Distanze Per riconoscimento di un oggetto in un’immagine si intende la sua assegnazione ad una classe di equivalenza prefissata. Il riconoscimento può essere effettuato per confronto diretto con archetipi fissati nelle diverse classi. A tale scopo è necessario utilizzare distanze fra insiemi di punti. Il riconoscimento verrà effettuato cercando quello fra gli archetipi che ha distanza minima dall’oggetto in esame.

Distanze Dati sottoinsiemi A e B di uno spazio metrico, la loro distanza di Hausdorff è definita come dove A  e B  sono gli  -intorni (dilatazioni) di A e B rispettivamente. La distanza di Hausdorff d(A,B) si può riscrivere in modo equivalente:

Distanze La distanza di Hausdorff è invariante per movimenti e riflessioni, però è sensibile al rumore.

Distanze Una distanza fra sottoinsiemi finiti equipotenti A, B di uno spazio metrico, in qualche modo correlata, è la distanza di accoppiamento a collo di bottiglia (bottleneck matching distance):

Distanze Non sempre la distanza di Hausdorff è la più appropriata; per due curve orientate A e B può essere più significativa la distanza di Fréchet, definita come

Invarianti Raramente si tenta il riconoscimento di immagini tramite confronto diretto. Più spesso si associa all’immagine una n-pla di parametri caratteristici (feature vector). Potendo prevedere quali trasformazioni possa subire un’immagine da riconoscere, i parametri si scelgono invarianti per tali trasformazioni.

Invarianti Gruppi di trasformazioni (1) traslazioni movimenti

Invarianti Gruppi di trasformazioni (2) similitudini affinità

Invarianti Gruppi di trasformazioni (3) omografie

Invarianti Dato un oggetto O  R 2 si definiscono i suoi momenti: Nella versione discreta, come al solito un’immagine è costituita da una matrice F(i,j) di tipo (n r, n c ) ad elementi che sono 1 o 0. All’integrale si sostituisce una doppia sommatoria:

Invarianti

La famiglia di tutti i momenti determina completamente l’oggetto nella sua posizione. Così come sono, i momenti non sono invarianti per alcun gruppo di trasformazioni. Divengono invarianti per traslazioni se riferiti al baricentro: Si ottiene invarianza per rotazione se si adatta il riferimento agli assi principali di inerzia (qualora siano definiti).

Invarianti Un importante invariante per similitudini: la misura di compattezza o fattore di forma (form factor) C=4  A/P 2, dove A è l’area e P è il perimetro dell’oggetto. In teoria, C=1 solo per i cerchi (la discretizzazione cambia le cose). E’ invariante per affinità il rapporto fra le aree (ma non fra le lunghezze). Dati tre punti allineati A,B,C, è invariante per affinità il rapporto semplice (ABC) = d(A,C)/d(B,C).

Invarianti Il rapporto semplice NON è invariante per omografie. Lo è invece il già citato birapporto di quattro punti allineati A,B,C,D: (ABCD) = (ABC)/(ABD) = d(A,C)d(B,D)/d(B,C)d(A,D) Un altro invariante per omografie: date due coniche aventi discriminanti C e D, entrambi di determinante 1, sono invarianti i numeri tr(C -1 D) e tr(D -1 C)