MUSICA PITAGORICA

RELAZIONE TRA LUNGHEZZE DELLE CORDE E SUONI Gli studi della scuola pitagorica sulla musica presero avvio a partire dai suoni prodotti dall’unica corda di uno strumento monocorde, la quale lunghezza veniva modificata in maniera non troppo diversa da come lo facciamo oggi. Essi scoprirono che dalla lunghezza della corda dipendeva il tono di una nota musicale; tanto più corta era la corda, tanto più alta o acuta era la nota prodotta. Tali esperimenti permisero ai pitagorici di mettere in relazione degli «INTERVALLI» con dei semplici rapporti numerici, ad esempio divisero la corda a metà, la ridussero a un terzo, due terzi e così via. Da questa relazione emerse un dato sorprendente: i suoni emessi da corde con lunghezze corrispondenti a rapporti numerici piccoli producevano suoni più gradevoli.

I RAPPORTI Il rapporto numerico più semplice si ottiene premendo la corda a metà della sua lunghezza e numericamente corrisponde a 1:2 mentre in musica corrisponde all’intervallo di ottava (per esempio, la distanza fra un do e il do successivo, tra re e re e così via). Un altro rapporto semplice è quello che si ottiene premendo la corda in un punto corrispondente ad un terzo della lunghezza totale della corda e numericamente si esprime con 2:3 che musicalmente corrisponde a un intervallo di quinta (distanza tra do- sol). Continuando, abbiamo il rapporto che si ottiene quando si preme la corda ad un quarto della sua lunghezza totale, che numericamente corrisponde al rapporto 3:4, mentre nell’ambito musicale all’intervallo di quarta (distanza do-fa). Così emerge uno schema di base secondo il quale gli intervalli dei suoni espressi dalla forma: (n+1)/n sono armonici e gradevoli

INTERVALLI IN SENSO MUSICALE Come abbiamo appena visto, ogni nota ha una frequenza che la identifica e la separa dalle altre. Nonostante ciò, i pitagorici non le studiarono separatamente, ma in base ai rapporti intercorrenti fra loro. Date due note qualsiasi, esse sono separate da un <<intervallo>>, concetto che può essere affrontato sotto due punti di vista. Il primo è pensare agli intervalli come alla distanza musicale che intercorre tra due note. Ad ogni intervallo, viene dato un nome in base alla quantità di note attraverso le quali bisogna passare per giungere da una all’altra. Così per esempio per passare da do a fa bisogna passare per quattro note: do-re-mi-fa. Per questo all’intervallo do-fa viene dato il nome di intervallo di quarta. L’intervallo di ottava segue lo stesso criterio di quello di quarta; per giungere da un do all’altro bisogna passare per otto note: do-re-mi-fa-sol-la-si-do. Gli intervalli citati finora sono tutti ascendenti; esistono anche intervalli discendenti, che si ottengono a partire dalla nota più acuta contando in senso inverso

INTERVALLI NUMERICI L’altro modo di pensare agli intervalli è quello numerico, tramite il confronto proporzionale della frequenza delle note. Due note mantengono fra loro un accordo relativo, in modo che la cosa importante non sia la frequenza assoluta delle note, ma la proporzione numerica fra le frequenze di due note diverse. Ciò permette di confrontare due note secondo l’intervallo che le separa come il rapporto numerico tra le sue frequenze. Ciò significa che se fra i due suoni vi è un intervallo di una quinta, la più acuta avrà una frequenza uguale a 3/2 della frequenza più grave. Il rapporto tra la lunghezza delle corde è esattamente il contrario di quello tra le frequenze

SCALA PITAGORICA Re=sol*3/2*1/2re=3/2*3/2*1/2re=9/8 I pitagorici organizzarono le scale musicali basandosi su semplici rapporti numerici fra i vari suoni. La scala pitagorica è quindi basata su tre intervalli fondamentali: ottava (2/1); quarta (4/3); quinta (3/2). I pitagorici ottennero i diversi suoni della loro scala concatenando le quinte, ricorrendo quindi al metodo di eliminazione delle ottave, ovvero ogni volta che il risultato è maggiore di 2 allora lo si divide per 2; se il risultato è minore di 1 allora lo si moltiplica per 2. Facendo i calcoli, si procede in modo che il valore delle loro frequenze relative si trovi sempre tra 1 e 2. Per prima cosa, posto il do come nota di riferimento e alla quale diamo il valore di 1, occorre stabilire che il sol si trova ad una quinta dal do Sol=do*3/2Sol=1*3/2Sol=3/2 Troviamo subito dopo il re, a una quinta dal sol, dopo aver eliminato un’ottava: Re=sol*3/2*1/2re=3/2*3/2*1/2re=9/8 La distanza tra re e do viene chiamata tono ed è equivalente a due semitoni. Troviamo ora il la, ad una quinta dal re: La=re*3/2la=9/8*3/2la=27/16 Il mi, ad una quinta dal la, dopo aver eliminato un’ottava: Mi=la*3/2*1/2mi=27/16*3/2*1/2mi=81/64 La scala è completata dal si, ad una quinta dal mi, e dal fa , una quinta sotto il do, salendo di un’ottava si=mi*3/2si=81/64*3/2si=243/128 Fa=do*2/3*2fa=4/3

Riassumendo e prendendo il do con valore normalizzato a 1: NOTA Do Re Mi Fa Sol La Si Do2 Rapporto frequenze 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

ZARLINO Il veneziano Zarlino propose, nel 1558 di includere i rapporti 5/4 (terza maggiore) e 6/5 (terza minore) agli intervalli fondamentali nella scala pitagorica. Proponeva quindi di usare anche i numeri 5 e 6, improponibile per i pitagorici che si fermavano al 4. La soluzione di Zarlino consisteva in un temperamento della scala, ossia un tentativo di semplificare alcuni rapporti apparentemente complicati che apparivano nella scala pitagorica

LA SCALA NATURALE La scala che proponeva Zarlino, partendo dal do, rispettava gli intervalli di quinta per calcolare quelle che erano considerate le due note successive più importanti della scala: fa e sol. Successivamente calcola mi , si e la come terze pure di do , fa e sol rispettivamente. La scala è completata da un re accordato come quinta perfetta di sol. Fa <-- Do  Sol Re | La Mi Si

Rapporto fra frequenze I CALCOLI In questo modo si ottenevano intervalli più «puri» e acusticamente più gradevoli. Ma come venivano calcolati? In maniera del tutto simile a quella della scala pitagorica, eccetto per l’uso delle terze maggiori. Si parte calcolando il sol a una quinta pura dal do: Sol=do*3/2sol=3/2 Poi calcolando il fa, in modo analogo a quello di prima: Fa=do*2/3*2fa=4/3 Si trova il la come terza di fa: La=fa*5/4la=4/3*5/4la=5/3 Si procede trovando il si come terza di sol: Si=sol*5/4si=3/2*5/4si=15/8 Il re viene invece calcolato come quinta pura di sol, annullando un’ottava: Re=sol*3/2*1/2re=(3/2)2*1/2re=9/8 NOTA Rapporto fra frequenze Do 1 Re 9/8 Mi 5/4 Fa 4/3 Sol 3/2 La 5/3 Si 15/8 Do2 2