Proprietà topologiche Presentazione di Bruno Jannamorelli

Konigsberg …

Il problema dei 7 ponti di Konigsberg Partendo da una delle quattro zone della città, esiste un percorso che permetta di ritornarvi attraversando i sette ponti una e una sola volta?

Non esiste un percorso euleriano! Soluzione di EULERO: Per ogni arco che arriva su un vertice, deve esserci un altro arco che permette di uscire da quel vertice. Non esiste un percorso euleriano!

Konigsberg diventa Kaliningrad … i ponti diventano nove! Esiste un percorso euleriano?

Ecco un grafo che risolve il problema: Non esiste un percorso euleriano, ma si può partire da C e fermarsi in D (o viceversa) attraversando una e una sola volta i 9 ponti.

Conclusione: Se un grafo connesso non ha vertici dispari, allora può essere attraversato da un percorso ciclico (euleriano), partendo da un vertice qualunque e ritornando nello stesso vertice. Se un grafo connesso ha solo due vertici dispari A e B, esiste un percorso che lo attraversa partendo da A e fermandosi in B, o viceversa. Se un grafo connesso ha più di due vertici dispari, non può essere attraversato da un solo percorso.

È possibile entrare in questa casa attraversando le porte una e una sola volta?

Ecco un grafo che risolve il problema: Ci sono quattro vertici di ordine dispari … Il percorso non esiste!

Avvio alla geometria premetrica attività topologiche attività che non richiedono l’uso di vere e proprie metriche

Obiettivi: capacità di situare se stessi, gli altri e gli oggetti in determinati spazi. capacità di effettuare percorsi capacità di leggere/produrre disegni schematici per rappresentare situazioni topologiche passaggio dalla tridimensionalità alla bidimensionalità e viceversa.

“La topologia è la geometria … del foglio di gomma” B X C B’ X’ C’

Proprietà topologiche: Sono quelle proprietà che restano invariate rispetto alle trasformazioni bicontinue e biunivoche (omeomorfismi).

Omeomorfismo: Corrispondenza tra i punti di una figura F e i punti di una figura F’ tale che: La corrispondenza sia biunivoca: ad ogni punto di F corrisponde uno e un sol punto di F’, e viceversa. La corrispondenza sia continua nei due versi: a punti “vicini” di F corrispondono punti “vicini” di F’, e viceversa.

Esempi di omeomorfismi: deformazioni del foglio di gomma senza sovrapposizioni o lacerazioni (con le sovrapposizioni viene a mancare la biunivocità, con le lacerazioni salta la continuità) Tagli-deformazioni-saldature.