UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA” DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E SISTEMISTICA NONLINEARITÀ ALESSANDRO DE CARLI ANNO ACCADEMICO aggiornata al 29 ottobre, 2000

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 2 RUMORE STRUMENTAZIONE MODALITÀ DI CONTROLLO  (t) m(t) DISTURBO SISTEMA DA CONTROLLARE u(t)y(t) d(t) ATTUATORE REGOLATORE P I D TRASDUTTORE r(t) y*(t) AZIONE DINAMICA DI CONTROLLO AMPLIFICATORE DI POTENZA NONLINEARE SORGENTE PRIMARIA DI ALIMENTAZIONE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 3 NON LINEARITÀ TIPICHE DI UN ATTUATORE SATURAZIONE E SATURAZIONE SOGLIA ISTERESI

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 4 SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE MODALITÀ DI CONTROLLO y*(t)y(t) u(t)u*(t)e(t) d(t) ATTUATORE DIMENSIONATO AL 120% REGOLATORE DI TIPO INTEGRALE G(s) = KIKI s KIKI s 1 DISPOSITIVO DI MISURA CONTROREAZIONE ISTANTANEA PROPORZIONALE H(s) = 1 P(s) = 1 (1 +  s) tempo (sec) K I = tempo (sec) K I = tempo (sec) K I =.21 EFFETTO DELLA SATURAZIONE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 5 SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE MODALITÀ DI CONTROLLO y*(t)y(t) u(t)u*(t)e(t) d(t) DISPOSITIVO DI MISURA CONTROREAZIONE ISTANTANEA PROPORZIONALE H(s) = 1 P(s) = 1 s(1 +  s) 3 ATTUATORE LINEARE G(s) = K P REGOLATORE DI TIPO PROPORZIONALE KPKP K P = tempo (sec) K P = tempo (sec) K P =.70 K P = tempo (sec) ATTUATORE ZONA MORTA 15 % EFFETTO DELLA SOGLIA

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 6 VERIFICA DELLA STABILITÀ DI SISTEMI A CONTROREAZIONE CON NONLINEARITÀ ISTANTANEA IPOTESI1 NON LINEARITÀ ISTANTANEA 3 COMPORTAMENTO DINAMICO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO DI TIPO LINEARE INTRINSECAMENTE STABILE 4 PARAMETRI DEL MODELLO DINAMICO CONCENTRATI E COSTANTI 2 FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO DI LAVORO 5 MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO DINAMICO, LINEARE, A PARAMETRI COSTANTI 6 CONTROREAZIONE ISTANTANEA DI TIPO PROPORZIONALE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 7 IPOTESI 8 PERTURBAZIONI COSTITUITE DA DISTURBI DI TIPO IMPULSIVO 7 SISTEMA CONTROLLATO FUNZIONANTE IN REGIME PERMANENTE IN ASSENZA DI DISTURBI 9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ PARZIALMENTE NOTA, MA SEMPRE DI VALORE FINITO E CONTENUTA SOLO NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRATE. ASSUME VALORE NULLO SOLO E UNICAMENTE NELL’ORIGINE METODOVERIFICA CHE IL SISTEMA CONTROLLATO, UNA VOLTA PERTURBATO, RITORNI NELLE STESSE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CHE SI AVEVANO PRIMA DELLA PERTURBAZIONE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 8 STRUTTURA DI RIFERIMENTO IPOTESI 7 VARIABILE DI RIFERIMENTO MANTENUTA AL VALORE NULLO, OSSIA y*(t) = 0 IPOTESI 2 DINAMICA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE DESCRITTA DA P(s) IPOTESI 5 DINAMICA DELLA MODALITÀ DI CONTROLLO DESCRITTA DA G(s) IPOTESI 8 DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO, OSSIA d(t) =  (t) MODALITÀ DI CONTROLLO NON LINEARITÀ ISTANTANEA SISTEMA DA CONTROLLARE y*(t)y(t) d(t) u(t) f( u(t) ) y*(t) f( u(t) )  (t) G(s) P(s)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 9 IPOTESI 9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ CONTENUTA NEL SETTORE ILLUSTRATO IN FIGURA u f (u) u = 0 f(0) = 0 f(u(t)) u(t) dt <   0  f (u) u 0 < < 

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO SISTEMA DA CONTROLLARE u(t) y(t) d(t) u(t)y(t) d(t) 1  10 1  10 1   ( ) 3 x(t) = x(t) +u(t) y(t) = [ ] x(t) u(t)y(t) x 0 (t*) = [  (t*) 0 0 ] ’ t*  (t) IPOTESI 8 PERTURBAZIONE DI TIPO IMPULSIVO 10

MODELLO DINAMICO LINEARE NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 11 x(t) = A x(t) - b f(u(t)) u(t) = c’ x(t) y*(t) = 0 u(t) f (u(t)) d(t) x0x0 SCHEMA A BLOCCHI EQUIVALENTE u f (u) MODELLO NONLINEARITÀ ISTANTANEA

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 12 CRITERIO DI LIAPUNOV PER LA VERIFICA DELLA STABILITÀ FORMULAZIONE GENERALE V(t) = x(t) T P x(t) SI DEFINISCE P MATRICE SIMMETRICA DEFINITA POSITIVA SI RICAVA V (t)= x(t) T P x(t) + x(t) P x(t) TENUTO CONTO x(t) = A x(t) x(0) = x 0 = x(t) T (A T P + P A ) x(t) = x(t) T Q x(t) Q > 0 DEFINITA POSITIVA INSTABILITÀ Q = 0 SEMIDEFINITA POSITIVA STABILITÀ Q < 0 DEFINITA NEGATIVA STABILITÀ ASINTOTICA V(t) = [x(t) T A T P x(t) + x(t) T P A] x(t) =

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 13 FORMULAZIONE ESTESA ALLA NONLINEARITÀ ISTANTANEA IN CONTROREAZIONE V(t) = x(t) T P x(t) SI DEFINISCE SI RICAVA V (t)= x(t) T P x(t) + x(t) P x(t) TENUTO CONTO x(t) = A x(t) - b f(e(t)) x(0) = x 0 f(e(t)) e(t) dt t 0  f(e(t)) e(t) x(t) T P [A x(t) - b f(e(t))] x(t) + 2 f(e(t)) c T x(t) = x(t) T (A T P + P A ) x(t) + 2 f(e(t)) [b T P - c T ] x(t) V(t) = [ x(t) T A T - b T f(e(t)) ] P x(t) + [b T P - c T ] NON LINEARITÀ

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 14 PER LA CLASSE DI SISTEMI DINAMICI IN CUI È POSSIBILE INDIVIDUARE UNA MATRICE DEFINITA POSITIVA P TALE DA SODDISFARE LA SEGUENTE RELAZIONE [b T P - c T ] = 0P b = c OSSIA IL SISTEMA A CICLO CHIUSO MANTIENE IL FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE È STABILE ESEMPIO x(t) = x(t) u(t) 1x(t)y(t) =1.5 MODELLO DINAMICO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE P = 1    LA MATRICE P SIA DEFINITA IN FORMA PARAMETRICA È DEFINITA POSITIVA SE  -  2 > 0 s s + 2 s G(s) = = (s + 1)(s + 2) s NON LINEARITÀ

= Pbc INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 15 - SE I VALORI DI  e  CHE VERIFICANO LA CONDIZIONE P b = c SONO TALI DA RENDERE LA MATRICE P DEFINITA POSITIVA    RISOLVENDO SI OTTIENE  = 1,  = 1.5 PER CUI =P IL SISTEMA A CICLO CHIUSO È STABILE - LA MATRICE Q = P A + A T P È DEFINITA NEGATIVA P A + A T P = = = q 11 = -4 < 0 q 11 q 22 - q 12 q 21 = (-5 -5) = -3 < 0 Q DEFINITA NEGATIVA LA CONDIZIONE DI STABILITÀ È VERIFICATA NON LINEARITÀ

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 16 A T P + P A + j  P- j  P = - [(-j  I - A T ) P + P (j  I - A T ) ] = - Q = Q’ (j  I - A T ) = [(-j  I - A T ) P(j  I - A T ) -1 + P (j  I - A T )(j  I - A T ) -1 = Q’ (j  I - A T ) -1 [ (-j  I - A T ) P(j  I - A T ) -1 + P ] = Q’ (j  I - A T ) -1 (-j  I - A T ) -1 [ (-j  I - A T ) P(j  I - A T ) -1 + (-j  I - A T ) -1 P ] = Q’ (-j  I - A T ) -1 (-j  I - A T )

FORMA QUADRATICA DEFINITA POSITIVA PER ( j  I - A T ) NON SINGOLARE NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 17 P (j  I - A T ) -1 + (-j  I - A T ) -1 P = Q’ (-j  I - A T ) -1 P (j  I - A T ) -1 + P (-j  I - A T ) -1 > 0 P (j  I - A T ) -1 +P (-j  I - A T ) -1 > 0bTbT bTbT b bTbT COMPLESSE CONIUGATE 2 Re [b T P (j  I - A) -1 b ] > 0

= c T (j  I - A) -1 b bTPbTP NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 18 G(j  ) = c T (j  I - A) -1 b c T = b T P cTcT 2 Re [b T P (j  I - A) -1 b ] > 0 Re [ G(j  )] > 0 CONDUZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÈ IL SISTEMA A CICLO CHIUSO, COSTITUITO DA UN SISTEMA DINAMICO STABILE LINEARIZZATO INTORNO AD UN PUNTO DI LAVORO, E DA UNA NON LINEARITÀ ISTANTANEA, LA CUI CARATTERISTICA STATICA SIA COMPRESA NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRANTE E SIA NULLA SOLO NELL’ORIGINE, RITORNI NELLA CONDIZIONE DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DOPO UNA PERTURBAZIONE DOVUTA AD UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 19 f (0) = 0 f (e) e << 0 < e f (e) Re [ G(j  ) ] > 0 y*(t) = 0e(t) f [e(t)] y(t)  (t) PER IL SISTEMA ILLUSTRATO IN FIGURA È VERIFICATA LA CONDIZIONE DI STABILITÀ ASSOLUTA

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 20  (  ) k  * =  -  (  ) k e f(e) k e   (  )   (  ) **   (  ) * f (e) e k e

e(t) f [e(t)] e(t) f [e(t)] NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 21  t) 1 k

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 22 y*  t)=0 f[e  t)] y(t) G(j  )  (t) e  t) e(t) f [e(t)]  t) 1 k G(j  ) y*  t)=0 y  t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 23 e(t) f [e(t)]  t) 1 k G(j  ) y*  t)=0 y  t) f [e(t)] G(j  ) y  t) 1 k e(t) y*  t)=0

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 24 f [e(t)] G(j  ) y  t) 1 k e(t) y*  t)=0 y  t) G(j  ) + 1 k f [e(t)]e(t) y*  t)=0 Re [ G(j   ) + k ] > 0 1 k G( j  ) k 1

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 25 SISTEMA DA CONTROLLARE INCERTEZZE DOVUTE ALLE VARIAZIONI DEI PARAMETRI FISICI G( j  ) NONLINEARITÀ CARATTERISTICA STATICA COSTANTE SISTEMA DA CONTROLLARE A PARAMETRI COSTANTI G( j  ) NONLINEARITÀ CARATTERISTICA STATICA VARIABILE IN UN SETTORE BEN DEFINITO   k2 k2  k1 k1 

e(t) f[e(t)] NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 26   k2 k2  k1 k1  e(t) f[e(t)]   (k 2 - k 1 )  k1k1

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 27 e(t) f[e(t)]   k1k1 k 2 - k 1 1

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 28 e(t) y*(t)=0 f[e(t)] G(j  ) y(t)  (t)   k1k1 k 2 - k 1 1

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 29 y*(t)=0 G(j  ) y(t)  (t)   k1k1 k 2 - k 1 1 f[e(t)]e(t) y*(t)=0 G(j  ) y(t)  (t)   k1k1 k 2 - k 1 1 e(t) y*(t)=0 y(t)  (t)   k 2 - k 1 1 e(t) G(j  ) 1+k 1 G(j  ) y*(t)=0 y(t)  (t)   e(t) G(j  ) 1+k 1 G(j  ) 1 k 2 -k 1 +

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 30 y*(t)=0 y(t)  (t)   e(t) G(j  ) 1+k 1 G(j  ) 1 k 2 -k 1 + G(j  ) 1+k 1 G(j  ) 1 k 2 -k 1 + Re> 0

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 31 G(j  ) 1+k 1 G(j  ) 1 k 2 -k 1 + Re> 0 1 k 2 -k 1 1+k 2 G(j  )-k 1 G(j  )+k 1 G(j  ) 1+k 1 G(j  ) Re > 0 1+k 2 G(j  ) 1+k 1 G(j  ) Re > 0

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 32 1+k 2 G(j  ) 1+k 1 G(j  ) Re > 0 Re> 0 +G(j   ) 1 k1k1 1 k2k2 Re[G(j  )]+ 1 k1k1 1 k2k2 Im[G(j  )] + > 0 2

X YX NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 33 Re[G(j  )]+ 1 k1k1 1 k2k2 + > 0 Im[G(j  )] 2 Re[G(j  )] 2 Im[G(j  )] 2 Re[G(j  )] k1k1 1 k2k k 1 k 2 > k1k1 1 k2k2 1 k 1 k 2 > 0 X 2 + Y 2 + X +X + EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 34 Re[G(j  )] Im[G(j  )] G(j  ) - 1 k2k2 - 1 k1k1 + 1 k1k1 1 k2k2 1 k 1 k 2 > 0 X 2 + Y 2 + X +X +

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 35 d(t) MODALITÀ DI CONTROLLO SISTEMA DA CONTROLLARE y*(t)y(t) u(t) f( u(t) ) ATTUATORE VALVOLA DI REGOLAZIONE REGOLATORE P D y*(t)=0  (t) P(s) K P + K D sk(1 + q s) G(s) = 1 + q s G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P(s) 1 + q sG(s) kk  Re [ G(j  ) P(j  ) + ] > 0 1 k Re [ (1 + j  q ) P(j  ) + ] > 0 1 k NON LINEARITÀ Re[P(j  ) ] - q  Im[P(j  )] + > 0 1 k

YX NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 36 Re[P(j  ) ] - q  Im[P(j  )] + > 0 1 k EQUAZIONE DI UNA RETTA Re[P(j  )]  Im[P(j  )] 1 k - 1 q k P*(j  ) = Re[P(j  )] + j  Im[P(j  )]

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 37 d(t) MODALITÀ DI CONTROLLO SISTEMA DA CONTROLLARE y*(t)y(t) u(t) f( u(t) ) ATTUATORE VALVOLA DI REGOLAZIONE y*(t)=0  (t) P(s) G(s) = 1 + q s G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P*(s) Re [ G(j  ) P*(j  ) + ] > 0 1 k Re [ (1 + j  q ) P*(j  ) + ] > 0 1 k NON LINEARITÀ Re[P*(j  ) ] - q  Im[P*(j  )] + > 0 1 k G(s) REGOLATORE P I D K P +K D s + KIKI s K s (1+  1 s)(1+  2 s) K(1+  1 s) P(s) (1+  2 s) s k(1 + q s) P(s) s P*(s) 1 + q s kk 

YX NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 38 Re[P*(j  ) ] - q  Im[P*(j  )] + > 0 1 k EQUAZIONE DI UNA RETTA Re[P(j  )]  Im[P(j  )] Re[P*(j  )] + j  Im[P*(j  )] 1 k - 1 q k

1 k P(j  Re Im NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 39 Re[P(j  )] -  Im[P(j  )] + > 0 1 k* Re[P(j  ) + ] > 0 1 k 1 k* P*(j  Re Im

d (t)   (t) NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 40 G(s) NON LINEARITÀ y*(t) = 0 y(t) e(t) f (e(t)) tempo

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 41 EFFETTI DELLA NONLINAERITÀ SULL’ANDAMENTO DELLE VARIABILI DI INGRESSO E DI USCITA VARIABILE DI INGRESSO VARIABILE DI USCITA SINUSOIDALEDISTORTA NONLINEARITÀ ARMONICA FONDAMENTALE DISTORSIONE UTILIZZABILE AI FINI DEL CONTROLLO QUASI TOTALMENTE ATTENUATA DAL SISTEMA DA CONTROLLARE DALLA STRATEGIA DI CONTROLLO AL SISTEMA DA CONTROLLARE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 42 VARIABILE DI INGRESSO SINUSOIDALE NONLINEARITÀ VARIABILE DI USCITA ARMONICA FONDAMENTALE ARMONICHE SUPERIORI EFFETTO QUASI TRASCURABILE SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE CONTROLLATA DINAMICA L’AMPIEZZA DIPENDE SIA DALL’AMPIEZZA SIA DALLA PULSAZIONE DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO. ISTANTANEA L’AMPIEZZA DIPENDE SOLO DALL’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO. IN UN SISTEMA A CONTROREAZIONE, LA NONLINAERITÀ PUÒ ESSERE VISTA COME UN ELEMENTO CARATTERIZZATO DA UN GUADAGNO VARIABILE SIA CON L’AMPIEZZA SIA CON LA PULSAZIONE DEL SEGNALE DI INGRESSO

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 43 VARIABILE DI INGRESSO SINUSOIDALE ARMONICA FONDAMENTALE ARMONICHE SUPERIORI EFFETTO QUASI TRASCURABILE SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE CONTROLLATA NONLINEARITÀ ISTANTANEA SIMMETRICA AD UN VALORE NONLINEARITÀ ISTANTANEA SIMMETRICA A DUE VALORI LO SFASAMENTO FRA L’ARMONICA FONDAMENTALE E LA SINUSOIDE DI INGRESSO DIPENDE DALL’AMPIEZZA DI QUEST’ULTIMA SFASAMENTO NULLO FRA SINUSOIDE DI INGRESSO E ARMONICA FONDAMENTALE VARIABILE DI USCITA

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 44 FUNZIONAMENTO IN OSCILLAZIONE PERMANENTE IN OSCILLAZIONE PERMANENTE LA NONLINEARITÀ È ASSIMILABILE AD UN GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE DELLA: - PULSAZIONE  * DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE; - AMPIEZZA E* DELLA ARMONICA FONDAMENTALE. d (t)   (t) y*(t) = 0 y(t) e(t) f (e(t)) NON LINEARITÀ P(j  ) ARMONICA FONDAMENTALE E RESIDUO ARMONICO OSCILLAZIONE PERMANENTE ASSIMILABILE AD UNA SINUSOIDE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 45 FUNZIONE DESCRITTIVA IL GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE, CALCOLATO COME RAPPORTO FRA L’AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA DALLA NONLINEARITÀ E L’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO ALLA NONLINEARITÀ, È DETTA FUNZIONE DESCRIVA E INDICATA CON D(E*,  * ) y(t) e(t) f (e(t)) D(E*,  *) FUNZIONE DESCRITTIVA P(j  ) y*(t) = 0   (t) D(E*,  *) = AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 46 ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE e f(e) e D(e) e f(e) e D(e) 1 e f(e) 1 e D(e) 1 1

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 47 ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE e f(e).2 e D(e) e f(e) e D(e) Re[D(e)] Im[D(e)]

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 48 d (t)   (t) G(s) y*(t) = 0 y(t) e(t) f (e(t)) k P(j  ) W(j   ) = kP(j   ) 1 + kP(j   ) CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE PER UN SISTEMA LINEARE ASSEGNATA LA P(j  ), INDIVIDUARE I VALORI DEL GUADAGNO k E DELLA PULSAZIONE  RELATIVE ALLA OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ

GLI ALTRI POLI CON PARTE REALE NEGATIVA NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 49 W(j  ) = kP(j   ) 1 + kP(j  ) = k N(P(j   )) D(P(j   )) + k N(P(j   )) = k N(P(j   )) (j    ) ( (j   ) 2 +   2 ) = k N(P(j   )) (j    ) ( -   2 +   2 ) 0 W(j  ) =  CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ  j j  j j  -j  COPPIA DI POLI COMPLESSI CON PARTE REALE NULLA CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A W(j  )

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 50 CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A G(j  ) Re[P(j  )] Im[P(j  )] - 1 k P(j  ) Re[P(j  )] = - 1 k Im[P(j  )] = 0 modulo |P(j  )| = 1 k fase [P(j  )] = -  y( t +T ) = y( t ) CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A y(t) tt+T t+2T y ( t + ) = - y( t ) T 2 tt+T/2 t+T

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 51 CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE PERMANENTE OVVERO DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE SI DEFINISCE CICLO LIMITE UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI PULSAZIONE COSTANTE E DI FORMA CHE SI RIPETE CICLICAMENTE IN CORRISPONDENZA DEL FUNZIONAMENTO IN CICLO LIMITE SI HA: W(j  *) = D(E*,  *) P(j  *) 1 + D(E*,  *) P(j  *) = =  OSSIA 1 + D(E*,  *) P(j  *) = 0 CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE PER SPECIFICI VALORI DI E* E DI  * SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE HA CARATTERISTICHE FILTRANTI TALI DA RENDERE TRASCURABILE IL RESIDUO ARMONICO

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 52 SE LA NONLINEARITÀ È ISTANTANEA LA FUNZIONE DESCRITTIVA DIPENDE SOLO DALLA AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO. LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE RISULTA PERTANTO: 1 + D(E*) P(j  *) = 0 VERIFICA DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE VERIFICA SE ESISTONO ESISTONO VALORI DI E* E DI  * PER CUI È VERIFICATA LA SEGUENTE RELAZIONE P(j  *) = - 1 D(E*)

LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE È VERIFICATA ! NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 53 I VALORI DI E* E DI  * SONO INDIVIDUATI TRACCIANDO SEPARATAMENTE IL LUOGO DI P(j  ) PER   COMPRESO FRA 0 E  E IL LUOGO DI -1/D(e) PER e COMPRESO FRA 0 E   =   = 0 P(j  )   e e 0e 0 D(e) 1 SOLO SE I LUOGHI SI INTERSECANO LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE È VERIFICATA  = =  = 0 P(j  ) e = 0   e

LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE NON È VERIFICATA NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 54 SE IL SISTEMA A CONTROREAZIONE FOSSE STATO LINEARE SAREBBE STATO STABILE tempo uscita forzamento LA NON LINEARITÀ DEGRADA LE PRESTAZIONI MA NON ALTERA LA STABILITÀ   e  0 LUOGO RELATIVO ALLA FUNZIONE DESCRITTIVA DI UNA NONLINEARITÀ DI TIPO A SATURAZIONE 1 D(e)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 55 CICLO LIMITE STABILE 0  e   e  e   CICLO LIMITE INSTABILE D(e) 1 e FUNZIONE DESCRITTIVA D E(e) d e < 0 PUNTI DI LAVORO STABILI  * E* y*(t) = 0 y(t) e(t) f (e(t))   (t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 56 D(e) 1 e FUNZIONE DESCRITTIVA  = 0  =  e = 0   e  e  * =  E* = 0 RISULTATO NON VALIDO !! IL CICLO LIMITE HA PULSAZIONE E AMPIEZZA FINITI !! CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE y*(t) = 0 y(t) e(t) f (e(t))   (t)  = 0  =  RISULTATO VALIDO

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 57 CALCOLO DIRETTO DELL’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE VIENE APPLICATO QUANDO È ASSEGNATO : - UN MODELLO AFFIDABILE DEL SISTEMA DA CONTROLLARE; - LA CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ IN UNA FORMA ANALITICA DI TIPO POLINOMIALE VIENE FISSATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ x(t) = A x(t) + b u(t) y(t) = c T x(t) u(t) = f(y(t)) DAL MOMENTO CHE LA NON LINEARITÀ È INSERITA IN SISTEMA A CONTROREAZIONE, IL MODELLO RISULTA: x(t) = A x(t) - b f [c T x(t)] y(T) = y(0)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 58 PROCEDURA: - IN CORRISPONDENZA DI UN VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T VIENE RICAVATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA. PER TRACCIARE L’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE OCCORRE DETERMINARE IL PERIODO T E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x(0) = x 0 y(T) = c T x(T) = c T  (T) x 0 + c T  (T) - VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0 IN FUNZIONE DEL VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T x 0 (T) = - [ I +  (T) ] -1 +  (T) - VIENE INSERITA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ x 0 (T) =  (T) x 0 +  (T) - VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA y(T) RELATIVA ALLE CONDIZIONI INIZIALI x 0 (T) PRECEDENTEMENTE RICAVATE

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 59 - VIENE VERIFICATO SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È EFFETTIVAMENTE VERIFICATA - SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ NON È VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T E LA PROCEDURA RIPARTE DALL’INIZIO - SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È VERIFICATA VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA y(t) ALL’INTERNO DEL PERIODO. - SE LA NONLINEARITÀ È SIMMETRICA VIENE FISSATO IL SEMIPERIODO T/2 E VIENE ADEGUATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ ESEMPIO DI APPLICAZIONE x(t) =x(t) + u(t) È ASSEGNATO IL MODELLO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE y(t) = [ ] x(t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 60 È LA NONLINEARITÀ È COSTITUITA DA UN RELÈ. IL MODELLO ANALITICO RISULTA u(t) = - sign [ y(t) ] DAL MOMENTO CHE TALE NONLINEARITÀ È DEL TIPO ISTANTANEO E SIMMETRICO, IL METODO SARà APPLICATO FACENDO RIFERIMENTO AL SEMIPERIODO, OSSIA A T/2 PER INIZIALIZZARE IL METODO, UNA PRIMA STIMA DELLA DURATA DEL SEMIPERIODO VIENE EFFETTUATA DALLA DETERMINAZIONE DELLA PULSAZIONE IN CORRISPONDENZA DELLA QUALE LA PARTE IMMAGINARIA DELLA FUNZIONE DI TRASFERMENTO NEL CASO IN ESAME SI HA:  PER   = 1.73 SI HA Im[P(j  *)] = 0 DA CUI T* = 3.6 E T*/2 = 1.8  VIENE CALCOLATO y 0 (T/2) = c T x 0 (T/2) PER T/2 VARIABILE FRA.8 (T*/2) E 1.2 (T*/2) LA CODIZIONE DI PERIODICITÀ COINCIDE CON QUELLA DI COMMUTAZIONE E RISULTA y(T/2) = 0

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO T/2 y 0 (T/2) T*/2 =1.84 VIENE TRACCIATO L’ANDAMENTO DI y 0 (T/2) IN FUNZIONE DI T/2 IN CORRISPONDENZA DI y 0 (T/2) = 0 SI INDIVIDUA IL VALORE DI T*/2 LE CORRISPONDENTI CONDIZIONI INIZIALI x 0 (T*/2) RISULTANO x 0 (T*/2) = UNA VOLTA DETERMINATI T*/2 E x 0 (T*/2) SI CALCOLA L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE. NEL CASO PARTICOLARE SI HA t (sec) 1 0 y(t) T = 3.68

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 62 P W M PULSE WIDTH MODULATION SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE ON-FF DISPOSITIVO DI MISURA y(t) y*(t) e(t)m(t) u(t) p(t) tempo m(t) e(t) p(t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 63 P W M PULSE WIDTH MODULATION SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE ON-FF DISPOSITIVO DI MISURA y(t) y*(t) e(t)m(t) u(t) p(t) tempo e(t) m(t) p(t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 64  (0)  =  0  (t)  =   (t) u(t)  =  T  (t) y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) x(0)  = x 0 y(t)u(t) tempo u(t) 1 a  = 0 1  = 0 a  0 = tempo u(t) 0  -- 0  = 0 1  = 1 0  0 = tempo u(t) UoUo 0  = 1  = a  0 =

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 65 x(0)  = x 0  (0)  =  0  (t)  =   (t) u(t)  =  T  (t) y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) y(t)u(t)  (t) = x(t)  (t) S = A  b Tb T   0 = x0x0 00 A  B TB T    (t) cTcT 0 I 0 y(t) u(t)

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 66 x(t) =  (t) x 0 +  (t)  0 t1t1 t2t2 a1a1 a2a2 ESEMPIO DI APPLICAZIONE PER IL CALCOLO DELL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA NEL FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE x0x0 y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) y(t) u(t) e S t = e A te A t e  te  t 0 (e A t  e  t ) b  (t) A -1 (e A t – I)b  (t)

CONDIZIONE DI PERIODICITÀ NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 67 t1t1 t2t2 a1a1 a2a2 0 a1a1  0 1 = 0 -a 2  0 2 =  (t 1 )  (t 1 )  (t 2 )  (t 2 ) x0x0 x(t 1 )x0x0 x(t 1 ) =   (t 1 ) x 0 +   (t 1 )  01 x(t 2 ) =   (t 2 ) x(t 1 ) +   (t 2 )  02 = x 0 x 0 =   (t 2 )(   (t 1 ) x 0 +   (t 1 )  01 ) +   (t 2 )  02 x 0 = (   (t 2 )   (t 1 ) – I ) -1 (   (t 2 )   (t 1 )  01 +   (t 2 )  02 ) PER 0 < t < t 1 y(t) = c T x(t) = c T (   (t) x 0 +   (t)  01 ) PER 0 < t < t 2 y(t) = c T x(t) = c T (   (t) x(t 1 ) +   (t)  02 )

P W M PULSE WIDTH MODULATION SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE ON-FF y(t)m(t) u(t) NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 68 (s+1)(s+3) 2s+6 s 1 s 2 +.5s METODO DIRETTO2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI 2 TRACCIAMENTO METODO INDIRETTO18 ITERAZIONI: 2 AGGIORNAMENTO DELLE CONDIZIONI INIZIALI 1 TRACCIAMENTO tempo T

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 69 y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) x0x0  (0)  =  0  (t)  =   (t) u(t)  =  T  (t) u(t) y(t)   (t)  =   (t) +  y(t)  0  = 0  (1)  (2)  = 2 2  T n 2 2  T - n 0 0  = 0 2 T    1)  =  0 T 2 2  T n cos () t y(t) dt 2 T    2)  =  0 T 2 2  T n sin () t y(t) dt 2 T y(t) = c T x(t) = c T (   (t) x 0 +   (t)  0 )

NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 70  (t) =  (t)  (t)  = S  c T 0] 0   0 = 00 0  (t) =  (t)  (0) =  0 x(t)  (t)  (t) VARIABILI DI STATO FORZAMENTO COMPONENTI IN FASE E IN QUADRATURA A 0  c T 0 0  b  0 x(t)  (t)  (t) = 00 x0x0 00 x0x0 00 

t T NON LINEARITÀ INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO ordine delle armoniche PROCEDURA: 1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI x 0 PER IL TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO 2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI x 0 NEL VETTORE  (t) PER IL CALCOLO DELLE CONPONENTE ARMONICHA DI ORDINE n 3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE 4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE