University of Padova Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab. Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Elettronica Digitale - Lezione 3 - Andrea Gerosa - Tel

Ottimizzazione circuitale  Obiettivo: implementazione più semplice  Procedura formale  Definizione di un criterio di costo: costo di letterali (L) costo di ingressi a porte logiche (gate) (G) costo di ingressi negati a porte logiche (GN)

 Numero di letterali che compongono un’espressione logica  Esempi: F = BD + A C + A L=8 F = BD + A C + A + AB L=11 F = (A + B)(A + D)(B + C + )( + + D) L=10 D L D B C B B DC B C

G e GN  Numero di ingressi alle porte logiche di tutti i livelli (G – senza contare le inversioni, GN – contando le inversioni)  Nel caso di SOP e POS, si trova sommando: tutti i letterali (L) il numero di termini della somma o del prodotto, escludendo i termini a letterale singolo (G) e il numero di variabili negate (GN).

 Esempio:  F = A + B C + Costo A B C F B C L = 5 G = L + 2 = 7 GN = G + 2 = 9

 Esempio 2:  F = A B C +  L = 6 G = 8 GN = 11  F = (A + )( + C)( + B)  L = 6 G = 9 GN = 12 Costo B C A A B C F C B F A B C A

Mappe di Karnaugh (K-map)  K-map = insieme di caselle è una rappresentazione grafica di una funzione logica ogni casella rappresenta un mintermine caselle adiacenti differiscono per ila valore di una sola variabile individuiamo la soluzione minima raggruppando opportunamente le caselle  La K-map è una rielaborazione di una tebella di verità

K-map a 2 variabili y = 0 y = 1 x = 0 m 0 = m 1 = x = 1 m 2 = m 3 = yx yx yx yx

K-Map e tabella di verità K-Map (x,y) F(x,y) 0 a 0 1 b 1 0 c 1 d y = 0 y = 1 x = 0 a b x = 1 c d

Semplificazione  F(x,y) = x  I due “1” adiacenti possono essere combinati in un unico rettangolo, sfruttando il teorema di semplificazione: F = x y = 0 y = 1 x = x = xyxyx)y,x(F 

Semplificazione  G(x,y) = x + y G = x+y y = 0 y = 1 x = x =  yxyxxyyxyx)y,x(G 

K-Map a tre variabili yz=00 yz=01 yz=11 yz=10 x=0 m0m0 m1m1 m3m3 m2m2 x=1 m4m4 m5m5 m7m7 m6m6 yz=00 yz=01 yz=11 yz=10 x=0 x=1 zyx zyx zyxzyx zyx zyx zyx zyx

Rappresentazioni alternative y z x x y z z y y z z x x

y x z x y z

Mappe a più variabili

Semplificare le funzioni con le Mappe AB C

Come raggruppare le celle  Data la Mappa di K. di una funzione logica F a n variabili (quindi con 2 n celle),  è possibile raggruppare k mintermini (cioè celle a “1”): se in tale insieme esistono  =log 2 k variabili che assumo tutte le k possibili combinazioni binarie  Sono gruppi di celle adiacenti sulla Mappa  Il gruppo rappresenta un termine prodotto che dipende da n-  variabili è un implicante

y  zyyz  zyxzyxzyxzyx)z,y,x(F  x y z

Definizioni  Implicante: data la funzione F(x 1,…,x n ), un termine prodotto P(x 1,…,x n ) è un implicante di F se: P(x 1,…,x n )=1  F(x 1,…,x n )=1 qualsiasi gruppo di celle sulla K-Map  Implicante primo: un implicante è primo se: tutti i termini prodotto ottenuti eliminando uno dei letterali dell’implicante, non sono più implicanti della funzione F gruppi di celle sulla K-Map che non possono essere contenuti in gruppi più grandi

Implicanti  I 4 mintermini sono implicanti  Esistono 4 implicanti a 2 variabili (2 celle)  Esiste 1 implicante primo a 1 variabile (4 celle) x y z

Teorema dell’implicante primo  Def. Somma minima di una funzione F: è la realizzazione come SOP a costo minimo.  Teorema. I termini prodotto della somma minima sono tutti implicanti primi. Dim. x assurdo: sia P(x 1,…, x n ) un implicante non primo che compone la somma minima. esiste x k tale che P*=P(x 1,…x k-1,x k+1,…, x n ) è un implicante di F. sostituendo P con P* nella somma minima si ottiene una realizzazione di F a costo minore

Somma minima  È composta da soli implicanti primi non necessariamente tutti gli implicanti primi  Obiettivo: individuare sulla K-Map tutti gli implicanti primi gruppi di celle più grandi

Es. 2.2 AB CD

Es. 2.2

Es. 2.3 AB CD  5 implicanti primi vanno inclusi tutti?  La somma completa (somma di tutti gli implicanti) sicuramente copre la funzione  ma non è necessariamente minima

Es. 2.3 AB CD  3 implicanti sono sufficienti a coprire tutti i mintermini

Implicanti primi essenziali  Def. Data la Mappa di Karnaugh di una funzione F si definisce cella 1-distinta: un mintermine che è contenuto in un unico implicante primo  Def. Un implicante primo si definisce essenziale se: sulla Mappa di Karnaugh include almeno una cella 1-distinta  Gli implicanti primi essenziali devono essere inclusi nella somma minima.

Es. 2.4 AB CD  5 implicanti primi  Cerchiamo le celle 1-distinte

Mappa ridotta AB CD  Eliminiamo i mintermini già coperti e gli implicanti primi essenziali

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