Vicario, Pasquali, Delfini, Pradella, Fincato Calcolo dell’area sottesa con il metodo dei rettangoli (o metodo dei punti medi) Vicario, Pasquali, Delfini, Pradella, Fincato
Cos’è? Questa regola è il procedimento più semplice per approssimare l’area sottesa S = a∫b[f(x)]dx di una funzione f continua nell’intervallo chiuso [ a , b ]. Esempio di funzione continua e positiva, intervallo scelto [0,5;0,7]
Come procedere? Il procedimento consiste nel dividere l’area sottesa in n intervalli, ognuno di ampiezza Si continua poi con la somma delle aree dei rettangoli costruiti in ogni intervallo.
Costruire i rettangoli Considerando la funzione f, i rettangoli costruiti avranno come base h e come altezza ovvero il valore assunto dalla funzione nel punto intermedio dell’intervallo [xi,xi+1]. L’area di ogni rettangolo risulterà quindi uguale a
Calcolo dell’area sottesa L’area sottesa della funzione f è quindi la somma di tutte le aree dei rettangoli costruiti e risulta essere: In definitiva: Un valore approssimato dell’area S della regione finita di piano delimitata da una curva continua (positiva) di equazione y=f(x) e dall’asse x in un intervallo [a,b] è dato dalla seguente espressione:
Esempio Applichiamo il metodo dei rettangoli per calcolare l’area sotto la parabola d’equazione y = x2 nell’intervallo [ 0 , 2 ] Dividendo l’intervallo in 6 parti congruenti avremo: Il valore risultato è molto vicino al valore esatto:
Se f non fosse sempre positiva? Ricordiamo che a∫b[f(x)]dx rappresenta la differenza tra le aree di parti di piano che si trovano nel semipiano delle ordinate positive e quelle delle parti di piano che si trovano nel semipiano delle ordinate negative. Quindi la formula data nelle slide precedenti rappresenta un valore approssimato di a∫b[f(x)]dx
Deduzioni Con h0, i valori di I calcolati con la relazione precedente coincidono e rappresentano il valore esatto dell’area S. Significa che, al crescere del numero n di intervalli, si ottiene un valore approssimato sempre più vicino a quello esatto.
Applicazioni pratiche Vi sono diversi modi per implementare questo metodo. Esempi sono: Fogli di calcolo Excel Applicazione