I monomi ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE I monomi A cura della Prof.ssa Monica Secco e del Prof. Roberto Orsaria

Obiettivi: Prendere confidenza con le operazioni con le lettere Iniziare a ragionare assegnando dei valori numerici alle lettere Utilizzare lo strumento informatico in modo pluridisciplinare per imparare le lingue straniere Capire come si risolvono gli esercizi Rendere la materia meno impossibile per gli allievi stranieri A cura della Prof.ssa Monica Secco e del Prof. Roberto Orsaria

Cosa sono i monomi? 2ab 3a2 5b3 + - -6c + I monomi sono i più piccoli “mattoni” con cui vengono costruite le espressioni del calcolo letterale. Un’espressione letterale è formata da una catena di più monomi legati tra di loro dai segni di operazione +;-; ·; : 2ab 3a2 5b3 + - -6c +

Come si può definire un monomio? Un monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo moltiplicazioni e divisioni tra numeri e lettere.

Ad esempio sono monomi le seguenti espressioni: +3ab -¾a3bc2 ¼x2y -12a4 -5xy2/z x

Sono monomi anche le espressioni formate da una sola lettera: y x

oppure le espressioni formate da un solo numero: +5 ¼ -3

Quando un monomio si dice intero? Un monomio si dice intero se non compaiono lettere al denominatore Ad esempio sono interi i monomi seguenti: 3a5b3 ¼ x -2x3y

Quando un monomio si dice fratto? Un monomio si dice fratto se compaiono lettere al denominatore Ad esempio sono fratti i monomi seguenti: 3ab/c 1/x 2x/y

¾a3b5 ¾ a3b5 In un monomio si distinguono: una parte numerica, detta coefficiente una parte letterale Ad esempio nel monomio si distinguono: il coefficiente ¾ e la parte letterale a3b5 ¾a3b5 ¾ a3b5

Come si calcola il grado di un monomio? Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. 3x2y3 grado: 2+3=5 grado: 2+4+1=7 23a2b4c -5xy grado: 1+1=2

Quale è il grado di un monomio formato da un solo numero? Il grado di un monomio privo di parte letterale è zero: infatti ricordati che, qualsiasi sia a (diverso da zero) a0=0 Hanno grado zero i seguenti monomi: +5 -4 +½

Quale è il grado di un monomio rispetto ad una lettera? Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente di quella lettera. Ad esempio: 3x3y5z grado rispetto a x=3 grado rispetto a y=5 grado rispetto a z=1

Quando due monomi sono uguali? Due monomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale. Ad esempio sono uguali i due monomi: +3xy2z +3zxy2

Quando due monomi sono simili? Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale. Ad esempio sono simili i monomi: 4a2b +¼a2b -7a2b

Quando due monomi sono opposti? Due monomi sono opposti se hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti. Ad esempio sono opposti i monomi: +5xy -5xy

Come si opera con i monomi? Con i monomi si possono effettuare operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza come con i numeri, basta osservare alcune regole.

Come si sommano due monomi? Per quanto riguarda la somma di monomi bisogna tener presente che: si possono sommare due monomi solo se essi sono simili: si ottiene in tal caso un monomio simile ai precedenti monomi e avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Ad esempio: I due monomi +5a3b2 e -2a3b2 sono simili e quindi possono essere sommati ed il monomio somma è: (+5a3b2) + (-2a3b2 ) = (+5-2) a3b2 =+3a3b2 +5 a3b2 + -2 a3b2 = +3 a3b2

E’ importante invece ricordarsi che: due monomi non simili non possono essere sommati. Ad esempio i due monomi +6xy e +3x2y non possono essere sommati

Come si moltiplicano due monomi? Per moltiplicare due monomi bisogna moltiplicare tra loro i coefficienti e le parti letterali, applicando le proprietà delle potenze (cioè sommando gli esponenti) +3 x2y · -2 x3y2 = -6 x5y3

Come si divide un monomio per un altro? Per dividere un monomio per un altro basta dividere tra loro i coefficienti numerici e tra loro le parti letterali, applicando le proprietà delle potenze (cioè sottraendo gli esponenti) : = +12 a3b5 +3 ab2 +4 a2b3

Come si calcola la potenza di un monomio? Per elevare a potenza un monomio bisogna elevare all’esponente dato il coefficiente e ogni lettera che compare nella parte letterale applicando le proprietà delle potenze (cioè moltiplicando gli esponenti) 2 +4 a3b5 = +42 a3·2b5·2 = +16 a6b10

Esempi: (-2x2y3)3=(-2)3x2·3y3·3=-8x6y9 (-½bc4)2=(-½)2b2c4·2=+¼b2c8

DRŽAVNI INSTITUT ZA EKONOMIJU, TRGOVINU, TURIZAM I HOTELIJERSTVO “B DRŽAVNI INSTITUT ZA EKONOMIJU, TRGOVINU, TURIZAM I HOTELIJERSTVO “B. STRINGHER”- UDINE

Šta su monomi? 2ab 3a2 5b3 -6c + - + I monomi Šta su monomi? Monomi predstavljaju najmanje čestice pomocu kojih se konstruišu izrazi izraženi slovima. Jedan izraz izražen je sastavljen od niza monoma povezanih medjusobno znacima sledećih operacija +;-; ·; : 2ab 3a2 5b3 -6c + - +

Kako se može definisati jedan monom? Monom je izraz izražen slovima na kome se mogu primenjivati samo operacije množenja i deljenja izmedju brojeva i slova.

Na primer, monomima se mogu nazvati sledeći izrazi: +3ab -¾a3bc2 ¼x2y -12a4 -5xy2/z x

Monomi takođe i izrzi sačinjeni od jednog jedinog slova: y x

Ili izrazi sačinjeni od jednog jedinog broja: +5 ¼ -3

Kada se za jedan monom kaže da je ceo? Za monomse kaže da je ceo kada se deliocu ne dodaju slova. Na primer, celim monoma se mogu nazvati sledeći izrazi: 3a5b3 ¼ x -2x3y

Kada se za jedan momonm kaže da je razlomak? Za monom se kaže da je razlomak kada se u njegovom deliocu nalazi slovo. Na primer, razlomci su sledeći monomi: 3ab/c 1/x 2x/y

¾a3b5 ¾ a3b5 U jednom monomu možemo razlikovati sledeće: Numerički deo, nazvan koeficijenat Deo koji sadrži slova Na primer u jednom monomu razlikujemo: koeficijenat ¾ i deo sa slovima a3b5 ¾a3b5 ¾ a3b5

Kako se izračunava stepen jednog monoma? Stepen monoma je zbir eksponenata svih njegovih slova. 3x2y3 stepen: 2+3=5 stepen: 2+4+1=7 23a2b4c -5xy stepen: 1+1=2

Koji stepen ima monom sačinjen od samo jednog broja? Stepen monoma lišenog dela sa slovima je nula: što znači da, treba zapamtiti da bilo koje a (različito od nule) a0=0 Stepen nula imaju sledeći monomi: +5 -4 +½

Kakav je stepen jednog mnoma u odnosu na jedno slovo? Stepen jednog mnoma u odnosu na jedno slovo je eksponent tog slova. Na primer: 3x3y5z stepen u odnosu na y=5 stepen u odnosu na a x=3 stepen u odnosu na z=1

Kada su dva monoma isti? Dva monoma su isti ako imaju isti koeficijenat i isti slovni deo. Na primer, sledeća dva monoma su isti: +3xy2z +3zxy2

Kada su dva monoma slični? Dva monoma su slični ako imaju isti slovni deo. Na primer, sledeća dva monoma su slični: 4a2b +¼a2b -7a2b

Kada su dva monoma različiti? Dva monoma su različiti ako imaju isti slovni deo i različite koeficijente. Na primer, sledeća dva monoma su različiti: +5xy -5xy

Koje se operacije primenjuju na monomima? Nad monomima se mogu primeniti operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i stepenovanja, dovoljno je samo zapaziti nekoliko pravila:

Kako se sabiraju dva monoma? Kada je u pitanju sabiranje monoma treba imati u vidu da: se dva monoma mogu sabrati smo ako su slični: u tom slučaju dobija se monom sličan predhodnima i koeficijent mu je zbir svih ostalih koficijenata.

Na primer: Dva monoma +5a3b2 i -2a3b2 su slični, što znači da se mogu sabrati i njihov zbir je: (+5a3b2) + (-2a3b2 ) = (+5-2) a3b2 =+3a3b2 +5 a3b2 + -2 a3b2 = +3 a3b2

Takođe je važno zapamtiti da: čak i dva monoma koji nisu slični ne mogu biti sabrati: Na primer, dva monoma +6xy e +3x2y se ne mogu sabrati.

Kako se množe dva monoma? Da bismo pomnožili dva monoma neophodno je medjusobno pomnožiti njihove koeficijente i slovni deo primenjujući stepenovanje (tj. sabirajući njihove stepenove). +3 x2y · -2 x3y2 = -6 x5y3

Kako se dele dva monoma? Da bi podelili dva monoma dovoljno je podeliti njihove koeficijente i njihov slovni deo, primenjujući stepenovanje (tj. oduzeti njihove eksponente). : = +12 a3b5 +3 ab2 +4 a2b3

Kako se izračunava stepen jednog monoma? Da bismo stepenovali monom potrebno je podignuti koeficijent i svako slovo koje se nalazi u slovnom delu na dati eksponent primenjujući stepenovanje (tj. izmnožiti eksponente). 2 +4 a3b5 = +42 a3·2b5·2 = +16 a6b10

Primeri: (-2x2y3)3=(-2)3x2·3y3·3=-8x6y9 (-½bc4)2=(-½)2b2c4·2=+¼b2c8

I MONOMIOS ISTITUT PROFESIONAL DI STAT PAR I SERVIZIOS COMERCIAI TURISTICS ALBELGHIERS E DALE RISTORAZION “B. STRINGHER”-UDIN

CE SONO I MONOMIOS? I monomios son i plui piciui “modons” cui quai vegni costruidis lis espresions dal calcul leteral. Un’ espresion leteral a iè formade di une cjadene di plui monomios peas tra di lor dai simbui di operazion +;-; ·; : 2ab 3a2 5b3 + - -6c +

CEMUT SI PODIE DEFINI UN MONOMIO? Un monomio al è une espresion letteral tal qual a vegnin fur dome moltiplicazions e divisions tra numars e letaris.

Ad esempli son monomios lis seguentis espresions: +3ab -¾a3bc2 ¼x2y -12a4 -5xy2/z x

Son monomios ancje lis espresions formadis dome di une letare: y x

Opur lis espresions formadis di un sol numar: +5 ¼ -3

Quant un monomio si dis inter? un monomi si dis inter se no vegnin fur letaris al denominator Par esempli sono inters i monomios che vegnin: 3a5b3 ¼ x -2x3y

Quant un monomio si dis frat? Un monomio si dis frat se vegnin fur letaris al denominator Par esempli son frats i monomios che vegnin: 3ab/c 1/x 2x/y

¾a3b5 ¾ a3b5 In tun monomio si distinguin: une part numeriche, dite coefficent une part letteral Par esempli in tal monomio si distinguin: il coefficent ¾ e le part letteral a3b5 ¾a3b5 ¾ a3b5

Cemut si calcolie il grat di un monomio? Il grat di un monomio a ie le some dai esponents di dutis lis sos letaris. 3x2y3 grat: 2+3=5 grat: 2+4+1=7 23a2b4c -5xy grat: 1+1=2

Qual esal il grat di un monomio format di un sol numar? Il grat di un monomio prif di part letteral al è zero: infati riquarditi che, qualsiasi sedi (diferent da zero) a0=1 An dan grat zero i seguents monomios: +5 -4 +½

Qual esal il grat di un monomio rispiet ad une letare? Il grat di un monomio rispiet ad une letare al è l’esponent di che letare. Par esempli: 3x3y5z grat rispiet a x=3 grat rispiet a y=5 grat rispiet a z=1

Quant doi monomios a son compains? Doi monomios a son compains se an dan el stes coefficient e le stese part letteral. Par esempli a son compains i doi monomios: +3xy2z +3zxy2

Quant doi monomios a si samein? Doi monomios a si samein se an dan le stese part letteral. Par esempli si samein i monomios: 4a2b +¼a2b -7a2b

Quant doi monomios son opostcj? Doi monomios a son opostcj se an dan le stese part letteral e i coefficens opostcj. Par esempli son opostcj i monomios: +5xy -5xy

Comut si operie cun i monomios? Cui monomios si puedin efetuà operazions di adizion, sotrazion, moltiplicazion, division ed elevament a la potenz come cui numars, baste oservà qualchi regule.

Cemut si somino doi monomios? Par chel cal riguarde le some dai monomios bisugne tignì prisint che: si puedin sommà doi monomios dome se a si samein: si oten in chistu cas un monomio simil ai precedenz monomios e al ha come coefficient le some algebriche dai coeficenz.

Par esempli: I doi monomios +5a3b2 e -2a3b2 si samein e quindi podin esi somas e il monomio somat al è: (+5a3b2) + (-2a3b2 ) = (+5-2) a3b2 =+3a3b2 +5 a3b2 + -2 a3b2 = +3 a3b2

Al è important invecit riquardasi che: doi monomios ca no si samein no podin esi somas. Par esempli i doi monomios +6xy e +3x2y no podin esi somas

Cemut si moltiplichino doi monomios? Par moltiplicà doi monomios bisugne moltiplicà tra di lor i coefficienz e lis parts letteralis, aplicant le proprietat dale potenze (cioè somant i esponents) +3 x2y · -2 x3y2 = -6 x5y3

Cemut si divide un monomio par un atri? Par dividi un monomio par un atri a baste dividi tra lor i coefficients numerics e tra di lor le part letteral, aplicant le proprietat dale potenze (cioè sottrainto i esponents) : = +12 a3b5 +3 ab2 +4 a2b3

Cemut si calcolie le potenze di un monomio? Par elevà a potenza un monomio bisugne elevà all’esponent dat il coefficient e ogni lettare che a par tale part letteral applicant le proprietat dale potenze (cioè moltiplicant i esponents) 2 +4 a3b5 = +42 a3·2b5·2 = +16 a6b10

Esempli: (-2x2y3)3=(-2)3x2·3y3·3=-8x6y9 (-½bc4)2=(-½)2b2c4·2=+¼b2c8

Ringraziamenti Si ringraziano Bassi Gabriele per le applicazioni informatiche, Sant Silvia per la traduzione in friulano, Milosavljevic Suzana per la traduzione in serbo