“Association mining” Salvatore Orlando

Cos’è l’association mining Identifica frequenze/collegamenti/correlazioni/causalità tra insiemi di item (articoli) in database transazionali Ogni transazione contiene una lista di item Es.: gli acquisti fatti dai vari clienti sono memorizzati come transazione nel database di un negozio Esempi: Forma della regola: “Body ® Head [support, confidence]”. compra(x, “pannolini”) ® compra(x, “birra”) [0.5%, 60%] laurea(x, “Informatica”) ^ esame(x, “DB”) ® voto(x, “100110”) [1%, 75%] Applicazioni: Basket data analysis, cross-marketing, catalog design, clustering, classification, etc.

Regole associative: concetti base Dati: (1) database di transazioni (2) ogni transazioni è una lista di articoli (acquistati da un cliente in una visita al supermercato) I = {i1 , i2 , …,in} è un insieme di item distinti Una transazione T è un sottoinsieme di I, T  I. D, il database, è un insieme di transazioni Trova: tutte le regole che correlano la presenza di un insieme di articoli con quello di un altro insieme di articoli Una regola associativa ha la forma: A->B, dove A  I, B  I, e A∩B = Es.: il 98% della gente che acquista pneumatici e accessori per auto richiede anche di effettuare manutenzioni periodiche dell’auto

Esempio di dataset transazionale e MBA Market-Basket transactions Market Basket Analysis (MBA) Esempio di regola associativa:

Misure di interesse delle regole Clienti che comprano entrambi Clienti che comprano pannolini Esempio: pannolini  birra Trova tutte le regole X  Z con confidenza e supporto minimo Supporto, s, è la probabilità che una transazione contenga {X  Z} Sup (X  Z ) = Probabilità(X  Z ) Confidenza, c, è la probabilità condizionale che una transazione che include X contenga anche Z Conf (X  Z ) = Probabilità(Z | X ) Clienti che comprano birra D Per 50% : supporto minimo 50% : confidenza minima abbiamo che A  C (50%, 66.6%) C  A (50%, 100%)

Calcolo di regole frequenti e confidenti Sia X un itemset, e sia (X)  |D| il numero di transazioni in D che contengono X Esempio: {Pannolini,Latte} s,c Birra s = ({Pannolini,Latte,Birra}) / Tot_trans = = 2/5 = 0.4 = 40% c = ({Pannolini,Latte,Birra}) / ({Pannolini,Latte}) = = 2/3 = 0.66 = 66 % Il supporto è la probabilità che un certo itemset appaia nelle transazioni del dataset. s=P({Pannolini,Latte, Birra}) La confidenza è una probabilità condizionata c=P({Pannolini,Latte, Birra} | {Pannolini,Latte}) TID Items 1 Pane, Latte 2 Birra, Pane, Pannolini, Uova 3 Birra, Coca, Pannolini, Latte 4 Birra, Pane, Pannolini, Latte 5 Coca, Pane, Pannolini, Latte Association rule: Xs,c y Support: s =(Xy) / |D| Confidence: c = (Xy) / (X)

Estrazione di Regole Associative: Applicazione 1 Marketing e Promozione delle Vendite: Supporre che sia stata scoperta la regola {Coca, … } --> {Patatine} Patatine come conseguenza => Regola può essere impiegata per capire cosa può essere usato per promuovere le vendite di patatine. Coca nell’antecedente => Regola può essere usata per vedere le vendite di quali prodotti sarebbero interessati se il negozio smettesse di vendere Coca.

Estrazione di Regole Associative: Applicazione 2 Gestione degli scaffali nel supermercato Scopo: Identificare gli articoli che sono comprati assieme da un numero sufficientemente grande di clienti Approccio: Processare i dati collezionati con gli scanner di codici a barre per trovare dipendenze tra gli articoli. Una regola classica: Se un cliente acquista pannolini e latte, allora con alta probabilità acquisterà birra Quindi, non bisogna essere sorpresi se troviamo pacchi da 6 birre disposti negli scaffali a fianco dei pannolini! 

Estrazione di Regole Associative: Applicazione 3 Gestione dell’inventario: Scopo: Un’azienda di riparazione di piccoli elettrodomestici ha necessità di: anticipare la natura delle riparazioni dei prodotti richiesti dai clienti mantenere i veicoli (usati dai riparatori) equipaggiati con i pezzi di ricambio giusti, questo per ridurre i numeri delle visite alle abitazioni dei clienti Approccio: Processa i dati sugli strumenti e parti richieste nelle precedenti riparazioni presso le varie visite presso i clienti, e scopri le co-occorrenze dei pattern

Tipi di analisi associative Boolean vs. quantitative associations (Dipende dal tipo di valori analizzati) buys(x, “SQLServer”) ^ buys(x, “DMBook”) ® buys(x, “DBMiner”) [0.2%, 60%] age(x, “30..39”) ^ income(x, “42..48K”) ® buys(x, “PC”) [1%, 75%] Single dimension vs. multiple dimensional associations (vedi il secondo esempio di sopra) Single level vs. multiple-level analysis Che tipo di birra è associata con che marca di pannolini? Varie estensioni Correlazione, analisi di causalità Associazioni non necessariamente implica correlazione o causalità Maxpatterns e closed itemsets Vincoli Es: piccole svendite (sum < 100) danno luogo a grandi acquisti (sum > 1,000)?

Mining di regole booleane a singola-dimensione Min. support 50% Min. confidence 50% Per la regola A  C: support = support({A  C}) = 50% confidence = support({A  C}) / support({A}) = 66.6% Il principio Apriori: Ogni sottoinsieme di un itemset frequente DEVE essere frequente

Generazione delle regole dagli itemset frequenti Esempio di regole: {Milk,Diaper}  {Beer} (s=0.4, c=0.67) {Milk,Beer}  {Diaper} (s=0.4, c=1.0) {Diaper,Beer}  {Milk} (s=0.4, c=0.67) {Beer}  {Milk,Diaper} (s=0.4, c=0.67) {Diaper}  {Milk,Beer} (s=0.4, c=0.5) {Milk}  {Diaper,Beer} (s=0.4, c=0.5) Osservazione: Tutte le regole di sopra fanno riferimento allo stesso itemset frequente (s=40%): {Milk, Diaper, Beer} Le regole così ottenute hanno supporto identico ma possono avere confidenza differente

Mining frequent itemset: il passo chiave dell’ association mining Trova i frequent itemsets: gli insiemi di item che hanno supporto minimo Un sottoinsieme di un frequent itemset è anch’esso frequente (proprietà anti-monotonica) Se {AB} è un frequent itemset, sia {A} e sia {B} sono frequenti ({A})  ({AB}) e ({B})  ({AB}) Sia I un itemset. Se un sottoinsieme di I non è frequente, allora I non è frequente Se {A} NON è un frequente, allora anche {A,B} NON è frequente I frequent itemsets possono essere individuati iterativamente Prima quelli di cardinalità 1 (1-itemset) Poi quelli di cardinalità 2 (2-itemset) …. Infine quelli di cardinalità k (k-itemset) Usa i frequent itemsets per generare le regole associative

Il reticolo degli itemsets Power Set di un insieme di d items (d=5 in questo caso) Ci sono 2d itemset possibili

Come calcolare gli itemset frequenti Approccio naive: Ogni itemset nel reticolo è un candidato itemset frequente Conta il supporto di ogni candidato con la scansione di tutte le transazioni del database Complessità ~ O(NM) => costosa poiché M = 2d !!!

Approcci per il mining degli Itemset Frequenti Ridurre il numero di candidati (M) Ricerca completa: M=2d Usa invece l’euristica Apriori per ridurre M Redurre il numero di transazioni (N) Ridurre la dimensione N via via che la dimensione k degli itemset aumenta Dataset pruning Ridurre il numero di confronti necessari (NM) Usa strutture dati efficienti/compresse per memorizzare candidati/frequenti/transazioni Lo scopo è evitare di effettuare il matching di ogni candidato contro ciascuna transazione

Usare il principio di Apriori per il pruning dei candidati Se un itemset è NON frequente, allora tutti i suoi superset devono anche essere NON frequenti Abbiamo scoperto che è NON frequente Super-itemset eliminati (pruned), e non controllati

L’algoritmo Apriori Ck è l’insieme dei candidati (k-itemset) all’iterazione k Il supporto dei candidati deve essere calcolato per generare Lk Lk è l’insieme dei frequent itemset (k-itemset) all’iterazione k Si tratta di un sottoinsieme di Ck Assieme ad ogni itemset in Lk, viene restituito anche il supporto relativo Nota: L sta per large. Nell’articolo originale di Apriori, gli itemset frequenti erano chiamati “large itemset” Gen Step: Ck+1 è generato facendo il join di Lk con sé stesso, e prendendo solo, tra gli itemset otenuti, quelli di lunghezza k+1 che contengono item distinti Prune Step: Un k-itemset non può essere frequente, e quindi non sarà un candidato, se qualcuno dei suoi sottoinsiemi non è frequente

Pseudo-code: L’algoritmo Apriori Ck: Candidate itemset of size k Lk : frequent itemset of size k L1 = {frequent items}; for (k = 1; Lk !=; k++) do begin Ck+1 = candidates generated from Lk; for each transaction t in database D do increment the count of all candidates in Ck+1 that are contained in t Lk+1 = candidates in Ck+1 with min_support end return k Lk

L’algoritmo Apriori: un esempio (minsup = 2) Database D L1 C1 Scan D C2 C2 L2 Scan D C3 L3 Scan D

Apriori: visita Breadth first del reticolo a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Genera i Candidati di dimensione 1 a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Conta i supporti dei Candidati di dim. 1 a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Genera i Candidati di dimensione 2 a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Conta i supporti dei Candidati di dim. 2 a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Pruna gli itemset infrequenti a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bcd bce bde cde acde bcde

Genera i Candidati di dimensione 3 a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bcd bce bde cde acde bcde

Conta i supporti dei Candidati di dim. 3 a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bcd bce bde cde acde bcde

Pruna gli itemset infrequenti a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bce bde cde acde

Genera i Candidati di dimensione 4 a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bce bde cde acde

Conta i supporti dei Candidati di dim. 3 a b c d e ac ad ae bc bd be cd ce de acd ace ade bce bde cde acde

Passo di generazione dei candidati Supponi che gli item all’interno degli itemset siano ordinati, gli itemset in Lk-1 siano ordinati secondo l’ordine lessicografico indotto Step 1: self-joining Lk-1 insert into Ck all pairs (p, q) Lk-1 where p.item1=q.item1, ……, p.itemk-2=q.itemk-2, p.itemk-1 < q.itemk-1 (p e q condividono un prefisso comune di lunghezza k-2) (la condizione p.itemk-1 < q.itemk-1 assicura che non vengano prodotti duplicati) Step 2: pruning forall itemsets c in Ck do forall (k-1)-subsets s of c do if (s is not in Lk-1) then delete c from Ck

Esempio di generazione dei candidati L3={abc, abd, acd, ace, bcd} Self-joining: L3*L3 abcd da abc e abd acde da acd e ace Pruning: acde è rimosso perché ade non è in L3 C4={abcd}

Conteggio del supporto dei candidati Perchè contare il supporto dei candidati potrebbe essere problematico? Il numero di candidati potrebbe essere enorme Una transazione potrebbe contenere molti candidati Metodo: Itemsets Candidati memorizzati in un hash-tree La profondità massima dell’hash-tree dipende dalla lunghezza k dei candidati memorizzati Nodi foglia dell’hash-tree contengono una lista di itemset candidati, con i contatori associati Nodi interni contengono un hash table Funzione di subsetting: trova tutti i candidati contenuti in una transazione visitando l’hash tree

Metodi per migliorare l’efficienza di Apriori Hash-tree per memorizzare i candidati: Albero ternario, con funzione hash di modulo sul valore degli item Foglie memorizzano lista di candidati (ordered sets) Subsetting check sulla radice dell’albero, data la transazione {1,2,3,5,6}

Hash-tree per memorizzare i candidati Hash Function Candidate Hash Tree Nota che 4 e 7 appaiono anche in questi bin 1,4,7 3,6,9 2,5,8 2 3 4 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 6 8 9 3 6 7 3 6 8 Hash on 1, 4 or 7 1 2 4 4 5 7 1 5 9 1 2 5 4 5 8

Hash-tree per memorizzare i candidati Hash Function Candidate Hash Tree 1,4,7 3,6,9 2,5,8 2 3 4 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 6 8 9 3 6 7 3 6 8 Hash on 2, 5 or 8 1 2 4 4 5 7 1 5 9 1 2 5 4 5 8

Hash-tree per memorizzare i candidati Hash Function Candidate Hash Tree 1,4,7 3,6,9 2,5,8 2 3 4 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 6 8 9 3 6 7 3 6 8 Hash on 3, 6 or 9 1 2 4 4 5 7 1 5 9 1 2 5 4 5 8

Operazione di Subsetting su una transazione Data una transazione t, quali sono i possibili sottoinsiemi di size 3?

Operazione di Subsetting su una transazione Controllo di subsetting ricorsivo Hash Function 1 2 3 5 6 transaction 1 + 2 3 5 6 2 + 3 5 6 1,4,7 3,6,9 2,5,8 3 + 5 6 2 3 4 Per evitare duplicati, cerco sempre insiemi ordinati di 3 elementi 1 combinato con 2, o 3, o 5, ma non con 6 non esiste {1,6,x}, x>6, nella transazione !!! 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 3 6 7 3 6 8 6 8 9 1 2 4 1 2 5 1 5 9 4 5 7 4 5 8

Operazione di Subsetting su una transazione 1 2 3 5 6 transaction Hash Function 1 + 2 3 5 6 3 5 6 2 + 1,4,7 3,6,9 3 5 6 1 2 + 2,5,8 5 6 3 + 5 6 1 3 + 2 3 4 6 1 5 + 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 3 6 7 3 6 8 6 8 9 1 2 4 1 2 5 1 5 9 4 5 7 4 5 8

Operazione di Subsetting su una transazione Hash Function 1 2 3 5 6 transaction 1 + 2 3 5 6 3 5 6 2 + 1,4,7 3,6,9 3 5 6 1 2 + 2,5,8 5 6 3 + 5 6 1 3 + 2 3 4 6 1 5 + 5 6 7 1 4 5 1 3 6 3 4 5 3 5 6 3 5 7 3 6 7 3 6 8 6 8 9 1 2 4 1 2 5 1 5 9 4 5 7 4 5 8 La transazione contiene ben 11 di tutti i 15 candidati

Metodi per migliorare l’efficienza di Apriori Hash-based itemset counting: All’iterazione k-1 provo a prevedere gli itemset che finiranno in Ck Scopo: aumentare la capacità di pruning per ridurre la dimensione di Ck I k-itemset presenti in una transazione sono mappati, tramite una funzione hash, in una tabella hash relativamente piccola  meno contatori di Ck Tutti gli k-itemset la cui locazione hash corrispondente è al di sotto del supporto minimo Non possono essere frequenti Possono essere prunati da Ck Esempio: All’iterazione k=1, crea la tabella hash H2 hash function: h(x; y) = (x * 10 + y) mod 7 min_supp = 3

Metodi per migliorare l’efficienza di Apriori Transaction pruning: Una transazione che non contiene nessun k-itemset frequente, è inutile nelle successione scansione del database Sampling: mining su un sottoinsieme dei dati. Perdiamo in accuratezza ma miglioriamo in efficienza Partitioning: Un itemset che è frequente nel database D deve essere frequente in almeno una delle partizioni di D (relativamente al size della partizione). Purtroppo un itemset frequente in una partizione di D potrebbe essere NON frequente nel database completo D.

i, suppDi(X) < s% |Di|  X è infrequente globalmente D1, D2, D3 Se X è frequent, allora: supp(X) = suppD1(X) + suppD2(X) + suppD3(X) >= s% (|D1| +|D2| +|D3|) i, suppDi(X) < s% |Di|  X è infrequente globalmente A  B (per def. è equivalente a: ¬ A  B) A  B è equivalente a: ¬ B  ¬ A (che per def. è equiv. a B  ¬ A) X è frequente globalmente  i, suppDi(X) >= s% |Di|

Generazione delle regole Algoritmo non ottimizzato: for each frequent itemset l do for each subset c of l do if (support(l) / support(l-c)  minconf) then output rule (l-c)  c, with confidence = support(l) / support(l-c) support = support(l); c è frequente per definizione

Generazione delle regole (2) Considera la regola (l-c)  c Se c1  c, allora l – c  l - c1 support(l - c)  support(l – c1) support(l)/support(l - c1)  support(l)/support(l - c) conf((l - c1)  c1)  conf((l - c)  c) Quindi, se una conseguenza c genera una regola valida, usando tutti i sottoinsiemi c1 di c generiamo regole valide (con confidenza maggiore)  proprietà di antimonotonia Possiamo quindi usare questa proprietà per effettuare il pruning delle regole candidate, generando prima le regole con le conseguenze più corte (a livelli): Considera un itemset ABCDE. se ACDE  B e ABCE  D sono le sole regole valide con singola conseguenza (cioè con confidenza minima), allora ACE  BD è la sola altra regola che deve essere testata. se ACD  BE fosse valida, dovrebbe essere valida anche se ABCD  E l c c1

Colli di bottiglia di Apriori I concetti base di Apriori: Visita a livelli dello spazio di ricerca Usa i (k – 1)-itemset per generare i k-itemset candidati Ad ogni livello, scandisci il database, usa pattern matching per aggiornare i contatori dei k-itemsets candidati Approccio Counting-based Colli di bottiglia I candidati possono essere tantissimi: 104 1-itemset frequenti genereranno 107 2-itemset candidati Per scoprire un pattern frequente di dimensione 100, es. {a1, a2, …, a100}, è necessario contare 2100  1030 candidati. Scansioni multiple del database: Necessari (n +1 ) scansioni, dove n è la lunghezza del pattern più lungo

Mining dei pattern frequenti senza generazione dei candidati Comprimi il database in una strutura dati compatta: Frequent-Pattern tree (FP-tree) Struttura dati TRIE, solitamente utile per memorizzare stringhe ed effettuare ricerche FP-tree è compresso, ma completo per l’estrazione dei pattern frequenti con i relativi supporti Si riducono le scansioni del database Metodo efficiente basato sull’ FP-tree per effettuare il mining dei pattern frequenti Metodo divide-and-conquer: decomponiamo il task completo in altri più piccoli Si evita la generazione dei candidati

Costruzione dell’FP-tree a partire dal DB TID Items bought (ordered) frequent items 100 {f, a, c, d, g, i, m, p} {f, c, a, m, p} 200 {a, b, c, f, l, m, o} {f, c, a, b, m} 300 {b, f, h, j, o} {f, b} 400 {b, c, k, s, p} {c, b, p} 500 {a, f, c, e, l, p, m, n} {f, c, a, m, p} min_support = 0.5 {} f:4 c:1 b:1 p:1 c:3 a:3 m:2 p:2 m:1 Header Table Item frequency head f 4 c 4 a 3 b 3 m 3 p 3 Passi: Scandisci il database per trovare gli 1-itemset frequenti Ordina gli items frequenti in ordine decrescente Scandisci il DB nuovamente, e costruisci l’ FP-tree

Costruzione FP-tree null Letura TID=1: A:1 B:1 Lettura TID=2: null B:1 Transaction Database Letura TID=1: A:1 B:1 Lettura TID=2: null B:1 A:1 B:1 C:1 D:1

Costruzione FP-tree null B:3 A:7 B:5 C:3 C:1 D:1 D:1 C:3 D:1 E:1 D:1 Transaction Database null B:3 A:7 B:5 C:3 C:1 D:1 Header table D:1 C:3 D:1 E:1 D:1 E:1 D:1 Puntatori utili per estrarre gli itemset frequenti

Proprietà dell’FP-tree Preserva l’informazione completa per estrarre i pattern frequenti Riduzione delle informazioni irrilevanti — gli item non frequenti sono eliminati Ordinati in ordine decrescente di frequenza: item più frequenti hanno più probabilità di essere condivisi L’FP-tree è solitamente più piccolo del database originale (senza contare link e contatori) Esempio: per connect-4 DB, rapporto di compressione maggiore di 100

Mining i pattern frequenti tramite l’FP-tree Idea generale In maniera ricorsiva, fai crescere i pattern frequenti usando l’FP-tree Visita Depth-First del reticolo

FIM attraverso una visita depth first Supponi di avere un dataset che contenga gli item a, b, c, d, e Conta il supporto degli item singoli Rimuovi gli item non frequenti Trova tutti gli itemset frequenti che contengono a possiamo rimuovere proiettare il dataset rimuovendo le trans. che non contengono a Trova tutti gli itemset frequenti che contengono b ma non a possiamo rimuovere proiettare il dataset rimuovendo le trans. che non contengono b rimuovendo anche a da ogni trans. restante Trova tutti gli itemset frequenti che contengono c ma non a e b rimuovendo anche a e b da ogni trans. restante … NOTA: anche se nell’esempio usiamo l’ordine lessicale tra gli item per determinare l’ordine della visita, qualsiasi ordine potrebbe essere usato. Un ordine spesso utilizzato è quello indotto dalla frequenze degli item, considerando per primi gli item meno/più frequenti

FIM attraverso una visita depth first a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Trova itemset frequenti contenenti “a” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Trova itemset frequenti contenenti “a” ma “non b” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

… contenenti “c” ma “non a” e “non b” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

… contenenti “d” ma “non a”, “non b”, e “non c” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

… contenenti “d” ma “non a, b, c, d” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Ricorsione: es. per gli itemset contenenti “a” a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde

Passi di FP-growth Costruisci il conditional pattern base per ciascun item nel’FP-tree proiezione del database per prepararsi alla visita depth-first quando visito per estrarre gli itemset che iniziano per c, ma non contengono né a e né b, mi è sufficiente un database ridotto (proiettato), da cui ho rimosso a e b Costruisci il conditional FP-tree da ciascun conditional pattern-base ogni conditional FP-tree corrisponde alla compressione del database proiettato (rimuovo gli itemset localmente infrequenti) Passo ricorsivo sui conditional FP-trees rispetto al mining degli itemset che iniziano per a, calcolo prima gli itemset che iniziano per ab, poi quelli che iniziano per ac e non ab, poi quelli che iniziano per ad …

Passo 1: dall’ FP-tree al Conditional Pattern Base A partire dal frequent header table dell’ FP-tree Attraversa nell’FP-tree la lista di ciascun item frequente Accumula i prefix path di quell’item in modo da formare la conditional pattern base {} f:4 c:1 b:1 p:1 c:3 a:3 m:2 p:2 m:1 Header Table Item frequency head f 4 c 4 a 3 b 3 m 3 p 3 Conditional pattern bases item cond. pattern base c f:3 a fc:3 b fca:1, f:1, c:1 m fca:2, fcab:1 p fcam:2, cb:1

Proprietà importanti per la creazione delle basi condizionali Proprietà dei Node-link Per ogni frequent item ai, tutti i possibili frequent pattern che contengono ai possono essere ottenuti seguendo i link del nodo ai, iniziando dalla testa della lista di ai nell’FP-tree header Proprietà dei prefix path Per calcolare i frequent pattern per un nodo ai nel path P dell’albero (P va dalla radice ad una foglia dell’albero), solo il prefix sub-path di ai in P deve essere accumulato nella base, e il suo conteggio di frequenza deve portare lo stesso conteggio del nodo ai.

Passo 2: costruzione dei conditional FP-tree Per ciascuna pattern-base Accumula i conteggi per ciascun item nella base Costruisci l’FP-tree condizionale includendo solo gli item frequenti presenti nella pattern-base L’item b viene eliminato dall’ m-base perché non frequente {} m-conditional pattern base: fca:2, fcab:1 Passo 3 Header Table Item frequency head f 4 c 4 a 3 b 3 m 3 p 3 f:4 c:1 {} f:3 c:3 a:3 m-conditional FP-tree All frequent patterns concerning m m, fm, cm, am, fcm, fam, cam, fcam c:3 b:1 b:1   a:3 p:1 m:2 b:1 p:2 m:1

Basi e FP-tree condizionali Empty f {(f:3)}|c {(f:3)} c {(f:3, c:3)}|a {(fc:3)} a {(fca:1), (f:1), (c:1)} b {(f:3, c:3, a:3)}|m {(fca:2), (fcab:1)} m {(c:3)}|p {(fcam:2), (cb:1)} p Conditional FP-tree Conditional pattern-base Item

Passo 3: ricorsione In modo ricorsivo, riapplica FP-growth agli FP-tree condizionali {} f:3 c:3 am-conditional FP-tree Cond. pattern base di “am”: (fc:3) {} f:3 c:3 a:3 m-conditional FP-tree {} Cond. pattern base of “cm”: (f:3) f:3 cm-conditional FP-tree {} Cond. pattern base of “cam”: (f:3) f:3 cam-conditional FP-tree

Generazione a partire da un FP-tree a singolo path Supponi che un FP-tree T ha un singolo path P L’insieme completo dei frequent pattern di T può essere generato enumerando tutte le combinazioni dei sub-paths di P {} Tutti i frequent patterns relativi a m m, fm, cm, am, fcm, fam, cam, fcam f:3  c:3 a:3 m-conditional FP-tree

Prestazioni Performance Ragioni FP-growth è un ordine di grandezza più veloce di Apriori Ragioni Non abbiamo candidate generation, e nemmeno candidate test Strutture dati compatte Solo per alcuni tipi di database, purtroppo Si evitano ripetuti scan del database L’operazione base diventa il conteggio e la costruzione dell’FP-tree

FP-growth: tempo di esecuzione rispetto al supporto minimo Data set T25I20D10K

FIM algorithms: formato database Database Orizzontale vs. Verticale Record orizzontale (transazione): Tid: Item0, …, Itemk Record verticale (tidlist): Item: Tid0, …, Tidh Verticale Orizzontale

FIM algorithms: metodo per calcolare i supporti Metodo per calcolare il supporto: Count-based E’ il metodo usato da Apriori Sfrutta un database orizzontale, confrontando le transazioni con i candidati, incrementando i contatori associati Intersection-based Sfrutta un database verticale Per ogni itemset candidato, interseca (set-intersection) le tidlist degli item che appaiono nel candidato la cardinalità del tidlist risultante dopo le intersezioni corrisponde al supporto del candidato

Count-based vs Intersection-based Come possiamo determinare il supporto dei candidati? Apriori è count-based, e usa un dataset orizzontale Partition/Eclat è intersection-based, e usa un dataset verticale Transaction TID-list

     Intersection-based k-way intersection 2-way intersection Determina il supporto di un k-itemset attraverso il set intersection di k tid-list atomiche, contando alla fine la cardinalità della lista ottenuta Vantaggio: bassa occupazione di memoria Svantaggio: lentezza nel conteggio    2-way intersection Determina il supporto di un k-itemset attraverso il set intersection di 2 tid-list associate a due dei suoi (k-1)-sottoinsiemi frequenti Vantaggio: velocissimo conteggio del supporto Svantaggio: la dimensione di tutte le liste intermedie può diventare grandissima  

Frequent Set Counting algorithms Spazio di ricerca: P(I), power set di I, |P(I)| = 2|I| Spazio di ricerca molto grande, ma la proprietà di Apriori introduce molto pruning DFS Depth-First Search in profondità non si riesce a sfruttare pienamente la proprietà di antimonotonia per il pruning BFS Breadth-First Search Per livelli, come l’algoritmo di Apriori

Classificazione dei vari algoritmi per FSC Search space: visiting method BFS DFS Support: computing method Support: computing method Counting Counting Intersecting Intersecting Apriori Partition FP-growth Eclat Horizontal DB Vertical DB Horizontal DB Vertical DB Level-wise, strictly iterative Divide & conquer, recursive

DCI: Direct Counting & Intersecting Algorithm Level-wise (BFS) Metodo ibrido per determinare il supporto dei frequent itemsets Count-based durante the prime iterazioni Metodo innovative per memorizzare e accedere i candidati per countare il loro supporto Pruning del database orizzontale (disk-stored) Intersection-based quando il database è piccolo abbastanza da stare in memoria principale  resource-aware Trasformazione Orizzontale-a-Verticale Intersezione k-way ottimizzata

DCI: fase intersection-based Quando il database prunato entra in memoria, DCI costruisce “al volo” un bit-vector database verticale Grazie alla rappresentazione bit-vector e al pruning, questo accade molto presto (2o o 3o iterazione) nk trans 1 mk items

DCI: intersezione delle tidlist (bitvector) Intersectioni a k-vie Intersezione di tidlists associate con singoli item (atomi) Poca memoria, ma troppe intersezioni! Intersectioni a 2-vie a partire da tidlist associate con frequent (k-1)-itemset tantissima memoria, ma poche intersezioni! DCI  compromesso tra 2-vie e k-vie Basato su intersezioni a k-vie di bitvector, MA usa cache per memorizzare le intersezioni parziali corrispondenti ai vari prefissi del candidato corrente Cache size: k-2 bitvector di nk bit

DCI: intersezione delle tidlist (bitvector) Buffer di (k-2) vettori di nk bit usati per il caching delle intersezioni intermedie 3 5 11 17 24 31 Candidato corrente Candidato corrente 3 5 11 17 24 47 3 5 11 17 31 47 3 & 5 3 & 5 & 11 3 & 5 & 11& 17 3 & 5 & 11& 17 & 24 Riuso di questa Intersezione presente in cache 3 & 5 & 11& 17 & 24

DCI: numero delle operazioni AND

DCI: database sparsi vs. densi I bit-vector sono sparsi contengono pochi 1, e lunghe sequenze di 0 è possibile identificare grandi sezioni di word uguali a zero possiamo skip-are queste sezioni durante le intersezioni Densi Forte correlazione tra gli item più frequenti, i cui bit-vectors sono densi e molto simili contengono pochi 0, e lunghe sequenze di 1 DCI Adotta automaticamente strategie di ottimizzazione differenti per database densi e sparsi

DCI: migliore di FP-growth Database denso Pattern lunghissimi Apriori è troppo costoso tempo di Apriori non commensurabile

DCI: migliore di FP-growth Database reale e sparso Dati di click-stream da un sito web di e-commerce Pattern di lunghezza media per supporti piccoli

Visualizzazione di regole associative (Forma tabellare)

Visualizzazione: grafico tridimensionale

Visualizzazione: associazioni come link

Regole associative multi-livello Gli item spesso associati ad una gerarchia Item e relative regole ai livelli più bassi hanno supporti più bassi Regole riguardanti itemset agli appropriati livelli possono risultare utili e significative Possiamo esplorare regole a livelli multipli Dato un supporto assoluto, la regola "Outwear  Shoes" può essere valida anche se "Jackets  Shoes" e “SkiPants  Shoes" non lo sono

Regole associative multi-livello Un approccio top_down, che progressivamente scende di livello: Prima trova regole “più forti” ad alto-livello milk ® bread [20%, 60%] Poi trova regole “più deboli” al loro livello più basso: 2% milk ® wheat bread [6%, 50%] Food bread milk skim Sunset Fraser 2% white wheat

Regole associative multi-livello: Uniform Support vs. Reduced Support Supporto uniforme: stesso supporto minimo per tutti i livelli della gerarchia Un solo valore soglia per il supporto minimo Non abbiamo necessità di esaminare itemset che contengono item i cui antenati non godono del supporto minimo I livelli più bassi non sono sicuramente frequenti Se il valore soglia del supporto è Troppo alto  perdiamo regole a livello basso Troppo basso  generiamo troppe regole di alto livello Riduzione progressiva del supporto supporto minimo viene via via ridotto ai livelli più bassi della gerarchia

Regole associative multi-livello: Uniform Support vs. Reduced Support Supporto uniforme Level 1 min_sup = 5% Milk [support = 10%] 2% Milk [support = 6%] Skim Milk [support = 4%] Level 2 min_sup = 5%

Regole associative multi-livello: Uniform Support vs. Reduced Support Supporto ridotto Level 1 min_sup = 5% Milk [support = 10%] 2% Milk [support = 6%] Skim Milk [support = 4%] Level 2 min_sup = 3%

Regole associative multi-dimensionali Regole a singola dimensione: Regole intra-dimension (singolo predicato): buys(X, “milk”)  buys(X, “bread”) Regole multi-dimensionali e quantitative: Regole inter-dimension (senza predicati ripetuti) age(X,”19-25”)  occupation(X,“student”)  buys(X,“coke”) Regole hybrid-dimension (predicati ripetuti) age(X,”19-25”)  buys(X, “popcorn”)  buys(X, “coke”) Problemi con dimensioni contenenti attributi quantitativi Attr. numerici, ordinati implicitamente Da discretizzare staticamente o dinamicamente

Critiche alle misure di supporto/confidenza Esempio 1: Tra 5000 studenti 3000 giocano a calcio 3750 mangiano cereali 2000 sia giocano a calcio e sia mangiano cereali La regola gioca a calcio  mangia cereali [40%, 66.7%] è fuorviante, poiché la percentuale totale di studenti che mangiano cereali è del 75%, che è più grande del 66.7% La misura di conf. ignora la prob. ass. della parte destra della regola La regola gioca a calcio  non mangia cereali [20%, 33.3%] è più significativa, anche se ha un supporto e una confidenza minore

Critiche alle misure di supporto/confidenza Esempio 2: X e Y: correlati positivamente, X e Z: correlati negativamente Supporto e confidenza di X Z domina Abbiamo bisogno di una misura che metta in evidenza eventi correlati, ovvero inter-dipendenti P(B|A)/P(B) è anche chiamato il lift della regola A  B

Un’altra misura: Interesse Interesse (lift) Si considerano sia P(A) e sia P(B) P(A^B)=P(B)*P(A), se A e B sono eventi indipendenti A e B sono correlati negativamente se il valore è minore di 1 A e B sono correlati positivamente se il valore è maggiore di 1

Atri tipi di patterns Maximal and Closed Itemsets Negative Associations Indirect Associations Frequent Subgraphs Cyclic Association Rules Sequential Patterns

Maximal frequent itemsets Maximal Itemsets Infrequent Itemsets Border

Closed frequent itemsets Un itemset X è closed se NON esistono itemset X’ tali che: X’ è un superset di X Tutte le transazioni che contengono X contengono pure X’ supp(X) = supp(X’) A1 … A10 B1 … B10 C1 … C10 Numero degli itemset frequenti: Numero Closed Itemset = 3 {A1,…,A10}, {B1,…,B10}, {C1,…,C10} Numero Itemset massimali = 3 111111111100000000000000000000 000000000011111111110000000000 000000000000000000001111111111

Maximal vs Closed Itemsets Transaction Ids Non supportati da alcuna transazione

Maximal vs Closed Itemsets Closed but not maximal Minimum support = 2 Closed and maximal CD # Closed = 10 # Maximal = 5 A  D (s=2, c = 2/3 = 0,66%) AC  D (s=2, c = 2/3 = 0,66%) regola non generata se partiamo dai closed

Classificatori basati su regole associative Dati su cui costruire il classificatore Insieme di record in D classificati, ovvero contenenti un attributo categorico yY, che determina la classe di appartenenza Trasformiamo il dataset per poter applicare un algoritmo Apriori-like Ogni record deve diventare una transazione che contiene un insieme di item  I Gli attributi categorici vengono mappati su insiemi di interi consecutivi Gli attributi continui sono discretizzati e trasformati come quelli categorici Ogni record diventa una ennupla di item distinti appartenenti a I, dove ogni item è una coppia (Attribute, Integer-value) Le regole estratte (CAR=Class Association Rule) con supporto/confidenza minimi hanno quindi forma condset  y Dove condset è un insieme di item (Attribute, Integer-value)

Classificatori basati su regole associative Una CAR ha confidenza c se il c% dei campioni in D che contengono condset contengono anche y (ovvero appartengono alla classe y) Una CAR ha supporto s se l’ s% dei campioni in D contengono sia condset e sia y (ovvero contengono condset ed appartengono anche alla classe y )

Classificatori basati su CAR in dettaglio 1° passo (generazione delle CAR) Algoritmo iterativo (come Apriori) che ricerca k-ruleitems frequenti (CAR frequenti il cui condset contiene K item) Scansione multipla del database Cerca ad ogni iterazione k = 1, 2, 3, … i k-ruleitems frequenti La conoscenza dei k-ruleitems frequenti viene usata per generare i (k+1)-ruleitems candidati

Classificatori basati su CAR in dettaglio 2 ° passo (generazione del Classificatore) Ricerca delle CAR più accurate Metodo euristico, basato su un ordinamento tra CAR Una regola ri precede una regola rj (ri < rj) se La confidenza di ri è più grande di rj La confidenza è la stessa, ma ri ha un supporto più grande La confidenza e il supporto delle due regole sono uguali, ma ri è stata generata prima di rj Al termine l’algoritmo seleziona un insieme di CAR ordinate che coprono tutti i campioni in D Uso del classificatore Nel classificare un nuovo campione, si usa l’ordine tra le CAR Si sceglie la prima regola il cui condset soddisfa il campione. E’ necessaria una regola di default, a precedenza minima, che specifica una classe di default Serve per classificare nel caso in cui nessuna regola soddisfa il nuovo campione da classificare Buoni risultati sia in velocità e sia in accuratezza rispetto a C4.5

Conclusioni Association rule mining Direzioni di ricerca interessanti Probabilmente costituisce il contributo più notevole al KDD da parte di ricercatori su DB e algoritmi Moltissimi algoritmi sono stati pubblicati Usato anche come analisi di base per alg. di clustering e classificazione Direzioni di ricerca interessanti Analisi delle associazioni in altri tipi di dati: spaziali, multimedia, serie temporali, grafi, etc.