Didattica e Fondamenti degli Algoritmi e della Calcolabilità Terza giornata: principali classi di complessità computazionale dei problemi Guido Proietti Email: guido.proietti@univaq.it URL: www.di.univaq.it/~proietti/index_personal

La classe P La classe P è la classe dei problemi decidibili su una RAM in tempo polinomiale nella dimensione n dell’istanza di ingresso: P = Uc≥0 Time(nc) La classe P contiene i problemi «facili» da risolvere, in quanto una risoluzione in tempo polinomiale, considerata la velocità di un calcolatore, richiede pochi secondi anche se la dimensione dell’istanza divente grande, purché il polinomio non abbia grado troppo elevato! Si dà però il caso che tutti i problemi naturali risolvibili in tempo polinomiale siano dominati da O(n4), e anzi la stragrande maggioranza di essi è dominata da O(n2). Esempi di problemi polinomiali: ordinamento, ricerca, prodotto di matrici, cammini minimi su un grafo, etc. etc. etc.

La classe ExpTime La classe ExpTime è invece la classe dei problemi decidibili su una RAM in tempo esponenziale nella dimensione n dell’istanza di ingresso, ovvero in O(ap(n)), dove a>1 è una costante e p(n) è un polinomio in n; più formalmente, tenendo conto del fatto che ap(n)= (2log a) p(n)= 2 log a (p(n)) = 2q(n), e che un polinomio di grado c è O(nc), si può scrivere: ExpTime=Uc≥0Time(2(nc)) Chiaramente, P ⊑ ExpTime Si può dimostrare che l’inclusione è propria, cioè esistono problemi in ExpTime che non appartengono a P: uno di questi problemi è quello di verificare se dato un generico algoritmo, esso si arresta o meno su un generico input in al più k passi, con k fissato.

Un altro problema in ExpTime: SAT Data un’espressione booleana in forma normale congiuntiva, cioè come congiunzione (operatore logico AND) di un insieme di clausole, in cui ogni clausola è la disgiunzione (operatore logico OR) di un certo insieme di variabili booleane (ovvero, che possono assumere valore TRUE o FALSE) o di loro negazioni, il problema della soddisfacibilità (SAT) richiede di verificare se esiste un’assegnazione di valori di verità alle variabili che rende l’espressione TRUE. Es.: (x1  x2)  (x1  x2  x3) è soddisfacibile: basta scegliere x1=x2=TRUE e x3 arbitrario. Es.: (x1  x2)  (x1  x2)  (x1   x2)  (x1   x2) non è soddisfacibile. Verificatelo… È facile convincersi che SAT appartiene ad ExpTime, in quanto può essere risolto provando le 2n possibili assegnazioni di verità alle n variabili. Ma la vera domanda è: SAT appartiene a P? Sembra incredibile, ma non siamo in grado di dare una risposta a questa semplice domanda, anche se si congettura che la risposta sia NO.

Non determinismo Negli algoritmi visti finora ogni passo è determinato univocamente dallo stato della computazione; vengono quindi detti deterministici. Tale ipotesi dipende dal modello di calcolo che abbiamo adottato (che può eseguire solo operazioni aritmetiche e logiche elementari). Supponiamo ora di avere un modello di calcolo (apparentemente) più potente, ovvero una macchina non deterministica che ci consenta, ad ogni passo dell’esecuzione di un algoritmo, di proseguire la computazione lungo un numero finito di esecuzioni multiple. Si noti che stiamo parlando di un modello di calcolo astratto, che non esiste nella realtà! Un algoritmo non deterministico è un algoritmo che ha il potere, ad ogni istante della computazione non deterministica, di indovinare l’esecuzione giusta lungo cui proseguire per arrivare alla risoluzione del problema, attraverso un’operazione virtuale denominata INDOVINA. Chiamiamo RAM non deterministica una RAM che riconosce algoritmi non deterministici

Esempio Come potrebbe funzionare un algoritmo non deterministico per SAT? Indovina ad ogni passo il valore giusto da assegnare ad una variabile (TRUE o FALSE) La computazione sarà descritta da un albero binario, dove le ramificazioni corrispondono alle scelte non deterministiche (la computazione deterministica è invece descritta da una catena) – Quindi se la formula è soddisfacibile, esiste almeno un cammino che porta a una foglia con valore TRUE. Si noti che tale cammino è lungo n

Esempio (2) Per la formula: (x1  x2)  (x1  x2  x3) x1 x2 x2 x3 x3 x3 x3 T F T F T F T F T F T F T F

La classe NP Data una qualunque funzione f(n), chiamiamo NTime(f(n)) l’insiemi dei problemi che possono essere decisi su una RAM non deterministica (ovvero in grado di riconoscere algoritmi non deterministici) in tempo O(f(n)) La classe NP è la classe dei problemi che possono essere decisi su una RAM non deterministica in tempo polinomiale nella dimensione n dell’istanza di ingresso: NP = Uc≥0 NTime(nc) SAT appartiene a NTime(n), e quindi SAT appartiene a NP

Gerarchia delle classi P è incluso in NP oppure no? Ovviamente sì: un algoritmo deterministico è un caso particolare di un algoritmo non deterministico, in cui però le computazioni non si ramificano L’inclusione è propria? Non si sa, e questo è uno dei 6 problemi matematici aperti la cui risoluzione vi farà vincere 1 Milione di Dollari! (si veda Wikipedia)

Gerarchia delle classi (2) NP è incluso in ExpTime oppure no? Ovviamente sì: un algoritmo non deterministico può essere ‘’simulato’’ da un algoritmo deterministico che esplora una dopo l’altra tutte le computazioni ramificate in tempo esponenziale L’inclusione è propria? Non si sa…

Gerarchia delle classi (3) Quindi abbiamo P ⊑ NP ⊑ ExpTime, con P ≠ ExpTime Si congettura che tutte le inclusioni siano proprie In NP c’è una classe molto speciale di problemi che sicuramente non apparterrebbero a P se fosse NP ≠ P: i problemi NP-completi Questi sono quindi esattamente i problemi per i quali non siamo in grado di esibire un algoritmo risolutivo polinomiale! Sfortunatamente, moltissimi problemi computazionali con cui ci confrontiamo quotidianamente, sono NP-completi! Si può dimostrare che SAT è NP-completo (più precisamente, è stato il primo problema per cui si è provata la NP-completezza [Stephen Cook, 1971])

Gerarchia delle classi Decidibili ExpTime (ARRESTO(k)) P (ricerca) NP NP-completi (SAT) Congettura P ≠ NP

Altri famosi problemi NP-completi Commesso viaggiatore Dati un grafo completo G con pesi reali sugli archi ed un valore reale k, verificare se esiste un ciclo in G di peso al più k che attraversa ogni vertice una ed una sola volta Colorazione Dati un grafo G ed un intero k, verificare se è possibile colorare i vertici di G con al più k colori tali che due vertici adiacenti non siano dello stesso colore

Altri famosi problemi NP-completi (2) Somme di sottoinsiemi Dati un insieme S di numeri naturali ed un intero t, verificare se esiste un sottoinsieme di S i cui elementi sommano esattamente a t Zaino Dati un intero k, uno zaino di capacità c, e n oggetti di dimensioni s1, …., sn cui sono associati profitti p1, …., pn, bisogna verificare se esiste un sottoinsieme degli oggetti di dimensione ≤c che garantisca profitto ≥k