Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione Oggi Lunedi (2h) Moto rettilineo : posizione, velocità accellerazione Moto uniforme v=cost Moto uniformemente accelerato a=cost problema 1 problema 2 problema 3 Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione Derivate di Vettoridipendenti dal tempo Componenti Rettangolari della velocità ed Accellerazione Moto Relativo ad un sistema in traslazione Componenti Normali e Tangenziali Problema 4 Problema 5 rappresentazioni grafiche della cinematica del moto rettilineo + 1h di esercizi alla lavagna

Cinematica: studio della geometria del moto Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far riferimento alla causa del moto. Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze necessarie per produrre un dato movimento. Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea retta. Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.

Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed accelerazione Una particella in movimento lungo una linea retta si dice che è in moto rettilineo. La coordinata x della posizione di una particella è definita dalla misura della sua distanza da un'origine fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può essere sia positiva che negativa ed in un grafico x vs. t. Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto della particella può essere espresso nella forma di una funzione del tempo, ad esempio,

Velocità, moto rettilineo x(t1+ t) pendenza Velocità media Velocità, moto rettilineo pendenza x(t1+ t) t pendenza x(t1+ t) t pendenza x(t1+ t) t x t x(t) pendenza velocità istantanea x(t1) Tangente alla curva in P(t1,x(t1)) ed in un grafico x vs. t. ed in un grafico x vs. t. t1

Velocità media grafico x vs. t.

Velocità, moto rettilineo Consideriamo una particella che occupa la posizione P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+Dt, Velocità Media Velocità istantanea Queste velocità possono essere positive o negative. Il loro modulo (cioè la radice quadrata del quadrato) è sempre positivo. (speed –velocity). Dalla definizione di derivata ad esempio

Accellerazione Istantanea Consideriamo una particella con velocità v al tempo t e v’ al tempo t+Dt, Accellerazione Istantanea Accellerazione Media L’accellerazione puo’ essere : Positiva se: aumenta una velocità positiva oppure diminuisce una V negativa Negativa se: diminuisce una v positiva Oppure aumenta una v negativa Dalla definizione di derivata

Spazio - tempo Velocità- tempo Accellerazione - tempo t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2 t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2 t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t). Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

Determinazione del moto di una particella Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad ogni istante di tempo t. Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due successive operazioni di integrazione nel tempo Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca: accelerazione in funzione del tempo, a = a(t) - accelerazione in funzione del posizione, a = a(x) - accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)

Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo DERIVATE ED INTEGRALI !! Almeno delle funzioni elementari dovete impararli a fare …SUBITO!!! Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2. Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.

accellerazione in funzione del tempo, a = a(t) - accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)

accellerazione in funzione della velocità, a = a(v):

Accellerazione nulla, velocità costante a=0, v=cost. MOTO UNIFORME

Accellerazione costante, a=cost. MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO

accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!

accellerazione in funzione della posizione, a = cost Otteniamo lo stesso risultato

Problema Il moto della palla è un moto uniformemente accellerato, con accellerazione g=-9.81 m/s2 diretta verso il suolo. Cerchiamo il tempo t al quale la velocità è uguale a zero (tempo al quale viene raggiunta la massima altezza) e utilizziamolo per valutare la corrispondente altezza massima Una p.m. (palla) è lanciata con velocità verticale vo= 10 m/s da una finestra posta ad altezza yo = 20 m dal suolo. Determinare: velocità ed altezza rispetto al suolo al tempo t, La massima altezza raggiunta ed il tempo impiegato Il tempo di arrivo al suolo e la corrispondente velocità finale. Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza rispetto al suolo è uguale a zero (tempo d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la velocità al momento dell’impatto

Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una volta per trovare y(t).

Troviamo t tale che, v=0 … la corrispondente altezza ymax

velocità al momento dell’impatto Calcolare il tempo t tale che y(t)=0 Calcolare la corrispondente velocita velocità al momento dell’impatto

Integrare a = v dv/dx = -kv accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno di un cilindro pieno di olio. All’urto con la locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso l’interno del cilindro con velocità iniziale v0, il pistone a sua volta, muovendosi con la stessa velocità, comprime l’olio che può passare ma con difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma causando una decellerazione proporzionale alla velocità Determinare v(t), x(t), e v(x). Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t). Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t). Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x).

SOLUZIONE: Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t). Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

Integrare a = v dv/dx = -kv per trovare v(x). Alternativamente, con e Infine:

Moto rettilineo uniforme v=costante a=0

Moto uniformemente accellerato Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato a=costante

Moti di piu’ parti: moto relativo Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di moto rettilineo lungo la stessa linea. Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per indicare il verso positivo posizione relativa di B rispetto ad A velocità relativa di B rispetto ad A accellerazione di B rispetto ad A

Problema SOLUZIONE: Per la palla: Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato . Per la piattaforma : Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme. Un palla è lanciata da yo=12m di altezza, con vo= 18 in verso l’alto, lungo il condotto di una piattaforma-ascensore In quello stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su con vE= 2 m/s. Determinare (a) quando e dove la palla colpisce la piattaforma e (b) la velocità relativa della palla ed elevatore al contatto Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

SOLUZIONE: Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato . Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.

Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

t x Velocità media pendenza pendenza pendenza pendenza pendenza x(t1+ t) pendenza Velocità media pendenza x(t1+ t) t pendenza x(t1+ t) t pendenza x(t1+ t) t x t pendenza velocità istantanea x(t1) t1

La derivata temporale in grafici Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t). Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

lettura grafica degli integrali nel tempo Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2. Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.

3D Una particella si muove di moto curvilineo se non si muove in modo non-rettilineo Vettore Posizione di una particella al tempo t è definita dal vettore applicato nell’origine O di un sistema di riferimento che punta nella posizione occupata dalla particella al tempo t Velocità istantanea (vettore) Intensità della velocità istantanea (scalare)

2D

Motion of Several Particles: Dependent Motion Position of a particle may depend on position of one or more other particles. Position of block B depends on position of block A. Since rope is of constant length, it follows that sum of lengths of segments must be constant. constant (one degree of freedom) Positions of three blocks are dependent. constant (two degrees of freedom) For linearly related positions, similar relations hold between velocities and accelerations.

Sample Problem 11.5 SOLUTION: Define origin at upper horizontal surface with positive displacement downward. Collar A has uniformly accelerated rectilinear motion. Solve for acceleration and time t to reach L. Pulley D has uniform rectilinear motion. Calculate change of position at time t. Pulley D is attached to a collar which is pulled down at 3 in./s. At t = 0, collar A starts moving down from K with constant acceleration and zero initial velocity. Knowing that velocity of collar A is 12 in./s as it passes L, determine the change in elevation, velocity, and acceleration of block B when block A is at L. Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t. Differentiate motion relation twice to develop equations for velocity and acceleration of block B.

Sample Problem 11.5 SOLUTION: Define origin at upper horizontal surface with positive displacement downward. Collar A has uniformly accelerated rectilinear motion. Solve for acceleration and time t to reach L.

Sample Problem 11.5 Pulley D has uniform rectilinear motion. Calculate change of position at time t. Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t. Total length of cable remains constant,

Sample Problem 11.5 Differentiate motion relation twice to develop equations for velocity and acceleration of block B.

Curvilinear Motion: Position, Velocity & Acceleration instantaneous acceleration (vector) Consider velocity of particle at time t and velocity at t + Dt, In general, acceleration vector is not tangent to particle path and velocity vector.

Derivatives of Vector Functions Let be a vector function of scalar variable u, Derivative of vector sum, Derivative of product of scalar and vector functions, Derivative of scalar product and vector product,

Rectangular Components of Velocity & Acceleration When position vector of particle P is given by its rectangular components, Velocity vector, Acceleration vector,

Rectangular Components of Velocity & Acceleration Rectangular components particularly effective when component accelerations can be integrated independently, e.g., motion of a projectile, with initial conditions, Integrating twice yields Motion of projectile could be replaced by two independent rectilinear motions. Motion in horizontal direction is uniform. Motion in vertical direction is uniformly accelerated.

Motion Relative to a Frame in Translation Designate one frame as the fixed frame of reference. All other frames not rigidly attached to the fixed reference frame are moving frames of reference. Position vectors for particles A and B with respect to the fixed frame of reference Oxyz are Vector joining A and B defines the position of B with respect to the moving frame Ax’y’z’ and Differentiating twice, velocity of B relative to A. acceleration of B relative to A. Absolute motion of B can be obtained by combining motion of A with relative motion of B with respect to moving reference frame attached to A.

Tangential and Normal Components Velocity vector of particle is tangent to path of particle. In general, acceleration vector is not. Wish to express acceleration vector in terms of tangential and normal components. are tangential unit vectors for the particle path at P and P’. When drawn with respect to the same origin, and is the angle between them.

Tangential and Normal Components With the velocity vector expressed as the particle acceleration may be written as but After substituting, Tangential component of acceleration reflects change of speed and normal component reflects change of direction. Tangential component may be positive or negative. Normal component always points toward center of path curvature.

Tangential and Normal Components Relations for tangential and normal acceleration also apply for particle moving along space curve. Plane containing tangential and normal unit vectors is called the osculating plane. Normal to the osculating plane is found from Acceleration has no component along binormal.

Radial and Transverse Components When particle position is given in polar coordinates, it is convenient to express velocity and acceleration with components parallel and perpendicular to OP. The particle velocity vector is Similarly, the particle acceleration vector is

Radial and Transverse Components When particle position is given in cylindrical coordinates, it is convenient to express the velocity and acceleration vectors using the unit vectors Position vector, Velocity vector, Acceleration vector,

Sample Problem 11.10 SOLUTION: Calculate tangential and normal components of acceleration. Determine acceleration magnitude and direction with respect to tangent to curve. A motorist is traveling on curved section of highway at 60 mph. The motorist applies brakes causing a constant deceleration rate. Knowing that after 8 s the speed has been reduced to 45 mph, determine the acceleration of the automobile immediately after the brakes are applied.

Sample Problem 11.10 SOLUTION: Calculate tangential and normal components of acceleration. Determine acceleration magnitude and direction with respect to tangent to curve.

Sample Problem 11.12 SOLUTION: Evaluate time t for q = 30o. Evaluate radial and angular positions, and first and second derivatives at time t. Rotation of the arm about O is defined by q = 0.15t2 where q is in radians and t in seconds. Collar B slides along the arm such that r = 0.9 - 0.12t2 where r is in meters. After the arm has rotated through 30o, determine (a) the total velocity of the collar, (b) the total acceleration of the collar, and (c) the relative acceleration of the collar with respect to the arm. Calculate velocity and acceleration in cylindrical coordinates. Evaluate acceleration with respect to arm.

Sample Problem 11.12 SOLUTION: Evaluate time t for q = 30o. Evaluate radial and angular positions, and first and second derivatives at time t.

Sample Problem 11.12 Calculate velocity and acceleration.

Sample Problem 11.12 Evaluate acceleration with respect to arm. Motion of collar with respect to arm is rectilinear and defined by coordinate r.