(descrizione quantitativa del moto dei corpi) Cinematica (descrizione quantitativa del moto dei corpi) Adesso riprenderemo una serie di concetti e di grandezze fisiche di cui abbiamo già parlato e di cui abbiamo già fatto uso sia pure empiricamente e ne daremo la definizione formale e operativa. In particolare: Posizione Spostamento Velocità Accelerazione Lo faremo prima per il caso unidimensionale e poi per i moti in due o tre dimensioni L’oggetto di cui studieremo il moto sarà un «punto materiale», cioè uno oggetto privo di estensioni e quindi privo di fenomeni vibrazionali o rotazionali © Nichi D'Amico

Moto in una dimensione Posizione Spostamento Velocità Accelerazione © Nichi D'Amico

in un «universo unidimensionale» Posizione La posizione di un punto materiale in una dimensione è la sua coordinata sull’asse di riferimento x1 x O Quindi: di quante informazioni abbiamo bisogno per definire la posizione di un punto materiale ? Una sola: x1 Quindi la posizione in un «universo unidimensionale» è in linea di principio semplicemente uno scalare © Nichi D'Amico

Non c’è dubbio però che la posizione di un punto materiale può anche essere definita come un vettore r1 x1 x O Nel caso in questione il vettore r1 ha modulo x1 ed è orientato secondo il versore i r1 = x1 i Questa è la definizione che spesso adotteremo, sia perché la formulazione è più elegante, sia perché la cosa ci tornerà utile quando passeremo dalla trattazione del caso unidimensionale al caso a due o tre dimensioni © Nichi D'Amico

Spostamento Supponiamo che il nostro punto materiale si sposti dal punto x1 al punto x2 x1 x2 x O Di quante informazioni abbiamo bisogno per definire lo spostamento del punto materiale ? Posizione originaria Entità dello spostamento Direzione e verso Quindi lo spostamento è comunque un vettore, anche nel caso di un universo unidimensionale x1 x2 x O O © Nichi D'Amico

Δr = r2 - r1 r1 x1 x r2 x2 x Δr = r2 - r1 x1 x2 x Nel formalismo che abbiamo adottato per la definizione della posizione, e cioè un formalismo vettoriale, lo spostamento altro non è che la variazione Δr del vettore posizione r Δr = r2 - r1 r1 x1 x O r2 x2 x O Δr = r2 - r1 x1 x2 x O © Nichi D'Amico

v = Δr / Δt m / s Velocità Δr = r2 - r1 x1 x2 x Δt La velocità di un punto materiale è la rapidità con cui la sua posizione cambia nel tempo Quindi: se il nostro punto materiale effettua il suo spostamento da x1 a x2 in un Intervallo di tempo Δt: Δr = r2 - r1 x1 x2 x O O Tempo impiegato Δt definiremo la velocità media come: v = Δr / Δt m / s La velocità così definita è detta velocità media in quanto la misura dello spostamento Δr e del tempo trascorso Δt non ci danno informazioni sull’effettivo moto effettuato dal punto materiale fra i punti x1 e x2 ed è un vettore, in quanto risulta dal rapporto fra un vettore (lo spostamento) ed uno scalare (il tempo). © Nichi D'Amico

? v = Δr / Δt Velocità istantanea x Δr Δt La definizione di velocità media può essere utile, ma non ci aiuta a descrive i dettagli del movimento del nostro punto materiale. Si noti per esempio che se durante l’intervallo di tempo Δt il punto materiale in questione torna al punto di partenza, la sua velocità media durante quell’intervallo di tempo risulta pari a zero. Siamo quindi certamente interessati alla definizione di velocità istantanea così da potere ottenere informazioni per esempio su un moto del genere: Δr x O Come ottenere informazioni più dettagliate del semplice rapporto: ? v = Δr / Δt Δt Tempo t © Nichi D'Amico

x O Δr1 Δt1 Tempo t v1 = Δr1 / Δt1 © Nichi D'Amico

x O Δr2 Δt2 Tempo t v2 = Δr2 / Δt2 © Nichi D'Amico

x O Δr3 Δt3 Tempo t v3 = Δr3 / Δt3 © Nichi D'Amico

x O Δr4 Δt4 Tempo t v4 = Δr4 / Δt4 © Nichi D'Amico

x O Δr5 Δt5 Tempo t v5 = Δr5 / Δt5 © Nichi D'Amico

x O Δr6 Δt6 Tempo t v6 = Δr6 / Δt6 © Nichi D'Amico

x O Δr7 Δt7 Tempo t v7 = Δr7 / Δt7 © Nichi D'Amico

x O Δr8 Δt8 Tempo t v8 = Δr8 / Δt8 © Nichi D'Amico

Possiamo rifare questo esperimento, adottando intervalli consecutivi di tempo Δti sempre più piccoli, ottenendo così informazioni sempre più dettagliate sulla velocità media vi durante ogni istante di tempo. x x Tempo t Tempo t © Nichi D'Amico

v = lim ( Δr/Δt ) m / s x = v t x x Ad un dato istante t si definisce velocità istantanea v il valor limite a cui tende il Rapporto Δr / Δt quando Δt tende a zero: v = lim ( Δr/Δt ) m / s Δt→0 x = v t x x Δt→0 In ogni punto, la velocità istantanea è il coefficiente angolare della retta tangente la curva x(t) Tempo t Tempo t © Nichi D'Amico

v = lim ( Δr/Δt ) dr d dx dy dz v = = (xi + yj + zk) = i + j + k dt dt Il limite: v = lim ( Δr/Δt ) è la definizione matematica di derivata: v = dr/dt che nel caso unidimensionale in questione si riduce a: vx = dx/dt mentre in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale (x,y,z) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti: dr d dx dy dz v = = (xi + yj + zk) = i + j + k dt dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k © Nichi D'Amico

Accelerazione a = (v2 – v1) / (t2 – t1) = m / s2 Δv / Δt Come abbiamo visto, in generale la velocità istantanea di un punto materiale in movimento può cambiare nel tempo, e questo porta alla definizione di un’altra grandezza fisica: l’accelerazione. Così come la velocità esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia la sua posizione, l’accelerazione esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia la sua velocità. Se un punto materiale ad un dato istante t1 si muove con velocità v1 e ad un altro dato istante t2 si muove con velocità v2 l’accelerazione media a è data dal rapporto: a = (v2 – v1) / (t2 – t1) = m / s2 Δv / Δt © Nichi D'Amico

Osservando di nuovo il fenomeno con maggiore risoluzione temporale, misurando cioè l’accelerazione in intervalli di tempo Δt sempre più piccoli, perveniamo alla definizione di accelerazione istantanea: a = lim ( Δv/Δt ) m / s2 Δt→0 v In sostanza, l’accelerazione istantanea tiene conto della rapidità con cui cambia nel tempo il coefficiente angolare della la tangente alla curva v(t). Tempo t © Nichi D'Amico 21

a = lim ( Δv/Δt ) dv d dvx dvy dvz a = = (vxi + vyj + vzk) = i + j + k Anche in questo caso il limite: a = lim ( Δv/Δt ) è la definizione matematica di derivata: a = dv/dt che nel caso unidimensionale in questione si riduce a: ax = dvx/dt Anche in questo caso, in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale (x,y,z) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti: dv d dvx dvy dvz a = = (vxi + vyj + vzk) = i + j + k dt dt dt dt dt a = ax i + ay j + az k © Nichi D'Amico

ax = dvx /dt ay = dvy /dt az = dvz /dt Dalle relazioni: ax = dvx /dt ay = dvy /dt az = dvz /dt e dalle: vx = dx /dt vy = dy /dt vz = dz /dt Risulta: ax = dvx /dt = d2x /dt2 ay = dvy /dt = d2y /dt2 az = dvz /dt = d2z /dt2 Risulta quindi che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione © Nichi D'Amico

CINEMATICA UNIDIMENSIONALE Formule e grafici Ricapitolando: in cinematica unidimensionale, il nostro «universo» è costituito da una retta, nella quale sono definiti un punto zero arbitrario, origine, una direzione e un verso: Il nostro punto si muove SOLO lungo questa retta: può variare la velocità, invertire il senso di marcia, ma comunque il suo moto avviene solo lungo la retta. © Nichi D'Amico

del nostro punto materiale lungo la retta in questione. Possiamo quindi definire una variabile x(t) che rappresenta ad ogni istante la posizione del nostro punto materiale lungo la retta in questione. Adottiamo un sistema di assi cartesiani, ponendo x (t) come variabile dipendente sull’asse delle ordinate, e t come variabile indipendente sull’asse delle ascisse. x(t) t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Primo esempio: il nostro punto materiale è fermo in una posizione A A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A E la sua rappresentazione grafica è una retta orizzontale x(t) A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Secondo esempio: il nostro punto materiale si muove a velocità costante v = dx/dt = B A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A + Bt dove v x = dx/dt = B E la sua rappresentazione grafica è una retta con coefficiente angolare B x(t) A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Terzo esempio: il nostro punto materiale si muove con accelerazione costante a = d2x/dt2 = C A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A + Bt + Ct2 Dalle due definizioni: v = dx/dt a = dv /dt Si ha: a = d2x/dt2 = 2C x(t) = x0 + v0 t + ½ at2 Pendenza > B x(t) Pendenza = B A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Quarto esempio: il nostro punto materiale si muove di moto oscillante A - A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A cos (ωt) E la sua rappresentazione grafica è la corrispondente funzione trigonometrica x(t) A t © Nichi D'Amico - A

Moto di un corpo in caduta libera Un dato sperimentale: tutti i corpi, indipendentemente dalla loro forma, dimensione, sostanza, etc… cadono per terra con la medesima accelerazione. Apparentemente questo potrebbe sembrarci semplicemente falso, perché nel nostro immaginario, una foglia e una biglia acquisiscono accelerazioni differenti nella caduta a terra. In effetti normalmente nella nostra esperienza quotidiana, i corpi NON sono in caduta libera L’aria è un fluido: la foglia in pratica galleggia in questo fluido, mentre la biglia, soprattutto se di piccole dimensioni, risente poco dell’attrito con l’aria. Ma nel vuoto tutti i corpi in caduta libera acquisiscono la stessa accelerazione g © Nichi D'Amico

y a = costante = -g y = y0 + v0t – ½ gt 2 In prossimità della superficie terrestre, g = 9.8 m / s2 Definiamo allora il nostro sistema di riferimento e applichiamo le equazioni del moto Assumiamo come asse la direzione verticale y e fissiamone il verso positivo verso l’alto. y a = costante = -g In analogia con quanto abbiamo già discusso, le equazioni del moto saranno pertanto: y = y0 + v0t – ½ gt 2 © Nichi D'Amico