L'apprendistato al senso dei simboli in algebra LEZIONE 3 L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.1

Si può partire dalla relazione: A 2 + B 2 = C 2 ; porre x = A/C ; y = B/C passare a: x 2 + y 2 = 1; y 2 = (1 - x)(1 + x) Trova un algoritmo per generare le terne pitagoriche Quando utilizzare la funzione algoritmica e quando quella simbolica L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.2

introdurre un parametro: da cui si ricava il sistema L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.3

Ora, i precedenti passaggi sono alquanto delicati e richiedono forte pensiero anticipatorio (ad es. l'introduzione del parametro t); a questo punto è giusto scatenare la bestia del calcolo per risolvere il sistema e giungere alla soluzione in funzione di t: L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.4

Ma è solo una bella ‘carica di cavalleria’ con la funzione simbolica e il conseguente cambiamento di frame (da sistemi a piano cartesiano) che permette di risolvere il seguente problema: “con tale formula genero davvero tutte le terne?”. È opportuno interpretare le formule ottenute come sistema (intersezione tra una circonferenza e un fascio di rette) L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.5

IL GIOCO DELLE INTERPRETAZIONI F.z. simbolicaF.z. algoritmica L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.6

3. Abilità ad analizzare una tabella dei valori di una funzione o un grafico per interpretare condizioni enunciate verbalmente, al fine di identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che esprime lo schema appropriato. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.7

”L'ingegneria della formula”: a) consapevolezza che una certa espressione simbolica può essere costruita per un determinato scopo e possesso della 'tecnologia' necessaria per farlo; b) capacità di mettere a fuoco le caratteristiche tecniche e di forma che l'espressione dovrà avere; c) capacità di modificare/ritoccare successivamente la formula per adattarla alla situazione. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.8

Anche queste abilità possono essere sviluppate in una combinazione di metodologie situazione-problema + apprendistato cognitivo. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.9

Esempio (al computer) Dati dei punti nel piano cartesiano scrivere l'equazione di una curva che passi il “più possibile” vicino a questi. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.10

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.11

Alcuni possibili tentativi: L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.12

4. Sensi non equivalenti per significati equivalenti Sviluppo della funzione simbolica La sensazione dei simboli e la confidenza in essi guida alla ricerca di nuovi aspetti dei significati originari. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.13

Esempio: Considera il predecessore del quadrato di un numero dispari. Che cosa si può dire? 8 n(n + 1)/2 È un multiplo di 8 (2n+1) = 4n 2 + 4n = 4n(n + 1) L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.14

5. La scelta dei simboli Si può dire che almeno il 50% della risoluzione di un problema si gioca nel momento della messa in formula. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.15

Esempio. Dimostra che se a un numero di quattro cifre sommi il numero che si ottiene invertendo l'ordine delle cifre del numero di partenza, si ottiene sempre un multiplo di 11. esempio: = 6556 = 11  596 L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.16

Gli allievi che scrivono a· b · c · 10 + d d· c · b · 10 + a facilmente risolvono il problema in quanto sommando ottengono l'espressione: (a+d) · (b+c) · (c+b) · 10 + (d+a) L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.17

Una percentuale non indifferente invece mette in formula il problema con l'espressione: abcd; e ottiene come espressione della somma: (a+d)(b+c)(c+b)(d+a). L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.18

6. Capacità di una manipolazione flessibile (pensiero anticipatorio) - cogliere le circolarità potenziali di certe manipolazioni - aspetti gestaltico-percettivi delle espressioni simboliche L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.19

Esempio 1. Risolvere la seguente equazione nell'incognita v: Il problema è vedere l'equazione nella forma a·v = b + c · v Dopo tutto è fatto. L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 3.20