FILTRI

La teoria delle serie di Fourier dimostra che la maggior parte dei segnali e quindi di forme d’onda può essere prodotta sommando assieme onde sinusoidali

X(t)=sin(t) dove t=2/To·t=2f·t Segnale sinusoidale rappresentato proiettando un vettore di rotazione su un asse immaginario X(t)=sin(t) dove t=2/To·t=2f·t To=1/f

Segnali esaminati nel dominio del tempo e della frequenza

Costruzione di un’onda quadra per sommazione di onde sinusoidali. Partiamo con un’onda sinusoidale Aggiungiamone un’altra di ampiezza 1/3 della precedente e di frequenza 3 volte maggiore (nota come la terza armonica) Aggiungiamone un’altra di ampiezza 1/5 della prima e di frequenza 5 volte maggiore (la quinta armonica) Procedendo fino alla quindicesima armonica il pattern che si orriene è il seguente

I FILTRI Un filtro è un circuito che rimuove frequenze selezionate dal segnale di interesse. In teoria il filtro ideale non dovrebbe attenuare le frequenze desiderate, mentre l’attenuazione dovrebbe essere infinita per quelle indesiderate. Tutti i segnali biomedici devono essere, in varia misura, “condizionati” dai filtri, prima di essere visualizzati o registrati in forma analogica o digitale. Durante e dopo l'amplificazione il filtro provvede a trattare il segnale con diversi scopi:          Separare il segnale utile dal rumore          Eliminare segnali non desiderati mescolati a quello utile          Eliminare le frequenze in eccesso alla banda utile del segnale biologico.          Eliminare frequenze molto basse (anche la corrente continua)

Quindi, 20 dB corrisponde ad un aumento di 10 volte del voltaggio Dal momento che i filtri coprono molti ordini di grandezza di frequenze e ampiezze, è comune descrivere le caratteristiche del filtro usando una scala logaritmica. I decibel permettono di stabilire i rapporti tra due voltaggi Quindi, 20 dB corrisponde ad un aumento di 10 volte del voltaggio (infatti 20•log(10/1)=20 -3dB corrisponde ad una diminuzione del voltaggio di √½ (0.7071) (infatti: 20•log(√½) = -3) Decibels Rapporto di voltaggio 3 dB 1,414:1 6 dB 2:1 20 dB 10:1 40 dB 100:1 60 dB 1.000:1 66 dB 2.000:1 72 dB 4.000:1 80 dB 10.000:1 Il decibel (simbolo dB) è un decimo di bel (simbolo B): 10 dB = 1 B. Il bel è ormai caduto in disuso, ma rimane l'unità di misura fondamentale da cui il decibel deriva, inoltre le corrispondenti misure sono numeri puri e precisamente vengono ottenute come logaritmo del rapporto fra due grandezze omogenee (esprimibili cioè nella stessa unità di misura, e tali, quindi, che il loro rapporto è un numero puro adimensionale). Descrizione Poiché le misure espresse in B e dB sono, di fatto, adimensionali (al pari delle misure angolari in radianti), esse non specificano una grandezza fisica come il metro o il watt ma devono essere indicate nella misura perché la loro conoscenza è necessaria (e sufficiente) per risalire dalla misura al rapporto originale. La misura del rapporto fra due grandezze deve essere di tipo logaritmico perché una proprietà indispensabile alla definizione di una misura è la sua additività. Per esempio, aggiungendo una massa di 1 kg a un'altra massa di 1 kg si ottiene una massa di 2 kg; accostando in linea due regoli lunghi 1 m si ottiene un oggetto lungo 2 m. Ma, se il rapporto fra una grandezza A e una grandezza omogenea B è 10, e il rapporto fra B e una terza grandezza C è ancora 10, il rapporto fra A e C non è 20, bensì 100. Definendo la misura di un rapporto come il suo logaritmo si ottiene una quantità additiva. Un rapporto misurato in bel si definisce come il logaritmo in base 10 del rapporto stesso. Dire che un rapporto è di 1 bel equivale quindi a dire che il rapporto stesso è di 10:1. Il rapporto espresso in bel fra due numeri o due grandezze fisiche omogenee, N1 e N2, resta quindi definito come: L_bel=log(N1/N2) e, per essere espresso in decibel, deve essere moltiplicato per 10: L_dB=10log(N1/N2). Possiamo quindi legittimamente dire che il rapporto fra una tonnellata e un chilogrammo è 1.000:1, o 3 bel, o 30 decibel; che il rapporto fra un eurocent e 1000 euro è 1:100.000, ossia - 5 bel, o - 50 dB; che il rapporto fra l'intensità sonora (espressa in W/m2) di un concerto rock e quella di una normale conversazione è di 1.000.000:1, o di 6 bel, o di 60 dB. Il rapporto corrispondente a 1 decibel è meno intuitivo in quanto chiama in causa delle potenze frazionarie: se A supera B di 1 dB, il rapporto A:B è pari a 10^(0,1), cioè a 1,25892... . Se A supera B di 3 dB, il rapporto A:B risulta 10^(0,3) = 1,995262... . Nell'uso tecnico corrente, questo valore viene approssimato a 2, per cui si usa dire che un incremento di un valore di 3 decibel corrisponde a un suo raddoppio, mentre un incremento di - 3 dB corrisponde a un suo dimezzamento. Ogni valore in dB corrisponde ad un fattore di moltiplicazione o divisione (rispettivamente in caso di aumento o diminuzione) della grandezza misurata. Se ad esempio abbiamo un oggetto che aumenta una grandezza fisica di 34dB, significa che la grandezza che otterremo alla fine sarà 2500 volte più grande di come era inizialmente: 34dB equivale a (10+10+10+4)dB, che si trasformano in un fattore (in questo caso è un fattore di moltiplicazione) di 10*10*10*2.5=2500 volte. Viceversa, se il nostro oggetto riducesse la nostra grandezza fisica di 27dB, otterremo una grandezza fisica più piccola di 500 volte di quella iniziale: 27dB equivale a (10+10+7)dB, che diventano un fattore (di divisione) di 10*10*5=500 volte. Scegliendo come base per il logaritmo un numero diverso da 10, si definirebbero unità di misura diverse per la stessa grandezza logaritmo del rapporto: scegliendo come base il numero di Nepero e si ottiene il neper, mentre scegliendo la base 2 si ottiene un'unità di misura che viene chiamata bit nell'ambito della teoria dell'informazione, e ottava se si tratta di frequenze. Scegliendo come base , si ottiene direttamente il decibel: ma ne sarebbe una definizione alquanto scomoda. Tutte queste unità di misura hanno in comune la proprietà di essere adimensionali, ossia la corrispondente misura è espressa come un numero puro a causa del fatto che sono il risultato di un rapporto di due quantità omogenee (la stessa cosa avviene, per esempio, per la misura di un angolo espressa in radianti, ovvero il rapporto di due lunghezze), e possono essere convertite facilmente l'una nell'altra con una moltiplicazione, per cui sono, in linea di principio, alternabili, anche se l'uso ne limita l'applicazione ad ambiti specialistici ben precisi, per cui è difficile incontrare l'affermazione (matematicamente corretta) «l'intervallo fra 1 e 4 euro è di due ottave». Normalmente, si usano i decibel in elettronica, acustica, chimica e in generale in tutti i campi in cui è necessario calcolare prodotti e rapporti fra numeri aventi ordini di grandezza molto diversi; calcolando con i decibel infatti, moltiplicazioni e divisioni si trasformano in addizioni e sottrazioni, semplificando molto i calcoli. Inoltre il logaritmo comprime le scale numeriche, rendendo le distanze fra numeri da parecchi ordini di grandezza a poche decine. Infine, campi come l'acustica e la chimica trattano grandezze che sono intrinsecamente logaritmiche nei loro effetti. Frequenza di taglio ( -3dB, cutoff frequency) La frequenza di taglio o di cutoff (-3dB) è la frequenza alla quale l'ampiezza del segnale in uscita dal filtro è ridotta a 0,7071 volte l'ampiezza del segnale in ingresso.

Tipo di filtro: Passa-basso; Passa-alto Prendiamo il seguente segnale: Un filtro passa-basso (low-pass) elimina tutte le armoniche a frequenza alta e lascia passare quelle inferiori alla frequenza di taglio (cut frequency). Un filtro passa-alto (high-pass) elimina le armoniche a frequenza bassa e lascia passare quelle al di sopra della frequenza di taglio.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 7 1 Hz 5 Hz 10 Hz 50 Hz (1+5+10+50) Hz

(1+5+10+50) Hz Filtraggio passa-basso (low- pass) elimina tutte le armoniche a frequenza uguale e più alta della frequenza di taglio (fc=10 Hz).  Sono eliminate le frequenze a 10 e 50 Hz

(1+5+10+50) Hz Filtraggio passa-alto (high- pass) elimina tutte le armoniche a frequenza uguale e più bassa della frequenza di taglio (fc=5 Hz).  Sono eliminate le frequenze a 1 e 5 Hz

Tipo di filtro: Passa-banda; Reiezione-banda. Un filtro passa-banda elimina le armoniche inferiori e superiori ad una determinata banda di frequenze. Un filtro a reiezione di banda (notch) elimina solamente le armoniche all'interno di una determinata banda e lascia passare quelle esterne.

Filtraggio con filtri passa basso (low-pass) di una corrente di singolo canale 400 300 200 100 Time (ms) ( p A ) 2 A: no filt. B: Gauss 3 KHz. C: noise A-B D: RC 3 KHz E: noise A-C.

Effetto del filtraggio su un tracciato di corrente di singolo canale Traccia filtrata a 10000 Hz Traccia filtrata a 1000 Hz 4 ms 0.5 pA In pratica, per correnti di singolo canale il filtraggio analogico del segnale è normalmente compreso tra 5 e 3 KHz

Filtraggio con filtro passa alto (high-pass) di registrazioni di potenziali sinaptici A: no filt. B: RC filt. 2 Hz. C: RC filt. 10 Hz. D: RC filt. 100 Hz. ( m V ) 1 A B C D 20 40 Tempo (s)

Filtraggio con filtro “notch” per eliminazione di interferenza di rete (50 Hz) A: no filt. B: Notch filt. 50 Hz. C: Interfer. 50 Hz.

FINE

APPROFONDIMENTI

Ordine del filtro. Un semplice filtro costituito da un condensatore e da un resistore è detto filtro di primo ordine. Mettendo in serie vari filtri di primo ordine, se ne costruiscono di ordine superiore. Più è elevato l'ordine del filtro e maggiore è l'eliminazione delle armoniche fuori banda. Nel filtro di primo ordine l'attenuazione del segnale oltre la frequenza di taglio aumenta di 6 dB/ottava, e cioè 20 dB/decade. Struttura del filtro: Attivo, passivo, digitale. I filtri attivi sono costruiti con resistori, condensatori ed amplificatori operazionali. I filtri passivi usano solamente resistori e condensatori (eventualmente anche induttori). I filtri attivi hanno il vantaggio di non costituire un carico significativo per la sorgente del segnale e di non attenuarlo. I filtri digitali sono implementati con del software: consistono in una serie di calcoli matematici che processano i dati.

Tipo di filtro. Con i filtri attivi possono essere implementate diverse funzioni di trasferimento. I filtri più comuni sono:Ellittico, Cauer, Chebyshev, Bessel e Butterworth.Ciascuno di questi presenta caratteristiche particolari per quanto riguarda la forma della curva di risposta, il ritardo di fase e l'attenuazione fuori banda.

Terminologia dei filtri.    Attenuazione L'attenuazione è il reciproco del guadagno. Un'attenuazione di 10 corrisponde ad un guadagno di 0,1.   Banda passante (Pass Band ) La banda passante è la regione di frequenze al di sotto della frequenza di taglio. Banda soppressa (Stop Band ) La banda soppressa è la regione di frequenze al di sopra della frequenza di taglio. Spostamento di fase (Phase Shift ) Le fasi delle varie componenti sinusoidali del segnale di ingresso sono spostate dal filtro in varia misura dai vari tipi di filtro. I filtri che hanno piccoli spostamenti di fase producono piccole distorsioni nel segnale.

Ottava (octave ) Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore. Decade (decade ) La decade è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore.

Overshoot Quando lo spostamento di fase nella banda passante non è linearmente dipendente dalla frequenza della componente sinusoidale il segnale filtrato presenta overshoot. In questo caso la risposta ad un impulso rettangolare è distorta.

Ordine

Esempi di filtri: Filtro passa-basso Filtro passa-alto

Effetti dei filtri sull'onda quadra. Filtro passa-alto C1 C2 C3 C1<C2<C3

Filtro passa-basso C1 C2 C3 C1<C2<C3

Soppressione del rumore : filtro passa-basso

Soppressione di frequenze interferenti: filtro passa-alto

Isolamento di un segnale utile : filtro passa-banda

Eliminazione di un segnale di disturbo : filtro arresta-banda (notch)