Le Pierangiolate n.7 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta Il TUTTO e le sue PARTI

Il TUTTO e le sue PARTI Giochi di Archimede ---- 27 novembre 2013 PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. METODO 1 Area cercata = Area del quadrato - Aree dei trapezi 4 ? Area di un trapezio = ½ (base maggiore + base minore ) x altezza = 3 / 4 1 ½ 1 Area cercata = 4 – 4 x (3 / 4) = 1 mq

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. METODO 2 Decomponiamo la figura in quattro parti In ciascun quadratino la figura occupa ¼ dell’area totale Area cercata = ¼ (area del quadrato) = 1 mq

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. Il METODO 2 è migliore del METODO 1 Non richiede alcuna conoscenza di calcolo delle aree Area cercata = ¼ (area del quadrato) Può essere facilmente generalizzato

.... Il METODO 2 può essere facilmente generalizzato La figura assegnata somiglia molto ad una girandola PROBLEMA: calcolare l’area di una girandola .... PROBLEMA : area del cerchio non coperta dal triangolo

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. che figura è? Santa Brigida di Kildare Croce di S. Brigida

Decomponiamo la figura in quattro parti METODO 2 Decomponiamo la figura in quattro parti PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area EUCLIDE – Elementi, libro I EQUI-DECOMPONIBILI «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ EUCLIDE – Elementi, libro I «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano congruenti = sono congruenti?

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ EUCLIDE – Elementi, libro I «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano congruenti = alle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano stessa area uguali brutto termine perché ambiguo

L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze alle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano stessa area L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze GEOMETRIA studio delle proprietà delle figure che sono invarianti, rispetto ad un prefissato insieme di trasformazioni, ad esempio rispetto alle congruenze. Felix KLEIN Programma di Erlangen (1872)

Geometria descrittiva se invece dei movimenti rigidi si considerano le similitudini, l’area non è più un’invariante ma la misura degli angoli sì. congruenze Geometria metrica similitudini Geometria descrittiva Geometria affine affinità Geometria proiettiva proiettività Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche

altre invarianti per congruenze volume dei solidi Principio di equi-decomponibilità per volumi Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno lo stesso volume ESEMPIO: volume di una piramide B x h V = 3

versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647 equi-decomponibiltà

versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647 } dx equi-decomponibiltà

Matematica infinitesimale dx dx + dx + dx + dx + ..... < 1 (dx)2 = 0   ARCHIMEDE di SIRACUSA Area del segmento parabolico Area ABC = 8 x Area ADB   + .... =   serie numerica

Area del segmento parabolico   serie numerica = ?   equi-decomponibiltà       ARCHIMEDE di SIRACUSA Area del segmento parabolico Area ABC = 8 x Area ADB + equi-decomponibilità Area segmento =    

ARCHIMEDE di SIRACUSA   versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà ? le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi Galileo Newton Leibniz

[ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... [ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... ] [ ] [ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... [ ] [ ] 1 [ ] [ ] (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + .... (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + .... -1 x1 = y1 x2 = y2 .... quindi AB e CD sono equi-decomponibili? ma NON hanno la stessa lunghezza

EQUI-DECOMPONIBILITA’ Ma anche la NORMALE equi-decomponibilità PUO’ portare a CONCLUSIONI ERRATE CRITICA alla EQUI-DECOMPONIBILITA’ PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area NON PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti sono uguali EUCLIDE – Elementi, libro I «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» L nella prima casella

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti PRINCIPIO SBAGLIATO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti sono UGUALI. MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti Aristotele Marx vediamo alcuni esempi in cui proprietà geometriche non dipendono SOLO dalle parti che compongono un oggetto MA ANCHE dal modo in cui le parti sono collegate insieme L nella prima casella

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti) somma = unione? NO PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri. Quanti bambini formano (come minimo) la classe? RISPOSTA: 15 non 27! occhi azzurri biondi occhi azzurri occhi azzurri occhi azzurri biondi biondi biondi RISPOSTA: 15

NON si possono sovrapporre i pezzi TANGRAM NON si possono sovrapporre i pezzi queste figure non sono uguali anche se hanno la stessa area

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti NO somma = unione? PROBLEMA: in un anno normale (= senza squalifiche) una contrada che non corre d’obbligo né a Luglio né a Agosto, quante PROBABILITA’ ha di correre ALMENO UN Palio? probabilità di uscire a Luglio probabilità di uscire ad Agosto       + = 60%       probabilità di uscire sia a Luglio che ad Agosto   + - formula di Grassmann # (A u B) = # (A) + # (B) - # (A n B) 51%

anche senza sovrapposizioni, le cose non filano lisce nastro di Moebius il nastro di Moebius e il cilindro sono equi-decomponibili ma ben diversi!

ACGGTCACTAC

anche se il volume è lo stesso MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti L’equi-decomponibilità però funziona per le aree e i volumi le operazioni sui numeri sono COMMUTATIVE invarianti numeriche Le operazioni su parti di un tutto NON sono commutative metto una piramide metto un cubo non è uguale a metto un cubo metto una piramide anche se il volume è lo stesso

Molte delle principali operazioni su numeri sono commutative ma ci sono anche operazioni non su numeri che spesso non sono commutative l’operazione più potente del mondo quella che tutti facciamo dalla mattina alla sera fare una cosa dietro l’altra composizione non è commutativa! prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada non e la stessa cosa che prima attraversare la strada e poi guardare se viene nessuno

Il mondo è pieno di operazioni non commutative mettere prima una piramide e poi un cubo non è uguale a mettere prima un cubo e poi una piramide Il mondo è pieno di operazioni non commutative fare prima una rotazione e poi una simmetria non è la stessa cosa che fare prima una simmetria e poi una rotazione. specchio specchio

Geometria Differenziale Studia oggetti geometrici che localmente (cioè nelle vicinanze di ogni punto) sono banali e tutti uguali, ma le cui proprietà globali differiscono.

concludendo: ma: (aree, volumi, ecc.) e ne conosce anche i limiti anche per la Matematica il tutto NON è uguale alla somma delle sue parti alcune invarianti del tutto sono uguali alla somma delle invarianti delle sue parti ma: (aree, volumi, ecc.) e quest’ultimo fatto non è mai scontato S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S e ne conosce anche i limiti ha in pugno i metodi « o studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamento »

Grazie per l’attenzione