LE DEFINIZIONI

“un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma” Una definizione è essenzialmente una abbreviazione: “un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma” Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a determinate definizioni “se le rette che contengono i lati opposti di un quadrilatero non hanno punti in comune, allora i due segmenti che congiungono ciascun vertice di quel quadrilatero con il vertice opposto si incontrano in un punto che divide ciascuno di essi in due parti congruenti” Esempio: “le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel punto medio di entrambe”, provare ad enunciarlo senza usare le parole: diagonali, parallelogrammi e rette parallele”

0. Quando / cosa si definisce? Oggetti che siano significativi dal punto di vista matematico. ALTEZZA ??? Forse si potrebbe sottolineare che il concetto di significatività può, soprattutto a livello di scuola di base, essere anche costruito all’interno dell’ambiente classe. Numeri divisibili per 2  NUMERI PARI Numeri divisibili per 7  ???

La significatività, soprattutto a livello di scuola di base, è costruita all’interno dell’ambiente classe. Esempi di definizioni poco significative dal punto di vista matematico e didattico: Frazioni ‘apparenti’ Equazioni ‘spurie’ … Sia dal punto di vista matematico, che “sociale”: improbabile che i ragazzi sentano l’esigenza di fare questo tipo di classificazioni

1. Forma linguistica Non sempre permette di riconoscere una definizione Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3. Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.

2. I termini usati devono essere noti Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Devo PRIMA aver definito ‘poligono’ e ‘lati’

In particolare non ci dev’essere circolarità I numeri naturali sono i numeri interi positivi. I numeri interi sono i numeri naturali positivi e negativi.

Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d’obbligo Azione: il risultato dell’agire Agire: ciò che risulta in una azione Esempio di Luciano Coen e Achille C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002

In matematica ci sono oggetti ‘non definiti’ esplicitamente Insieme Numero naturale Punto, Retta, Piano… Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI … Per 2 punti passa una e una sola retta

3. Deve individuare univocamente l’oggetto La circonferenza è una linea curva chiusa.

Vale in un contesto che spesso rimane implicito Tangente a una curva: retta che interseca la curva in un solo punto

Un numero pari è un numero divisibile per 2 ???

Non deve dipendere da aspetti non strutturali Un numero irrazionale è un numero con la radice Un numero pari è un numero che finisce per 0, 2, 4, 6, 8 10 in base tre

4. Non è una descrizione Un martello è uno strumento che serve per piantare i chiodi; ha un manico di legno e una parte di metallo, che … Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Si coglie l’importanza di questo quando si ‘fa’ matematica, ad esempio quando si dimostra Dal punto di vista didattico può essere opportuno in alcuni casi non essere così ‘minimali’. Esempio: definireste i rettangoli come quadrilateri con 3 angoli retti? In ogni caso una stessa definizione si può dare in modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si dice primo se ha esattamente due divisori, oppure se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso

Come non dare definizioni… L'altezza del triangolo è la distanza di un vertice dal lato opposto Retta: insieme consecutivo e infinito di punti aventi sempre la stessa direzione. Piano: insieme continuo e infinito di rette. Un’ equazione non è altro che una forma abbreviata di annotazione dei dati di un problema