EQUAZIONI di primo grado numeriche intere con una incognita

3x + 14 = 5 radice dell’ equazione Si chiama EQUAZIONE un’ uguaglianza fra due espressioni algebriche verificata soltanto per particolari valori attribuiti alle lettere ( dette incognite ). Esempio : data l’ uguaglianza 3x + 14 = 5 si verifica che è l’unico valore attribuito alla x che soddisfa l’uguaglianza è -3 , solo questo valore rende vera l’equazione trasformandola in un’identità. Il valore x= -3 costituisce la soluzione o radice dell’ equazione L’ EQUAZIONE CONTIENE LA SOLA INCOGNITA X CON L’ESPONENTE 1 SOTTINTESO, PER QUESTO SI DICE DI PRIMO GRADO . QUESTO TIPO di EQUAZIONI HANNO - IN GENERALE - UNA SOLA SOLUZIONE

* Cominceremo ad occuparci di equazioni contenenti Osservazioni : * Cominceremo ad occuparci di equazioni contenenti una sola incognita. * La lettera più spesso usata per indicare l’incognita è la X ma si possono usare anche altre lettere ( di solito le ultime dell’alfabeto la Y, la Z …..) * Le espressioni algebriche che si trovano a sinistra e a destra del segno = , si chiamano –rispettivamente – PRIMO e SECONDO MEMBRO dell’ EQUAZIONE * Se si sostituisce un numero al posto dell’incognita in un’equazione, questa si trasforma in un’uguaglianza fra due espressioni numeriche , che possono risultare Vere o False.

a)DETERMINATA se ammette un numero finito di soluzioni Un’ equazione può essere : a)DETERMINATA se ammette un numero finito di soluzioni l’equazione 2x – 6 = 0 è DETERMINATA perché ammette solo la soluzione x = 3 b) INDETERMINATA se ammette infinite soluzioni l’ equazione (x+1)2-2x=x2 +1 , risolta porta ad ottenere il primo MEMBRO, uguale al seondo MEMBRO. Qualunque numero diventa soluzione, è INDETERMINATA c) IMPOSSIBILE se non ammette nessuna soluzione. l’equazione x = x + 6 è IMPOSSIBILE perché non esiste alcun numero che sostituito sia uguale al numero stesso aumentato di sei.

EQUAZIONE Un ‘ equazione è FRAZIONARIA se l’incognita si trova al denominatore di qualche frazione. In caso contrario è INTERA EQUAZIONE Un’ equazione è LETTERALE se oltre all’incognita Vi compare un’altra lettera. In caso contrario è NUMERICA

11 – 7x = 3x +1 (x-1)2 – 3x +1 = 2 –x sono INTERE 4 e numeriche ESEMPI 2x – 3 = 5 + 7x è FRAZIONARIA x+3 x 11 – 7x = 3x +1 (x-1)2 – 3x +1 = 2 –x sono INTERE 4 e numeriche 2ax – 3x = 1- x è LETTERALE , con x incognita, a è la lettera (o parametro).

1° principio RISOLVERE un’equazione significa trovare, se esistono, la/le soluzione/i. Per farlo si fa uso di due PRINCIPI , detti di EQUIVALENZA Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o stessa espressione letterale si ottiene un ‘ equazione equivalente a quella data. 1° principio di equivalenza

Infatti data l’equazione 3x = 15 la cui soluzione è x = 5 , se aggiun- Esempi Infatti data l’equazione 3x = 15 la cui soluzione è x = 5 , se aggiun- giamo +2 ad entrambi i membri si ottiene : 3x + 2 = 15 + 2 che è EQUIVALENTE alla precedente perché ha la stessa soluzione DA QUESTO PRINCIPIO S I POSSONO TRARRE DUE IMPORTANTI DEDUZIONI MOLTO UTILI NELLE RISOLUZIONE DI UN’ EQUAZIONE

La prima conseguenza : Se al primo e al secon- do membro ci sono due termini uguali si pos- sono tralasciare La seconda conseguenza : In un’equazione si Può trasportare un termine da un membro all’altro, purchè lo si cambi di segno 2x – 7 = 5x –1 – 7  2x = 5x – 1 2x = 5x – 1  2x - 5x = -1  -3x = -1

3x = 81  3x = 81  x = 27 ( è la SOLUZIONE ) 3 3 2° Principio di Equivalenza Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero o espressione ( ma sempre diversi da zero ), entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’equazione EQUIVALENTE a quella data in partenza. Esempio : 3x = 81  3x = 81  x = 27 ( è la SOLUZIONE ) 3 3 1 x = - 6  4 • 1 x = -6 • 4  x = -24 ( “ “ “ ) 4 4

Altri esempi : X- 2 + X –5 = 1  2• ( X- 2 ) + 3 • ( X- 5 ) =1 3 2 6 2X – 4 + 3X – 15 = 1  5X - 19 = 1 6 6 6 • 5X – 19 = 6  5X – 19 = 6 6 5X = 19 + 6  5X = 25  5X = 25 5 5 X = 5 ( è la SOLUZIONE )

Attenzione : quando si trasporta un termine da un membro RISOLUZIONE di un’ equazione di primo grado P RO C E D I M E N T O : 1°) si libera, quando è necessario, l’equazione dai denominatori 2°) si eseguono gli eventuali prodotti indicati 3°) si trasportano tutti i monomi con l’incognita al I°membro, e tutti i termini noti al II° membro, poi si riducono i termini simili 4°) si dividono entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente numerico davanti all’incognita Attenzione : quando si trasporta un termine da un membro all’altro si deve cambiare il relativo segno !!

Esempio 6 6 7 - x = 2x+1 – 1-x 14 – x = 2x+1 - 3·( 1- x ) 3 6 6 2 3 6 6 2 14 – x = 2x+1 - 3·( 1- x ) 6 6  Denominatori uguali ,li sopprimiamo e facciamo i calcoli 14 – x = 2x + 1 – 3 +3x Trasportiamo i monomi con la x al I°membro e i termini noti al secondo membro : -x – 2x –3x =-14 +1 –3 , riduciamo i termini simili : - 6x = - 16 , dividiamo per il coeff. numerico davanti alla x -6x = -16  x = 8 che è la SOLUZIONE -6 -6 3

VERIFICA di un ‘ equazione Per fare la verifica si calcolano separatamente i valori che entrambi i membri assumono quando in essi si sostituisce all’incognita x la soluzione ; se tali valori sono uguali la soluzione è esatta ESEMPIO 2X – 4 = X + 11 verifico che X = 10 è la SOL. 2 2· 10 – 4 = 10 + 11  20-4=5+11  16 = 16 x= 10 è proprio la SOLUZIONE