Forme e modelli frattali

Presentazione sul tema: "Forme e modelli frattali"— Transcript della presentazione:

1 Forme e modelli frattali
MATEMATICA & REALTA’ Corso di formazione 2006 Senigallia ottobre Forme e modelli frattali

2 Figure e modelli frattali
Il nuovo linguaggio frattale introduce - attraverso processi iterativi - una “dinamica” nel modello descrittivo della geometria Euclidea

3 i 0 u0 i1 u1 i2 T u2 i3 Processo iterativo: trasformazione che si ripete …più e più volte

4 Processo iterativo su figure
Esempio: Zoom di una fotocopiatrice

5 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

6 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

7 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

8 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

9 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

10 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

11 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75% Successione di figure iterate

12 Alcuni frattali classici…

13 Il merletto a trina di Helge von Koch
Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

14 Il merletto a trina di Helge von Koch
F0 F1 F2

15 Il merletto a trina di Helge von Koch
Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo. Curva di Koch generata in turbo Pascal da Benedetta Palladino e Giorgia Quintaliani classe IV (a.s ), Liceo Scientifico Galilei, Perugia Tutor: Prof. Fiorella Menconi

16 La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

17 La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

18 La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

19 Il tappeto di Sierpinski
F0 start F1 F2 F3

20 Il tappeto di Sierpinski

21 Frattali IFS (iterated functon system)
Cosa hanno in comune queste tre costruzioni ? Il modello iterativo … lo stesso della fotocopiatrice Successione di figure iterate “generate” da una trasformazione T La successione evolve verso una figura limite che è la figura frattale

22 Quale trasformazione T ?

23 La gerla di Sierpinski T F1 F0 start
T è composta da tre trasformazioni

24 La gerla di Sierpinski F1 F0 start T1 T1 contrazione di 1/2

25 La gerla di Sierpinski F1 F0 start T3 T2 T1 T1 contrazione di ½
T1 contrazione di ½ + traslazione

26 La gerla di Sierpinski F1 F0 start T3 T2 T1 T1 contrazione di ½
T1 contrazione di ½ + traslazione T3 contrazione di ½ + traslazione

27 Il merletto a trina di Helge von Koch
F0 T1 F1 T è composta da qattro trasformazioni

28 Il merletto a trina di Helge von Koch
F0 T1 F1 T1 contrazione di 1/3

29 Il merletto a trina di Helge von Koch
F0 T2 T1 F1 T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione rotazione

30 T = (T1,T2,T3) Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T2 T3 T1 F1
T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione rotazione T3 contrazione di 1/3 + traslazione rotazione T = (T1,T2,T3)

31 T = (T1,T2,T3,T4) Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T2 T3 T1 T4
T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione rotazione T3 contrazione di 1/3 + traslazione rotazione T4contrazione di 1/3 + traslazione T = (T1,T2,T3,T4)

32 Le trasformazioni di tutti e quattro i processi sono contrazioni
Tutti e tre i processi evolvono verso una figura…

33 Zoom di una fotocopiatrice
Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75% T è una contrazione La successione evolve verso il centro dei quadrati

34 Il teorema di Caccioppoli
Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F* Una figura fissa è una figura su cui la trasformazione non produce alcun effetto!

35 La figura fissa è l’attrattore del processo.
Il teorema di Caccioppoli Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F* Qualunque sia la figura start F0 la successione delle figure iterate generata da T evolve verso la figura fissa. La figura fissa è l’attrattore del processo.

36 Frattali IFS : metodo del codice genetico

37 Codice genetico di un frattale
Il frattale è individuato dalla sola trasformazione T che funge da codice genetico

38 Codice della gerla di Sierpinski
T1

39 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

40 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

41 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

42 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

43 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

44 Codice della gerla di Sierpinski
T3 T1 T2

45 Codice del merletto a trina di Helge von Koch
F0 F1

46 Codice del merletto a trina di Helge von Koch
T1 Contrazione di 1/3

47 Il merletto a trina di Helge von Koch
T4 Contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3

48 Codice del merletto a trina di Helge von Koch
T3 contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3 + rotazione di 1200

49 Codice del merletto a trina di Helge von Koch
T2 contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 1/3 + rotazione di 600

50 Codice del merletto a trina di Helge von Koch
F0 T=(T1,T2,T3,T4) F1

51 Il merletto a trina di Helge von Koch
Codice genetico della trina di Koch

52 Il merletto a trina di Helge von Koch
Codice genetico della trina di Koch

53 Forme e figure frattali …

54 Ai esempi di frattali

55 Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura
IV convegno Innovamatica Esperienze a confronto Perugia, aprile 2002 Maila Agostini – Valeria Fabbri – Jonathan Monti Classe IV Prof. Maria Vittoria Buzzi Liceo scientifico Galilei, Terni