Calcolo delle probabilità a cura di Maurizio Brizzi CORSO DI LAUREA IN FINANZA E ASSICURAZIONI Corso integrato di Statistica e Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità a cura di Maurizio Brizzi

3 - Modelli distributivi discreti e continui

Variabile aleatoria degenere Un v.a. X è detta degenere se assume un solo valore c con probabilità 1. Tale variabile si indica di solito con d(c). Il valore atteso di una v.a. degenere è E[d (c)] = c. La varianza di una v.a. degenere è nulla. Esempio. Un investimento a tasso fisso predeterminato può essere rappresentato da una v.a. degenere, in quanto il guadagno al termine del periodo di investimento è certo e fisso. Se si acquistano 5000 euro di BOT a sei mesi pagandoli 4800 euro, a meno delle spese il guadagno finale al termine dell’operazione sarà di 200 euro con probabilità 1.

Variabile aleatoria di Bernoulli Un esperimento può avere due possibili esiti, che si possono indicare con 0 e 1. La v.a. X associata a un esperimento di questo tipo è la v.a. di Bernoulli, dal nome del matematico svizzero Jacques Bernoulli (1654-1705). Indicando con p la probabilità del valore X=1, la funzione di probabilità è: P(X=0) = 1-p ; P(X=1) = p La funzione di ripartizione è così definita: F(x) = 0 (per x < 0) = 1-p (per 0 ≤ x < 1) = 1 (per x ≥ 1) Valore atteso e varianza: E(X) = 0·(1-p) + 1·p = p E(X2) = 02·(1-p) + 12·p = p V(X) = p – p2 = p (1-p)

Variabile aleatoria uniforme discreta Un esperimento può avere k possibile esiti (k>2), ciascuno dei quali ha la stessa probabilità 1/k. Solitamente i k eventi equiprobabili sono rappresentati con i numeri interi 1,2,…,k Per k=6 si ha il classico esempio del lancio di un dado. La v.a. discreta che rappresenta questo tipo di esperimento si dice uniforme discreta, ed ha la seguente f.d.p. P(X = x) = 1/k, x = 1, 2, …, k La funzione di ripartizione è: F(x) = 0 (per x < 1) = [x]/k (per 1 ≤ x < k) = 1 (per x ≥ k) Valore atteso e varianza: E(X) = (k+1)/2 ; V(X) = (k2+1)/12.

Variabile aleatoria di Poisson Un esperimento consiste nel contare il numero X di volte in cui si verifica un determinato evento in un intervallo di tempo prefissato. Supponendo che la probabilità istantanea dell’evento considerato sia costante, e che il numero medio di volte in cui esso si verifica nell’intervallo definito sia pari a l (non necessariamente intero), il numero X segue appunto una v.a. di Poisson di parametro l. P(X = x) = La funzione di ripartizione non è direttamente esplicitabile. Valore atteso e varianza sono entrambi uguali al parametro l. E(X) = l ; E(X2) = l (l +1) ; V(X) = l (l+1) – l2 = l.

Variabili aleatorie continue: funzione di densità Sia Y una v.a. che può assumere un insieme continuo di valori. Per esempio, il cambio dollaro-euro, lo stipendio di un dipendente, il tempo impiegato per andare in automobile da Milano a Bologna ecc. La probabilità che Y assuma esattamente un valore puntuale y0 va allora considerata nulla, mentre possono essere positive le probabilità di intervalli, anche piccoli, di valori “plausibili”. Il cambio dollaro-euro, per esempio, può senz’altro attestarsi tra 1,219 e 1,221 ma non ha molto senso probabilizzare un cambio esattamente pari a 1,22: considerando i centesimi, i millesimi ecc, un cambio così preciso è virtualmente impossibile. Per una v.a. continua Y non si può quindi definire una funzione di probabilità, ma va introdotto uno strumento che permetta di misurare la probabilità di un intervallo: si definisce allora una funzione di densità fY(y) tale che:

Densità e ripartizione Una funzione di densità è una funzione reale che soddisfa tre condizioni: A) è non negativa B) è positiva su tutto il supporto C) il suo integrale sull’intero asse reale è uguale a 1. La terza condizione deriva dal fatto che l’integrale della densità su R è, per definizione, uguale alla probabilità , che deve essere ovviamente uguale a uno. Applicando ancora una volta la definizione di densità, si ottiene la funzione di ripartizione nel generico punto y0.

Mediana e quantili Poiché i singoli punti hanno probabilità nulla, in una variabile aleatoria continua esiste (salvo casi molto particolari) uno e un solo punto in cui la F.d.R. vale esattamente 1/2, e tale punto può pertanto essere considerato la mediana della v.a. Y. Esempio. Se la v.a. Y ha la seguente F.d.R.: FY(y) = 0 per y < 0 = y2/4 per 0 ≤ y < 2 = 1 per y≥ 2 La mediana è il punto in cui FY(y) = y2/4 = 1/2, ossia: Me(Y) = √2. Lo stesso vale per i quantili di qualunque ordine. Per esempio, se si cerca il primo quartile, esso corrisponde al punto y* tale che FY(y*)=1/4. Nella v.a. dell’esempio precedente, il primo quartile è pari a 1.

Valore atteso di una v.a. continua Il valore atteso di una v.a. continua ha il significato e le proprietà descritte per una v.a. discreta. Cambia però il metodo di calcolo, poiché abbiamo stavolta un’infinità continua di possibili valori e, di conseguenza, al posto di una sommatoria discreta si deve fare ricorso al calcolo integrale. Evidentemente, al posto della funzione di probabilità si deve utilizzare la funzione di densità fY(y). Si ha dunque: E(Y) = Esempio. Se la v.a. Y ha la seguente funzione di densità: fY(y) = y2/9, 0< y < 3 0 altrove Il valore atteso E(Y) si ricava così:

Valore atteso di una trasformata continua Applicando una funzione qualsivoglia g(Y) a una v.a. continua Y si ottiene, come nel caso discreto, una trasformata. Il valore atteso di una trasformata continua g(Y) si ottiene risolvendo l’integrale: In particolare, il valore atteso della trasformata E[Y-E(Y)]2 equivale alla varianza della v.a. continua Y. Anche per il calcolo della varianza V(Y) si può applicare la formula calcolatoria già vista per una v.a. discreta: V(Y) = E(Y2) – [E(Y)] 2

Variabile aleatoria uniforme (rettangolare) Una v.a. uniforme, definita sull’intervallo reale [a, b] , assegna la stessa densità a tutti i valori dell’ intervallo stesso. Poiché l’area sottostante la funzione di densità deve essere uguale a 1, la densità di ciascun punto è il reciproco della lunghezza dell’intervallo: f(y) = 1/(b-a), a < y < b La funzione di ripartizione associata a una siffatta variabile è: Il valore atteso e la varianza di una v.a. uniforme sono: E(Y) = (a+b)/2. V(Y) = (b-a)2 /12

Variabile aleatoria esponenziale Una v.a. esponenziale, definita sul semiasse positivo R+, ha una funzione di densità esponenziale negativa, dipendente da un parametro l: f(y)= l ·e-l y, y ≥ 0 Si può osservare come f(0) = l, ossia che il parametro l rappresenta la densità del valore zero. Il valore atteso e la varianza di una v.a. esponenziale sono, rispettivamente: E(Y) = 1/ l . V(Y) = 1/ l2

Densità della v.a. esponenziale