Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia Furinghetti Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.1

Dictionnaire des mathématiques ou idée générale des mathématiques di Ozanam (1691, Amsterdam) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.2

L’algebra è come il gatto del Cheshire … The algebrization of mathematics, Samuel Eilenberg (1969) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.3

Che cosa è l’algebra e che cosa è stata nella storia? (Freudenthal, What is algebra and what has been in history, 1976) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.4

L’algebra è simbolismo operazionale 2. attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna. Il modo di pensare algebrico è quindi basato su una logica relazionale più che predicativa 3. libertà da ogni questione ontologica e coinvolgimento, e, legato a ciò, astrazione piuttosto che intuizione Michael Mahoney (1971) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.5

Si cercherà di capire che cosa è l’algebra attraverso ciò che è stata nella storia Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.6

Argomenti trattati parametri, variabili, …algebra scolastica visualizzare l’algebra e scrivere la geometria metodi approssimati e quasi-euristici Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.7

Autori trattati Anonimi Euclide Pappo Diofanto Al-Khwarizmi Viète Descartes Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.8

Argomenti non trattati esplicitazione delle strutture storia dell’insegnamento dell’algebra note biografiche Storia usata come lente di ingrandimento per districare i nodi concettuali fonte di problemi Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.9

Filo rosso: metodo di analisi e sintesi nasce dalla storia (Pappo, Viète,...) va in classe (Smith, Sabbatini, Campedelli) torna alla storia e va in classe (insegnante: Annamaria Somaglia, autore del percorso scelto) flash back flash, ma non pezzi separati Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.10

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.11

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabile a teoremi ed a problemi.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.12

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.13

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa”. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.14

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.15

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.16

In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicché PQ vale AP + BQ Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.17

Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo  PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale  PXA? Allora perché  BAX =  XAP? Analogamente si ragiona per  QBX e  XBA Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.1

Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo  PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale  PXA? Allora perché  BAX =  XAP? Analogamente si ragiona per  QBX e  XBA Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.2

I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone: nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone l’idea di un doppio percorso dalle idee ai principi (ascendente) e dai principi alle idee (discendente). Questo doppio percorso rappresenta un processo completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso, meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a farne un procedimento dimostrativo. Nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d. C.) Proclo dice che Platone insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso], che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per mezzo di esso. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.3

Dalle Collezioni matematiche di Pappo (ediz. di Commandino 1660, Urbino): “Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit, tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes, quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod sit è numero principiorum. Et huismodi processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus vocatur compositio” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.4

In italiano il brano è tradotto in Fonti per la storia della matematica di U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli (1992), p. 88 “Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide, l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il Vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria] avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte da ciò che si cerca, considerato come concesso, per giungere passo dopo passo alla sintesi. Cioè in analisi noi assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora ciò che viene prima di questa,...” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.5

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.6

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.7

Problema VIII (Ghetaldi, 1630, pp.92-93): Data base trianguli, angulum rectum subtendente, & differentia crurum. Invenire triangulum. 90°, base D, differenza lati B. 90°, base AB, differenza lati Z Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.8

Presentiamo la dimostrazione secondo lo schema (“conspectus”) Supponiamo il problema risolto. Sia A = somma lati A/2 + B/2 = l M A/2  B/2 = l m l M 2 + l m 2 = D 2 A 2 /2 + B 2 /2 = D 2 A 2 + B 2 = 2D 2 A 2 = 2D 2  B 2 [questo, come osserva l’autore stesso, è il porisma che permette di trovare la somma dei lati] DB 2 + ED 2 = AB 2 EB 2 /2 + FB 2 /2 = AB 2 EB 2 + FB 2 = 2AB 2 EB 2 = 2AB 2  FB 2 EB 2 = 2AB 2  Z 2 EB 2 = CB 2  EC 2 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.9

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.10

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.11

Le uguaglianze sono fondamentali in algebra, ma non sono proprie solo dell’algebra Euclide, Elementi, Libro I, Nozioni comuni: 1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro 2. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali 3. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. (2) e (3) sono in Al-Khwarizmi (al-jabr = restaurare, completare e al-muqabala = bilanciare, confrontare) Euclide le usa in una forma ‘quasi algebrica’ (vedere Prop.III-35) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.12

Euclide, Elementi, Libro II Le prime 10 proposizioni possono essere viste come identità algebriche provate geometricamente; la 11 e la 14 sono equazioni - i numeri sono sostituiti da segmenti di retta - la somma e la differenza tra numeri è l’ordinaria somma o differenza tra segmenti - il prodotto di due numeri è l’area di un rettangolo i cui lati rappresentano i numeri dati - il prodotto di tre numeri è il volume Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.13

Euclide, Elementi, Libro II, 4 Si divida AB nel punto C e si costruisca il quadrato di lato AB. Preso sul lato BE il punto K tale che BK = CB si traccino da C e da K le parallele rispettivamente ai lati BE e DF. In tal modo il quadrato ABED risulta scomposto nei due quadrati CBKG, HGFD e nei due rettangoli uguali GKEF e ACGH. Posto a = AC, b = BC. Si ha: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.14

L’uso delle uguaglianze in Euclide è caratterizzato da un ambiente non numerico. Si confrontano grandezze, non la loro misura. Le operazioni che si fanno sono “mettere insieme”, “ottenere un rettangolo con due dati lati”,... Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.15

Si può parlare di una aritmetica delle grandezze, ma il significato è molto diverso rispetto a quella dei numeri. Non ci sono i simboli numerici, qui i simboli (per esempio, AC per indicare un segmento) non hanno significato per loro stessi. Le grandezze risultato di un’operazione hanno significato in relazione a quelle da cui provengono. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.16

Il Libro V degli Elementi riguarda la teoria delle proporzioni Def. V.3. Rapporto fra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità Def.V.5. (in termini moderni)  m,n  , ma >nb  ma >nd ma =nb  ma = nd ma < nb  ma < nd Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.17

L’uguaglianza di rapporti coinvolge non solo le grandezze, ma anche relazioni fra esse. Siamo ad un secondo livello di astrazione in cui usiamo relazioni di primo livello (uguale, maggiore, minore). Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.18

Riassumendo: Le uguaglianze presso i Greci hanno due aspetti:  uguaglianze di grandezze  uguaglianze di rapporti (proporzioni) Due grandezze che sono uguali devono essere dello stesso tipo (segmenti, aree, volumi). Per i rapporti ciò è solo parzialmente vero: si confrontano rapporti che possono essere da una parte tra aree ed aree e dall’altra tra segmenti e segmenti. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.19

Lo storico danese Zeuthen (1892) ha introdotto il nome di “Algebra geometrica” a proposito del metodo e del trattamento delle quantità usati per risolvere i problemi nel libro II degli Elementi. Discussione accesa (anni ): da una parte Zeuthen, Tannery, Neugebauer, van der Waerden; dall’altra Freudenthal, Mahoney, Seidenberg, Unguru, A. Weil. Questa discussione è collegata alla risposta che si dà alla domanda “Che cosa è l’algebra?” Per esempio, quando proponiamo agli studenti un problema del tipo 5 + ∆ = 14, chiediamo di risolvere un’equazione o solo di fare dei calcoli su numeri? Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.20

Van der Waerden (1976) dice: “Quando parlo di algebra babilonese o greca o araba, intendo algebra nel senso di Al-Khwarizmi o dell’Ars Magna di Cardano, o nel senso della nostra algebra scolastica. L’algebra, allora, è l’arte di manipolare espressioni algebriche come (a + b) 2 e di risolvere equazioni come x 2  ax = b [...] senza curarsi del simbolismo usato nel testo. Se questa definizione è applicata ad un testo arabo o babilonese è irrilevante quale simbolismo il testo usa”. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.21

Uno stesso problema può presentarsi in diverse forme: L’area del quadrato costruito su due segmenti si trova sommando il doppio del rettangolo sui due segmenti alla somma dei quadrati su ognuno dei segmenti (algoritmica) Se si divide a caso un segmento in due parti, il quadrato costruito su tutto il segmento è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo che ha per lati le parti (geometrica) Il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato di uno più il quadrato dell’altro, più il doppio del prodotto dei due numeri (retorica) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (simbolica) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.1

Problemi relativi alla pratica didattica collegati alla polemica presa in considerazione:  possiamo vedere le due posizioni come non contrapposte, bensì complementari?  quale uso del mediatore geometrico?  si arriva alla liberazione da ogni questione ontologica attraverso situazioni fortemente ‘ontologiche’?  grado di accettazione da parte degli studenti Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.2

Gli storici hanno considerato tre aspetti relativamente all’algebra  retorico: il problema e la soluzione si scrivono nella prosa corrente  sincopato: i singoli autori introducono abbreviazioni stenografiche  simbolico: sono usati veri e propri simboli Ci sono sovrapposizioni di questi aspetti, anche nello stesso autore e nella stessa opera Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.3

L’introduzione dei simboli non è avvenuta dall’oggi al domani. Un esempio di primo uso dei simboli si ha in Raffaello Canacci (abacista fiorentino della metà del Quattrocento): “adunque segnerò porgi glorechi e attendi cholla memoria acoché imprenda meglio quelo ch’io dicho” Le ragioni per l’introduzione dei simboli furono intellettuali, ma anche pratiche. Il decollo avvenne nei secoli XVI e XVII, essenzialmente per due motivi:  i problemi complicati necessitano di semplificazioni  la stampa dei libri richiedeva la standardizzazione delle lettere di stampa Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.4

Algebra in Mesopotamia C’è un gran numero di problemi del tipo: trovare le dimensioni di un rettangolo con area 96 e in cui la somma della base con l’altezza è 20. In forma moderna:x + y = 20 xy = 96 Neugebauer (1957) la chiama “forma normale”. Si opera sui numeri dati, seguendo le istruzioni di uno scriba 1. Dividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = Elevare al quadrato: 10 2 = Togliere l’area data, 96, a 100: 100  96 = 4 4. Estrarre la radice quadrata: 2 5. La base è =12, l’altezza è 10  2 = 8 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.5

Algebra in Mesopotamia Come si vede, la forma retorica rende difficile vedere le sostituzioni per noi facili I problemi quadratici più complessi sono ricondotti alla “forma normale” (trovare due numeri nota la loro somma o differenza ed il loro prodotto) Manca il simbolismo algebrico Termini come lunghezza, larghezza, area, volumi sono usati in modo astratto (si sommano tra loro senza scrupoli) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.6

Algebra in Mesopotamia I processi mentali sono di tipo “algebrico”, la geometria ha un ruolo ausiliario. Sono trattate: - equazioni di primo grado (anche nei papiri egizi) - equazioni di secondo grado - particolari equazioni di terzo grado - equazioni di grado superiore riconducibili a equazioni secondo e terzo grado Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.7

Algebra in Mesopotamia Gli Assiro-babilonesi erano abili nei procedimenti algoritmici (si veda il calcolo di Tavoletta YBC 7289 collezione di Yale Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.8 riportato nella seguente tavoletta)

Algebra in Mesopotamia In riferimento alla tavoletta precedente: (nel sistema sessagesimale) sul lato è segnato il numero 30 e sulla diagonale i numeri 1;24,51,10 e 42;25,35 42;25,35 è la misura della diagonale ottenuta assumendo come valore approssimato di  2 1;24,51, / / /60 3 = 1, secondo Neugebauer  2  3/2 = 1;30 (per eccesso: (3/2) 2 = 9/4) 2:2/3 = 4/3 =1;20 valore medio di queste due approssimazioni è 1;25 ripetendo 1;25 e 1;24,42,21 che ha come media aritmetica 1;24,51,10 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.9

Potenzialità didattiche Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.10

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.11

In Diofanto troviamo: quadrato, cubo, biquadrato, quadrato- cubo, cubo-cubo,... introduce dei simboli per indicarli arithme, che è una “quantità indeterminata di unità”, per cui usa sempre lo stesso simbolo,  l’arithme è assoggettato agli stessi trattamenti dei numeri (che, per Diofanto, sono solo i razionali positivi) Diofanto crea un linguaggio con una sintassi ben definita Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.12

Diofanto, Problema 27 libro I (tradotto da Ver Eecke) Trovare due numeri la cui somma e prodotto formano due numeri dati “ Proponiamo che la somma dei numeri sia 20 unità e che il loro prodotto sia 96 unità. La differenza dei numeri sia 2 arithme. Allora poiché la somma dei numeri è 20 unità, se noi la dividiamo in due parti uguali, ciascuna delle parti sarà la metà della somma, ovvero 10 unità. Dunque se aggiungiamo ad una delle parti e togliamo dall’altra, la metà della differenza dei numeri, cioè 1arithme, si stabilisce di nuovo che la somma dei numeri è 20 unità e che la loro differenza è 2 arithme. In conseguenza, poniamo che il numero più grande sia 1 arithme aumentato di 10 unità che sono la metà della somma dei numeri; dunque il numero più piccolo sarà 10 unità meno 1 arithme e si stabilisce che la somma dei numeri è 20 unità e che la loro differenza è 2 arithme. Bisogna anche che il prodotto dei numeri sia 96 unità. Il loro prodotto è 100 unità meno un quadrato d’arithme, che uguagliamo a 96 unità e l’arithme diventa 2 unità. In conseguenza, il numero maggiore sarà 2 unità ed il minore sarà 8 unità e questi numeri soddisfano la proposizione.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.13

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.1 Frontespizio del trattato di algebra di Al-Khwarizmi

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.2 Risoluzione dell’equazione x 2 +10x = 39 nel trattato di algebra di Al-Khwarizmi.

Risoluzione dell’equazione x 2 +10x = 39 dalla versione latina di G. Libri (1838) Il problema è che questo censo (x 2 ) e dieci radici (10x) sono uguali a 39 dracme. Sia quindi una superficie quadrata di lati sconosciuti, la quale è il censo, il quale e le radici del quale vogliamo conoscere: sia essa la superficie a.b e ciascuno dei lati del quadrato è la sua radice. Si moltiplica ciascun lato del quadrato per un certo numero (un segmento), allora il numero (un’area) che è stato aggiunto è il numero delle radici (10) che sono proprio la radice di quella superficie. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.3

Risoluzione dell’equazione x 2 +10x = 39 dalla versione latina di Libri (segue) Dopo che si è detto che con il censo ci sono dieci radici, prenderò la quarta parte di dieci, che è 2,5. E farò la superficie con ciascun quarto e con uno dei lati della superficie del quadrato [sta costruendo un rettangolo su ciascun lato del quadrato]: ci saranno dunque con la prima superficie, che è la superficie a.b quattro superfici uguali, la lunghezza di ciascuna delle quali, è uguale alla radice di a.b, e la larghezza è 2,5; le quali sono le superfici g. h. t. k. Alla radice della superficie che è di lati uguali e ignoti (cioè il quadrato che sta costruendo come completamento di quello iniziale a.b), manca ciò che è tolto dai 4 angoli. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.4

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.5 x 2 +10x = 39

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.6 Il quadrato ab ha area x 2. I quattro rettangoli t, h, g, k hanno lati x e 10/4. L’area del poligono a croce è x 2 + 4(10/4), che vale 39. Se completiamo la figura con i quattro quadratini di lato 10/4, otteniamo un quadrato di lato x + 2(10/4) e di area 39+4(10/4) 2 x 2 +10x = 39

Usa l’ipotesi che il quadrato AB più i quattro rettangoli t, k, g, h sono uguali a 39. Differenza coi Greci: l’analisi sono coinvolti numeri (identifica segmenti, rettangoli,...) con le loro misure (10, x, 39,...) si può parlare di dimostrazione non numerica all’interno di una “aritmetica delle grandezze” si usa una teoria “intuitiva” della misura Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.7

Diversi modi di scrivere la formula 3x 3  6x 2 = 4x + 5 forma retorica: Sei volte il quadrato del mio numero si sottrae tre volte il cubo del numero e chiedo uguale a quattro volte il numero più cinque forma sincopata: 3cu m 6ce ae 4co p 5 (Luca Pacioli, 1494) forma simbolica: 3 Acu  6Aq aequatur 4A + 5 (Viète, 1591) 3xxx  6xx  4x + 5 (Descartes, 1637) 3 x 3  6 xx + 4x + 5 (Wallis, 1693) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.8

Una pagina di Viète Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.9

François Viète ( ) espone il suo programma nel trattato In artem analyticen isagoge (1591). Il suo scopo principale è di riabilitare, restaurare e migliorare l’analisi degli antichi. Distingue tre parti o funzioni dell’arte analitica: 1) la messa in equazione sotto una forma ordinata che permette di trovare una proporzione corrispondente (“Zetetica” ) 2) la verifica della validità di (1), cioè che si può fare il percorso in senso inverso, chiamato sintesi (“Poristica”) 3) la soluzione effettiva del problema, sotto forma numerica o geometrica secondo i casi (“Esegetica”, “Retica”) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.10

Viète usa la “logistica speciosa” o calcolo sui simboli (usati sia per incognite che per dati, in contrapposizione alla “logistica numerale”) L’opera di Viète è di difficile lettura per l’uso di neologismi (in greco,...), le intenzioni, il metodo... Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.11

Elementi fondamentali del calcolo algebrico in Viète: 1) “antitesi” (trasporto di un membro da un termine all’altro di un’equazione) 2) “ipobalismo” (soppressione di un fattore comune a tutti i termini di un’equazione) 3) “parabolismo” (divisione di tutti i termini di un’equazione per un termine arbitrario) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.12

 Nella tradizione euclidea il linguaggio delle proporzioni era il più generale strumento di espressione matematica e Viète ne è impregnato. Indica, però, l’equivalenza fondamentale tra le proporzioni e le equazioni  Viète è un prodotto dell’ambiente umanistico del suo tempo  Secondo l’umanista Petrus Ramus la conoscenza deve essere organizzata in argomenti che dovrebbero essere intrisecamente omogenei. L’algebra, dipendendo dalla geometria e dall’aritmetica, non soddisfa questo principio.. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.13

 In Viète permane la preoccupazione per l’omogeneità. Viète stabilisce una doppia nomenclatura sugli scalari o potenze da una parte (lato, quadrato, cubo, quadrato di quadrato, quadrato in cubo,...) e dall’altra, sulle grandezze che possono essere loro paragonate (lunghezza, o larghezza, piano, solido, piano-piano, piano-solido,...)  La manipolazione algebrica deve dunque accompagnarsi a ciò che noi chiameremmo la dimensione  questa omogeneità è una sorta di “garante ontologico” delle operazione ed un “regolatore semantico”. Si tratta di una condizione pesante abbandonata già da Harriot e Ghetaldi. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.14

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.15 Un esempio di problema in Viète

Viète, Zeteticorum, libro I “Data la differenza di due lati e la loro somma, trovare i lati. Sia B la differenza dei due lati e D la loro somma; è richiesto di trovare i lati. Sia A il lato minore; allora il maggiore sarà A + B. Dunque la somma dei due lati sarà A2 + B. Ma la somma dei lati è data come D. Allora A2 + B = D. e per antitesi, A2 sarà uguale a D  B, e se essi sono dimezzati, A sarà uguale a D1/2 + B1/2. Oppure, sia E il lato maggiore. Allora il minore sarà E  B.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.16

Viète, Zeteticorum, libro I “Dunque la somma dei lati sarà E2  B. Ma la stessa somma è data come D. Dunque E2  B uguaglia D, e per antitesi, E2 uguaglia D + B, se essi sono dimezzati, e sarà uguale a D1/2 + B1/2.” Dunque, con la differenza e la somma di due lati data, i lati sono trovati. Infatti, metà somma dei lati meno metà della loro differenza è uguale al lato minore, e metà della loro somma più metà della loro differenza è uguale al maggiore. Quod ipsum... La qual cosa stessa è mostrata dalla Zetesis.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.17

“In artem analyticem Isagoge Serosim excussa ab opere restitutae Mathematicae Analyseos, seu, Algebra nova” Vaulézard: “Introduction en l’art analytic ou nouvelle algèbre” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.18

Riflessioni didattiche che cosa resta nella nostra scuola di questo programma? il metodo (l’analisi) viene prima; lo strumento (il linguaggio algebrico) deve essere ben padroneggiato, ma al fine di servire.  il metodo di analisi è trasversale nella matematica  l’analisi favorisce l’interdisciplinarità Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.19

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.20

Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp ): “Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili, la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la mente invece che coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre scienze [Logica, Algebra, Analisi dei Geometri] fosse esente dai loro difetti. [...]” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.21

Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp , segue) Il secondo [precetto da osservare nel lavorare] consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di essa. [...] Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e facili, di cui di solito si servono i Geometri nelle loro più difficili dimostrazioni, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose conoscibili dall’uomo si susseguissero nello stesso modo, e che [...] non potessero darsi conoscenze così remote da non poter infine essere raggiunte né così nascoste che non potessero scoprirsi. [...] in tale modo avrei preso quanto di meglio offrivano l’Analisi dei Geometri e l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’altra. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.22

Il pensiero di Descartes Ogni problema geometrico può facilmente essere ridotto a tali termini che una conoscenza di lunghezze di certe rette è sufficiente per la sua costruzione. Infine, per essere sicuri di ricordare i nomi di queste rette, dovrebbe essere sempre fatta una lista separata ogni qualvolta i nomi sono assegnati o cambiati, per esempio, possiamo scrivere, AB = 1, cioè AB è uguale a 1; GH = a, BD = b e così via. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.23

Il pensiero di Descartes (segue) Se, allora, vogliamo risolvere un problema, dapprima supponiamo la soluzione già trovata e diamo dei nomi a tutte le rette che sembrano utili per la loro costruzione, a quelle che sono ignote come a quelle che sono note. Poi, non facendo nessuna distinzione tra rette note e ignote, dobbiamo districare la difficoltà in qualunque modo che mostri più naturalmente le relazioni [quelle che portano a equazioni] tra queste rette, finché troviamo possibile esprimere una singola quantità in due modi. Questo costituisce un’equazione, poiché i termini di una di queste due espressioni sono insieme uguali ai termini dell’altra.” dell’altra”. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.24

Descartes parla di relazioni; che tipo di relazioni? - equazioni e proporzioni - non quelle che ha in mente Mahoney, che sono più generali - però con la non distinzione tra rette note e incognite l’algebra di Descartes è già proiettata verso l’algebra delle strutture Riguardo alle questioni ontologiche: - non tratta rette, ma misure di rette L’algebra di Descartes è basata sulla misura di grandezze geometriche e relazioni tra queste misure Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.25

Situazione quando arriviamo a Descartes:  la teoria delle proporzioni è ancora in auge  esiste ancora la necessità per una teoria di essere omogenea La discussione su Descartes fa emergere due elementi fondamentali nella storia dell’algebra:  il pensiero analitico  la teoria della misura Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.26

Epilogo la nostra lettura della storia porta a concludere che  l’algebra non è solo un’estensione del dominio numerico  l’algebra non è solo una questione di usare simboli  l’algebra è un modo di manipolare relazioni il metodo di analisi è il cuore dell’algebra Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.27

una lettura darwinista della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento ci porta a parlare di una selezione naturale delle idee. Risultano vincenti quelle legate all’analisi. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.28