Algebra di Boole

Algebra di Boole Insieme di regole algebriche della logica binaria che stanno alla base del funzionamento dei calcolatori È costituita da: un insieme di variabili booleane A,B,C,... che possono assumere solo i valori 1 (vero) o 0 (falso). un insieme di funzioni (operazioni) che operano sulle variabili di input e danno delle variabili di output un insieme di leggi (assiomi) che definiscono le proprietà delle funzioni.

Elementi dell’algebra di Boole Gli elementi dell'insieme B di un'algebra di Boole possono essere astratti o concreti; ad esempio possono essere numeri, proposizioni, insiemi o reti elettriche.

Variabili Logiche Una Variabile Logica è una variabile che può assumere solo due valori: True (vero, identificato con 1) False (falso, identificato con 0)

Funzioni Usando le variabili booleane, si possono costruire le funzioni booleane F(x,y,z) che possono assumere solo due stati: true false

Tabella di verità Ogni funzione booleana è caratterizzata dalla propria tabella di verità che riporta il suo valore per ogni possibile configurazione delle variabili in essa contenute. x y z F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

Tabella di verità La Tabella di Verità di un’espressione logica identifica la cosiddetta funzione booleana.

Costanti booleane Oltre alle variabili vi sono anche le costanti Essendo l’Algebra Booleana definita su due soli simboli, esistono solo due costanti: 1

Connettivi logici Le operazioni booleane fondamentali, rappresentate dai Connettivi Logici sono: Congiunzione (AND ) Disgiunzione (OR ) Negazione (NOT )

Funzioni Booleane Combinando variabili logiche mediante i connettivi logici si ottengono le espressioni logiche. • Un’espressione logica può essere definita in maniera esaustiva tramite la sua Tabella di Verità, che riporta il suo valore per ogni possibile configurazione delle variabili in essa contenute (Vedi la sezione Algoritmi). • La Tabella di Verità di un’espressione logica identifica la cosiddetta funzione booleana

L’operatore NOT Il risultato è il complemento (la negazione) dell’unica variabile x NOT x 0 1 1 0

L’operatore AND Il risultato è vero solo se sono vere entrambe le variabili a b a AND b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

L’operatore OR Il risultato è vero solo se è vera almeno una delle variabili a b a OR b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

L’operatore XOR Il risultato è vero solo se è vera solo una delle due variabili a b a XOR b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Priorità degli operatori

Proprietà delle funzioni logiche p. commutativa A AND B = B AND A A OR B = B OR A p. associativa (A AND B) AND C = A AND (B AND C) (A OR B) OR C = A OR (B OR C) p. distributiva A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C) leggi di idempotenza e complementazione 0 OR A=A 0 AND A=0 1 OR A=1 1 AND A=A A OR A=A A AND A=A NOT ( NOT A)=A A OR NOT A = 1 A AND NOT A = 0

Leggi di De Morgan A AND B = NOT (( NOT A) OR ( NOT B)) A OR B = NOT (( NOT A) AND ( NOT B)) Cioè NOT(A AND B) = NOT A OR NOT B NOT(A OR B) = NOT A AND NOT B

Tavole di verità ed espressioni E’ possibile : data la tavola di verità ricavare l’espressione corrispondente data una espressione booleana trovare la tavola di verità corrispondente.

Equivalenza tra espressioni Due espressioni sono uguali (o logicamente equivalenti) se il loro valore di verità è identico per ogni assegnazione delle variabili. L’equivalenza può essere verificata mediante le tabelle di verità..

Esempio

Esercizi proposti ESERCIZIO 2 Se a=5, b=7 e c=0 Determinare se le seguenti espressioni sono vere o false (V=1, F=0): 1. (a>0) and (b>0) 2. (3<a) and (b<2) 3. (a<=2) and (b<3) 4. (a<=2) or (b<3) 5. not(a>0) and (b>1) 6. not(a>0) or (b>1) 7. (a>1) and not(b>0) 8. not ((a>0) or (b<2)) 9. (a<>5) and (c>0) 10. (a<>5) or (c>0) 11. (a<>5) and (c=0) 12. (a=5) or (c=0) 13. (a<3) and (b>0) or (c>=0) 14. (a<3) and ((b>0) or (c>=0)) 15. not(a<3) and (b>0) or not(c>=0) 16. (a<3) and not(b>0) or (c>=0) ESERCIZIO 2 Costruire le tavole di verità delle seguenti espressioni logiche: 1. NOT (A OR B) 2. A AND NOT(B) 3. A AND B OR C 4. A AND (B OR C) 5. NOT(A) AND B OR NOT(C) 6. A AND (NOT(B) OR C)

Disegnare la tavola di verità della seguente espressione logica Esercizi proposti Disegnare la tavola di verità della seguente espressione logica NOT(A) AND (B OR NOT(C)) Dimostrare la 1° legge di De Morgan NOT(A AND B) = NOT A OR NOT B