24/04/2015Introduzione1 Prentazione del modulo di: Elementi di Algebra d.p.d.v.s. Libero Verardi

24/04/2015Introduzione2 REPETITA JUVANT Sono Libero Verardi, professore associato di Algebra. E.mail: Tel: Studio: D10 Sito Internet: Ricevimento: mercoledì ore e giovedì ore o su appuntamento.

24/04/2015Introduzione3 CONTENUTI DEL MODULO STRUTTURE ALGEBRICHE. INSIEMI NUMERICI. GEOMETRIA ANALITICA. POLINOMI E LORO RADICI. APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA. ….

24/04/2015Introduzione4 Domande a ruota libera: Perché questi argomenti? C’è un filo conduttore? Quali sono gli obiettivi? Ci servirà tutto ciò per il futuro insegnamento? Ci potrà servire il laboratorio? Quali sono le nozioni principali? Ci saranno i seminari?

24/04/2015Introduzione5 Provo a rispondere: Il modulo si chiama “Elementi di Algebra da un punto di vista superiore”. L’Algebra ha come scopi: generalizzare, unificare e risolvere. Ossia, in altre parole: Calcolo letterale, strutture algebriche, equazioni algebriche.

STRUTTURE ALGEBRICHE Non sono quasi più oggetto d’insegnamento scolastico, nonostante i programmi le abbiano previste finora. Però vorrei ripassarle insieme a voi come premessa agli altri argomenti. Inoltre, ricordo che sono nate per studiare la risoluzione delle equazioni algebriche. 24/04/2015Introduzione6

24/04/2015Introduzione7 Un punto di vista globale Le strutture algebriche si possono studiare in modo unitario. Inoltre, si accompagnano con relazioni compatibili con le operazioni. Importante è poi vedere come una struttura operi su un insieme o su un’altra struttura. C’è quindi modo di rivedere da un altro punto di vista argomenti già noti.

Insiemi numerici Visti alle elementari, alle medie, alle superiori, nel triennio, forse anche nel corso di Storia della Matematica. Non basta? Perché anche qui? Perché vorrei presentarvi i numeri da vari punti di vista: nei vari livelli scolastici i numeri si insegnano via via in modi concettualmente diversi. 24/04/2015Introduzione8

GEOMETRIA ANALITICA Questo modulo si salda col precedente attraverso la Geometria Analitica. Per questo serve il campo ordinato reale. Sdoppieremo il punto di vista in cui collocarci: il piano cartesiano oppure lo spazio R 2. 24/04/2015Introduzione9

Un argomento particolare: le coniche Decideremo di esplorarle più o meno a fondo a seconda delle conoscenze dei presenti. Possiamo trattarle dal punto di vista della Geometria Analitica, ma si comprendono più a fondo dal punto di vista proiettivo o affine. Per questo però servirebbero le matrici, con le loro proprietà: operazioni, rango, autovalori, determinante… 24/04/2015Introduzione10

POLINOMI ED EQUAZIONI Il calcolo letterale si può affrontare da vari punti di vista. In particolare, i polinomi si possono presentare agli allievi con almeno una trentina di approcci diversi. A me piace usare il punto di vista dell’Analisi Matematica: sono funzioni derivabili, dotate di operazioni, di grafico, di interpretazione geometrica delle radici. 24/04/2015Introduzione11

Risolvere le equazioni L’uso del calcolo letterale consente di esprimere le incognite o altri dati con lettere, trovare formule risolutive generali o dimostrare che non esistono formule ed è meglio passare al calcolo numerico. La Teoria di Galois ci consentirebbe di decidere se una equazione ha o no una formula risolutiva e anche di trovarla. Però è complessa e richiede molti prerequisiti su gruppi, reticoli e campi. 24/04/2015Introduzione12

24/04/2015Introduzione13 Conclusione: Ognuno degli argomenti elencati coinvolge strumenti tratti dai vari settori della Matematica. Molti di essi sono difficili da comprendere, richiedono prerequisiti, collegamenti, apertura mentale. Ma sono materia d’insegnamento nella scuola secondaria. Ossia, in qualche forma li dovrete insegnare!

24/04/2015Introduzione14 Seminari:

24/04/2015Introduzione15 ELENCO DEI SEMINARI PROPOSTI NEL 2014/15  Simmetrie di una figura piana. Esercizi: il gruppo di un poligono regolare e di una retta.  Numeri primi e divisibilità. Esercizi: numeri primi particolari, MCD ed mcm.  I numeri razionali relativi ed i numeri decimali periodici. Esercizi: progressioni geometriche  Lo spazio R 2 come modello del piano euclideo. Esercizi: area di un triangolo, angoli.  La parabola. Esercizi: le tangenti alla parabola da un punto, fasci di parabole.  L’iperbole e i suoi asintoti. Esercizi: funzioni il cui grafico è riconducibile ad una iperbole

24/04/2015Introduzione16 Seguito elenco seminari:  L’ellisse. Esercizi: eccentricità, diametri.  Generatori. Esercizi: il sottoanello ed il sottocampo generati da un elemento.  Estensioni algebriche di Q. Esercizi sui radicali.  Equazioni algebriche di grado superiore al secondo. Esercizi su qualche tipo di equazioni.  Disequazioni. Esercizi sulle disequazioni algebriche.  Applicazioni dei polinomi ad altre discipline. Esercizi  Il laboratorio di Matematica. Esercizi: costruzioni di coniche con Geogebra.

Spazio per domande 24/04/2015Introduzione17

24/04/2015Introduzione18 Come sarà l’esame? Due domande su argomenti del corso e dei seminari, ed un esercizio preliminare. Mentre interrogo un candidato, il successivo svolge l’esercizio su un foglio, che poi controlleremo insieme durante l’esame.

Esempio d’esame 24/04/2015Introduzione19

24/04/2015Introduzione20 NOTA FINALE: Il voto di Elementi di Algebra, eventualmente aumentato col punto di bonus del seminario, farà media aritmetica col voto di Elementi di Geometria, per ottenere il voto finale e i 12 crediti. Ciò vale almeno fino all’appello di settembre 2015.