SOMMARIO Sistemi Ibridi Sistemi Switched Stabilità Controllo Conclusioni

Sistemi ibridi Dinamica discreta Dinamica continua Sistemi di controllo del traffico aereo Sistemi manifatturieri Processi chimici Modelli matematici Perché introdurre un sistema ibrido ? Esiste un approccio formale ad analizzare i sistemi ibridi ? Quali sono i problemi associati a una dinamica ibrida ?

( L, A, E ) L A E Dinamica continua Sistema di equazioni differenziali Dinamica discreta Automa a stati finiti ( L, A, E ) L A E

Inv(l) X Sistema ibrido Diversi approcci Comportamento discreto Sistemi continui con eventi di COMMUTAZIONE

Sistemi switched P Eventi di switching Autonomi Stato-dipendenti Controllati Stato-dipendenti Tempo-dipendenti Stato-dipendenti Tempo-dipendenti P = =

Segnale di switching σ : [0, ∞) → P discontinuità tempi di switching = = Superfici di switching predeterminate switching autonomo Legge che definisce sconosciuta switching controllato Evoluzione del sistema regolata

Stabilità Che cosa si intende per stabilità dei sistemi switched ?

Trovare le condizioni che garantiscono l’asintotica stabilità di un sistema switched per arbitrari segnali di switching Se un sistema switched non è asintoticamente stabile per ogni segnale di switching, identificare quali segnali stabilizzano asintoticamente il sistema Sconosciuto Troppo complicato per essere utile all’analisi della stabilità Se alcuni o tutti i sottosistemi sono asintoticamente stabili Tutti i sottosistemi sono instabili

V P Stabilità di Lyapunov (teorema di Lyapunov) se esiste (stabile) = = 0 (as. stabile) Stabilità sotto arbitrari switching Asintotica stabilità Uniforme asintotica stabilità Possibilità di estendere il teorema alla famiglia di sistemi switched = - P Esistenza funzione di Lyapunov comune GUAS

x = A Sistemi lineari switched Asintotica stabilità = Hurwitz < 0 Esistenza di quadratica GUES Quadratica stabilità , as.stabili GUES commutano

Stabilità sotto particolari switching a.s. = , = ( ), i < j = = , - ≤ -

semplicemente connesso Controllo Sistema di controllo Tempo continuo Controllo Feedback continuo controllore ostacoli dello spazio di stato - vincoli anolonomi Ostacoli dello spazio di stato = = Globale asintotica stabilizzazione Legge feedback continua X non è semplicemente connesso

0 punto di equiibrio as. stabile Ostacolo proprietà topologiche di X Locale as. stabilizzazione attraverso un feedback continuo sia impossibile Ostacolo è insito nel sistema di equazioni origine punto asintoticamente stabile Theorem (Brockett)

Vincolo anolonomo in un sistema Robot mobile Vincolo di puro rotolamento as. stabilizzazione veicolo nell’origine Brockett violato Non può essere stabilizzato con un feedback continuo Attraverso cambi di coordinate

La legge feedback Il sistema diviene Una legge di controllo che muova lo stato lontano da z

Risultati dell’implementazione mediante MATLAB

Conclusioni I sistemi ibridi che rappresentano un’interazione tra dinamica continua e discreta e che hanno permesso di stabilizzare un sistema di controllo altrimenti non risolubile. Le considerazioni intorno alle due questioni fondamentali relative alla stabilità dei sistemi switched hanno consentito l’individuazione di condizioni necessarie e sufficienti alla stabilità dei sistemi stessi. L’implementazione di una legge di controllo a commutazione per la movimentazione di un veicolo con vincoli anolonomi. Come possibile sviluppo di questo lavoro si potrebbe ricercare un controllo ibrido che, oltre ad assicurare l’asintotica stabilità del veicolo, ponga dei vincoli sul numero di oscillazioni in modo tale da renderne più uniforme l’andamento asintotico e migliorarne così la stabilizzazione.