La probabilità condizionata Se dobbiamo calcolare la probabilità di un evento, A, avendo a disposizione informazioni su un evento “precedente”, B, è opportuno incorporare l’informazione nella definizione di P(A) A B

La probabilità condizionata Definiamo la probabilità di A condizionata a B: L’evento B diventa il nuovo spazio campionario di riferimento

Esempi Lancio di due monete. Ω = {(T,T); (T,C);(C,T); (C,C) } A={2° lancio è T}, B={1° lancio è T} P(A) = P(T,T) + P(C,T) = 1/2 P(B) = P(T,T) + P(T,C) = 1/2 P(A∩B) = P(T,T) = 1/4 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 1/2

Esempi Lancio di un dado. Ω = {1,2,3,4,5,6} A={6}, B={2,4,6}, C={1,3,5}, D={1,3} P(A|B) = 1/3 P(A|C) = 0 P(D|C) = 2/3

Esempi In uno spazio campionario si ha P(A1) = 1/3 , P(A2)= ¼ e P(A1  A2) =1/6 Verificare che 1. P(A1| A2) = 2/3 2. P(A2| A1) = 1/2 3. P(Ā2 | A1) = 1/2 4. P(A2 | Ā1) = 1/8 5. P(Ā2 | Ā1) = 7/8

Esempi Sia  = [0;1] (l’int. 0,1), per un evento A , Se A=[0; 0,5], B=[0,3; 0,8], C=[0,7; 1]

Regola moltiplicativa e indipendenza Si noti che dalla definizione: P (A  B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e viceversa P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B) Vale quindi la relazione P(A  B) = P(A) P(B) Il ricorso alla regola moltiplicativa spesso permette di calcolare più agevolmente la probabilità di intersezioni di eventi

Esempio Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono due in sequenza, senza riposizione . Determinare la probabilità che la prima estratta sia una carta di cuori (A1) e la seconda estratta sia una carta di fiori (A2) La probabilità cercata è P(A1∩ A2) P(A1) = 13/52, P(A2 |A1) = 13/51, P(A1∩ A2) = P(A2 |A1) P(A1) = 132/(52∙51)

Indipendenza Quando vale la relazione P(A  B) = P(A) P(B) si dice che gli eventi A e B sono indipendenti. L’indipendenza permette di calcolare probabilità congiunte da probabilità di singoli eventi P( A  B  C) = P(A)P(B  C) = P(A)P(B)P(C) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)

Esempio Lancio di una moneta due volte: = {(T,T), (T,C), (C,T), (C,C)} Definiamo: A = {1° lancio T} = {(T,T), (T,C)} B = {2° lancio T} = {(T,T), (C,T)} da cui A  B = {(T,T)} P(A  B) = 1/4 = (1/2)(1/2) = P(A) P(B)

Teorema di Bayes Sia A1, A2 , ... Ak una partizione di , cioè A1 A2  ... Ak =  , Ai Aj = , i j Dato un qualsiasi evento B , A1 A2 B A4 A3

Teorema di Bayes Si noti che possiamo sempre scomporre Poiché

Esempio Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabilità 99 %, ma se va alla festa da ballo la sera prima la sua probabilità di promozione si riduce al 50 %. Decide di andare alla festa se esce testa lanciando una moneta equa. Il giorno dopo egli supera l'esame. Qual è la probabilità che sia andato a ballare?

Si considerino gli eventi: E = passa l'esame, A = va alla festa, I dati a disposizione sono: P( E | Ā)= 0.99, P( E | A) = 0.50, P(A) = P(Ā)= 0.5 Da cui