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Si coglie l’importanza di questo quando si ‘fa’ matematica, ad esempio quando si dimostra Dal punto di vista didattico può essere opportuno in alcuni casi non essere così ‘minimali’. Esempio: definireste i rettangoli come quadrilateri con 3 angoli retti? In ogni caso una stessa definizione si può dare in modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si dice primo se ha esattamente due divisori, oppure se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso

La ricerca didattica sulle definizioni… 194194194 La ricerca didattica sulle definizioni…

195195195 Dopo aver visto la definizione e gli esempi fatti dall’insegnante, l’allievo si costruisce una immagine mentale di tale definizione… …ed è a tale immagine mentale che ricorre quando deve risolvere problemi ecc. DEFINIZIONE IMMAGINE MENTALE

196196196 DEFINIZIONE Altezza: E’ il segmento che esce da un vertice ed è perpendicolare al lato opposto IMMAGINE MENTALE …è verticale

Come non dare definizioni… 197197197 Come non dare definizioni… L'altezza del triangolo è la distanza di un vertice dal lato opposto Retta: insieme consecutivo e infinito di punti aventi sempre la stessa direzione. Piano: insieme continuo e infinito di rette. Un’ equazione non è altro che una forma abbreviata di annotazione dei dati di un problema

198198198 Proposte di lavoro Analizzare alla luce delle osservazioni fatte, e in relazione agli argomenti che si stanno svolgendo in classe: le definizioni che si danno o che sono presenti nel libro di testo.