Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini

scanner Compressione delle immagini compressione frattale di immagini

FRATTALI Figure frastagliate

Curva di Koch

Triangolo di Sierpinski

simulazioni di Demba Diallo Mady

G a b G(a) G(b) X X allora f=G(f) G X X f G(f)

x (1)=d, x(2)=G(d), x(3)=G(G(d)),...x(n) è vicino a f X x(1) x(2) x(3) x(n) f

X = insieme di tutte le figure = eccetera G : XXè definita così Da qualunque figura si parta, applicando ripetutamente G, si arriva alla figura f che non è cambiata da G: f=G(f)

aG(a) G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) aV 1 (a) aV 2 (a) aV 3 (a)

S 1/2 (x, y) = (x/2, y/2) T u, v (x, y) = (x+u, y+v) V 1 = T 0, 0 ° S 1/2 V 2 = T 40, 0 ° S 1/2 V 3 = T 20, (  )20 ° S 1/2 G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) G necessita di 9 parametri

f come figura 80 pixel x 80 pixel necessita di 6400 parametri f come unica figura fissa di G necessita dei soli parametri di G: 9 parametri Compressione = 6400 / 9 = 711

V 3 (f) V 1 (f)V 2 (f) f = G(f) = V 1 (f) V 2 (f) V 3 (f)

Data una immagine i trovare trasformazioni W 1, W 2, …, W k contrattive tali che i = W 1 (i) W 2 (i) … W k (i) Posto H = W 1 W 2 … W k risulta a, H(a), H(H(a)), H(H(H(a))), …., approssima i qualunque altra immagine immagine data

Esempio Data l’immagine i i W 1 (i)W 2 (i) W 3 (i)W 4 (i) allora i = W 1 (i) W 2 (i) W 3 (i) W 4 (i)

i

R 1 R 2 D1D1 D2D2 D3D3 D4D4 D5D5 D6D6 D7D7 D8D8 D9D R 3 R 4

i  D 2 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 2 R 1

i  D 3 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 3 R 2

i  D 5 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 5 R 1

i  D 8 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 8 R 2

i  D 10 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 10 R 3

i  D 11 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 11 R 4

i  D 12 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 12 R 4

i  D 14 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 14 R 3

D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) D j = T u,v  S 1/2 (R k ) W j = T u,v  S 1/2 2; 1 3; 2 5; 1 8; 2 10; 3 11; 4 12; 4 14; 3

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D L(a)

R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D3D3 D5D5 D8D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1D1 D1 D9 D1D9 D D5 D5 D8 D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1 D9 D1D9 D D8D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D4 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1D1 D9 D1D9 D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7 D1D7 D1 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D L(L(a))

R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9 D2D2

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4 D1D4 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7 D1D7 D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9

L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9 L(L(L(a)))

i D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3

2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3 7 ; 0 15 ; 0 16 ; 0 13 ; 0 9 ; 0 6 ; 0 1 ; 0 4 ; 0 Compressione: 6400/16 = 400

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 )

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a)

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a))

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a)))

Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a))) i

Barnsley M - Hurd L, Fractal image compression, 1993 Fisher Y, Fractal image compression: theory and application to digital images,