I Numeri primi Eratostene e la crittografia

Numeri Primi In matematica, un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri sono divisibili per 2. La successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ...

Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: alla base di questa concetto vi è la possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è stata oggetto di molte ricerche.

Sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia.

Esistono inoltre i numeri primi gemelli , numeri primi che differiscono tra loro di due unità . Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.

Eratostene Eratostene di Cyrene (in greco: Έρατοσθένης, Eratosthenes; Cirene, 276 a.C. – Alessandria d'Egitto, 194 a.C.) è stato un matematico, astronomo, geografo e poeta greco antico. Fu uno degli intellettuali più versatili della sua epoca. Terzo bibliotecario della Biblioteca di Alessandria e precettore di Tolemeo IV Filopatore, è oggi ricordato soprattutto per aver misurato per primo con grande precisione le dimensioni della Terra. Tra i risultati matematici di Eratostene, quello più noto è il crivello di Eratostene, un metodo per individuare i numeri primi.

Crivello di Eratostene Il crivello di Eratostene è un antico procedimento per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino ad un certo numero n prefissato. Deve il nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È a tutt'oggi utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer; pur non essendo un algoritmo straordinariamente efficiente, infatti, è in compenso piuttosto semplice da tradurre in un qualsiasi linguaggio di programmazione. Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i naturali a partire da 2 fino n in un elenco detto setaccio (in programmazione spesso l'elenco è implementato da un array). Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prosegue così fino ad arrivare in fondo. I numeri che restano sono i numeri primi minori od uguali a n.

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i numeri non multipli di 2, il secondo solo i non multipli di 3, e così via. Nel caso n = 50, ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero 7 perché 7 è il massimo primo il cui quadrato non supera 50 e si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino ad un certo numero n cessa sempre quando si supera la radice quadrata di n. Infatti ogni numero a del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori ad un dato n, cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Crittografia La parola crittografia deriva dall'unione di due parole greche: κρυπτὁς (kryptós) che significa "nascosto", e γραφία (graphía) che significa "scrittura". La crittografia tratta delle "scritture nascoste", ovvero dei metodi per rendere un messaggio "offuscato" in modo da non essere comprensibile a persone non autorizzate a leggerlo. Un tale messaggio si chiama comunemente crittogramma. Lo studio della crittografia e della crittanalisi si chiama comunemente crittologia.

Crittografia asimmetrica La vera novità del secolo scorso è l'invenzione di una tecnica crittografica che utilizza chiavi diverse per cifrare e per decifrare un messaggio, facilitando incredibilmente il compito di distribuzione delle chiavi. Infatti in questo caso non è necessario nascondere le chiavi o le password: c'è una chiave per crittografare, che chiunque può vedere, e una per decifrare, che conosce solo il destinatario senza necessità quindi di riceverla (scambiarla) dal mittente. In altre parole, se A vuole ricevere un messaggio segreto da B, manda a B una scatola vuota con un lucchetto aperto senza chiavi. B mette dentro il messaggio, chiude il lucchetto, e rimanda il tutto ad A, che è l'unico ad avere le chiavi. Chiunque può vedere passare la scatola, ma non gli serve a niente. A non deve correre rischi con le sue chiavi. Nel 1976 sono stati due esperti, Whitfield Diffle e Martin E.Hellman, della Stanford University, a introdurre l'utilizzo della chiave pubblica per la crittazione e l'autenticazione; nell'anno seguente il gruppo di ricerca del MIT formato da Ronald L. Rivest, Adi Shamir e Loenard M. Adleman realizza il primo sistema a chiave pubblica, in questo modo viene ideato l'algoritmo RSA. Il funzionamento di questo sistema è basato sul fatto che è matematicamente molto facile moltiplicare due numeri primi (che singolarmente rappresentano la chiave privata, quella che solo A conosce per decifrare), ma è invece molto difficile il problema inverso ovvero risalire ai fattori primi del numero ottenuto dal precedente prodotto (che invece rappresenta la chiave pubblica che chiunque può vedere e che si usa per crittografare). Siccome la crittografia asimmetrica è molto lenta se si devono spedire grandi quantità di dati, spesso si usa questo tipo di crittografia per scambiarsi una chiave con cui iniziare una comunicazione in crittografia simmetrica, molto più semplice, veloce e sicura.