LOTKA-VOLTERRA Logistico MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA Logistico La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore) si accresce in modo logistico diventa:

Stati di equilibrio e diagramma delle fasi del modello Lotka-Volterra logistico isocline della preda

isocline del predatore

Corrisponde all’estinzione, cioè all’assenza simultanea delle prede e dei predatori Corrisponde all’assenza dei predatori la risorsa (preda) ha come equilibrio la capacità portante Corrisponde alla coesistenza contemporanea di prede e di predatori. P2 esiste solo se: (dal grafico) Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell’interagire con la preda (D mortalità da fame: piccola, coefficiente di predazione: grande)

I IV II III zona f1 f2 I < 0 II > 0 III IV

I IV II III La isocline della preda viene attraversata verticalmente il verso dipende dal segno di II III zona dp/dt dq/dt I < 0 II > 0 III IV La isocline del predatore viene attraversata orizzontalmente: il verso dipende dal segno di

I IV II III zona dp/dt dq/dt I < 0 II > 0 III IV

In assenza di prede (p=0), P1 è attrattivo i predatori si estinguono In assenza di predatori (q=0), P3 è attrattivo le prede crescono raggiungendo la capacità portante Se prede e predatori coesistono P1 e P3 sono instabili P2 è stabile

Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori iniziali

Prede-Predatori - Modello Logistico

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Modello preda-predatore % Lotka-Volterra Logistico % % P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/K) - alpha * P(t)*Q(t) Prede % Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t) Predatori % P(0) = p0 Q(0) = q0 % m tasso di crescita della preda % alpha coefficiente di predazione della preda % D tasso di mortalità dei predatori % Beta coefficiente di predazione del predatore %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; global m alpha D Beta K m=1; alpha=0.1; D=1; Beta=0.2; K=10; p0=6; q0=15; X0=[p0,q0]', options = odeset('OutputFcn',@odephas2); [t,X] = ode23s(@Volt,[0,10],X0,options);

figure(2) subplot(2,1,1),plot(t,X) title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra') xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni') legend('preda','predatore') subplot(2,1,2), plot(X(:,1),X(:,2),'b',D/Beta,m/alpha,'o') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema Lotka-Volterra Logistico function F=Volt(t,z) global m alpha D Beta K F=[m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)]; return

Comunità montana dell’Oltrepò Pavese Prede e predatori nella Comunità montana dell’Oltrepò Pavese La processionaria è un lepidottero che allo stato larvale si nutre delle foglie del pino causando anche ingenti defogliazioni; ma il problema forse più grave legato alla processionaria è rappresentato dai peli urticanti delle larve che possono creare problemi alle persone che frequentano i boschi di pino particolarmente infestati. Processionaria

Già a partire dagli anni 50 si è tentato di contenere la diffusione della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre anche delle larve di processionaria .

Esempio di applicazione del modello Lotka-Volterra (paradosso di Volterra) PREDATORE PREDA Processionaria P Formica rufa F Parametri delle due popolazioni: Capacità portante dell’insetto nocivo Tasso di crescita della processionaria Mortalità dell’insetto predatore (formica) Tasso di predazione delle prede Tasso di predazione dei predatori

Equazioni del modello processionaria Equazioni di Lotka-Volterra (Logistico) formica Equazioni del modello

Si vuole determinare l’equilibrio stabile Calcolo dello isocline: Isocline della preda Isocline dei predatori Isocline della preda Isocline dei predatori

La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numero F La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numero di processionarie (500 prede) contro 25 formiche -predatori P instabile instabile stabile

Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le prede quanto per i predatori. Mortalità indotta dall’insetticida

I nuovi punti di equilibrio saranno: Isocline della preda Isocline dei predatori Isocline della preda in presenza di insetticida Isocline del predatore in presenza di insetticida

L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive ! Il nuovo punto di equilibrio stabile è: L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive !

In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l’equilibrio (500, 25)

Dopo un iniziale incremento della preda, l’intervento del predatore porta ad una diminuizione della preda che si assesta all’equilibrio (500)

in presenza di insetticida Applicando l’insetticida il numero dei predatori diminuisce Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva

sull’utilità dell’insetticida Nel breve periodo l’insetticida sembra efficace e capace di eliminare rapidamente la preda infestante. Il crollo parallelo del predatore permette alla popolazione preda di riprendersi, superando la densità iniziale. Efficacia iniziale Valutazione errata sull’utilità dell’insetticida

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema % Lotka Volterrra Logistico function F=Proc(t,z) global m alpha D Beta K d1 d2 F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1); F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2); F=F'; return