Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 17 Stimatori bayesiani e allocazione del portafoglio

Measurement risk Stimatori di Bayes-Stein “ammissibili” “Shrinkage estimators” per la riduzione del rischio di misurazione: portafoglio di minima varianza e altri. Modello di Black e Litterman per condizionare i ritorni attesi alle “views”

Rischio campionario e allocazione del portafoglio Nell’allocazione del portafoglio standard assumiamo che la stima del primo e secondo momento non sia affetta da errore campionario. Cioè dove  è il vettore dei parametri.

Rischio campionario In realtà, il problema di allocazione del portafoglio dovrebbe essere scritto e l’investitore dovrebbe tenere in considerazione non solo la densità dei rendimenti condizionati delle stime ma anche la densità delle stime stesse (“predictive density”)

Stimatori di James-Stein James e Stein proposero di scegliere stimatori basati su –Una funzione di perdita che misura la distanza di ciascuna stima dal valore vero.. –Una funzione di rischio che calcola il valore medio della funzione di perdita sui campioni Gli stimatori “ammissibili” minimizzano tale funzione

Stimatori di James-Stein Nel caso in cui –I risultati sono distribuiti normalmente: r ~ N( ,V) –La funzione di perdita è quadratica –James e Stein provarono che lo stimatore ammissibile è  JS = (1 –  )  ^ +  r P e dove r p è uno scalare e e è il vettore unitario

Stimatori di James e Stein James e Stein provarono che nel caso precedente Quindi, nel caso N > 2, può succedere che la media del campione non è uno stimatore “ammissibile”. Correggere la stima con uno “shrinking factor” r P può ridurre la “risk function”.

Shrinkage estimators L’applicazione del metodo James-Stein alla stima del rendimento atteso è stata proposta da Jorion (1986). L’idea è di pesare il campione dei rendimenti attesi con qualche “shrinking factor” per ridurre l’impatto degli “outliers” sulla stima. Lo “shrinking factor” può essere stimato dai dati stessi.

Lo stimatore Jorion Bayes-Stein Jorion propose: –La scelta di r P come il portafoglio di minima varianza –La scelta di  = /( + T), dove T è il numero delle osservazioni. è un parametro di precisione compreso tra 0 (“flat prior”) e infinito (tutto il peso sullo shrinking factor). può anche essere ricavato dai dati (Jorion prova che ha distribuzione gamma)

Altri “shrinking factor” Nell’allocazione del portafoglio diversi shrinking factor sono stati proposti –Il rendimento del portafoglio di minima varianza –Il rendimento del portafoglio “equally weighted” Sono disponibili altre scelte, che sfruttano altre fonti di informazione.

Informazione In applicazioni in finanza dobbiamo sempre ricordare che ci sono almeno 3 diverse fonti di informazioni. –Informazione storica (time series) –Informazione implicita (cross section analysis) –Informazione “In house” (ricerche di mercato, “views”) Capire quali di queste fonti contiene la maggiore informazione, e possibilmente incrociarle è la questione centrale.

Rappresentazione delle “views” Possiamo considerare due tipi di “view” –View assolute: e i ’r +  i = q i. –View relative (e i – e j )’r +  j = q j. dove e i è la i-esima colonna della matrice identità, q i è la view e  i è una variabile casuale con media zero e varianza che rappresenta il grado di precisione della view. Possiamo raccogliere in forma matriciale e i ’ and (e i – e j ) in una matrice P e le view e il loro grado di precisione in vettori  e q: P’r +  = q

Black e Litterman Black e Litterman proposero un approccio per usare queste informazioni in asset management. Assumiamo che sia il rendimento che le view abbiano distribuzione normale congiunta, con covarianza dei rendimenti V e covarianza delle “view”  ~

Distribuzione condizionale La distribuzione condizionale nel caso gaussiano è anch’essa normale con –Media:  + VP’[ PVP’ +  ] -1 (q – P  ) –Varianza: V – VP’ [ PVP’ +  ] -1 PV Si noti che il risultato può essere interpretato come una regressione lineare del vettore dei rendimenti r sulle “view” q. I coefficienti di regressione sono infatti cov(r,q)/ var(q) =VP’[ PVP’ +  ] -1.

Legame con gli stimatori “shrinkage” Paradosso di James-Stein: per un sistema di dimensione  3, la media del campione può non essere la scelta migliore per massimizzare la capacità previsiva (admissibility). Proposte di “shrink” della stima prendendo la media tra la stima storica e un valore fisso, che rappresenta una sorta di “ancora” contro gli oulier. –Media del portafoglio di minima varianza (Jorion) –Media del portafoglio “equally weighted” (Jacquillat- Rolfo) –Media delle “views”: Black and Litterman