Progettazione ottimizzata di dispositivi elettromagnetici Ing. Nunzio Salerno Modelli numerici per campi e circuiti

Esempio di progettazione ottimizzata Heating Inductor I=712 Af=4 kHz  =660  cm Trovare la posizione assiale delle spire che permette di riscaldare uniformemente un disco di grafite ad una temperatura di °C  20°C per un periodo di tempo prefissato

Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor Viene prima risolto quello termico determinando la densità di potenza che rende la temperatura uniforme nel disco di grafite. Il problema è di tipo accoppiato: elettromagnetico – termico. #

L’obiettivo della procedura di ottimizzazione è trovare la posizione verticale delle spire dell’induttore che realizza la densità di potenza desiderata. Le prime 2 spire sono fisse a 16 mm dal disco. Le altre 10 si possono muovere verticalmente e la loro distanza p k dal disco può variare tra 16 e 41 mm. Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor L'obiettivo viene perseguito minimizzando lo scarto quadratico medio tra i valori della densità di potenza ottenuti mediante la soluzione del problema di campo elettromagnetico P i e quelli desiderati P 0i (in 55 nodi equidistanti posti sull’asse orizzontale del disco): #

I parametri (o le variabili) di progettazione sono le posizioni delle 10 spire che si possono muovere: n=10. In teoria le spire possono assumere una qualsiasi posizione distante tra 16 e 41 mm dal disco. In pratica occorre definire una distanza minima ( , in mm) al di sotto della quale non è possibile controllare, con precisione, lo spostamento della spira. Si ottiene quindi un numero finito di possibili posizioni per ogni spira pari a: pp = int[(41-16)/  ]; per un totale di pp n combinazioni. Se per esempio poniamo  =0.2mm otteniamo pp=125 e quindi (~10 21 ) possibili configurazioni delle spire! Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

1.Calcoliamo tutte le configurazioni → ricerca esaustiva 2.Procediamo per tentativi → ricerca casuale 3.Usiamo una tecnica di O TTIMIZZAZIONE → ricerca guidata Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor # Come facciamo a trovare la configurazione delle spire che meglio approssima la curva della densità di potenza?

1.Fissiamo la prima configurazione delle spire. 2.Risolviamo il problema di campo elettromagnetico con un metodo numerico: per esempio il FEM. 3.Calcoliamo la curva della densità di potenza. 4.Confrontiamo la curva ottenuta con quella desiderata calcolando la funzione obiettivo f. 5.Ripetiamo la procedura per tutte le possibili configurazioni. 6.La configurazione con il valore più piccolo della funzione obiettivo f è quella cercata. Ovviamente questa strada è praticabile se il numero di configurazioni possibili è basso: non è il nostro caso! Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

1.Scegliamo una configurazione delle spire a caso. 2.Risolviamo il problema di campo elettromagnetico con un metodo numerico: per esempio il FEM. 3.Calcoliamo la curva della densità di potenza. 4.Confrontiamo la curva ottenuta con quella desiderata calcolando la funzione obiettivo f. 5.Ripetiamo la procedura per un certo numero ragionevole di possibili configurazioni (scelte casualmente). 6.La configurazione con il valore più piccolo della funzione obiettivo f è la soluzione. Quante probabilità abbiamo di trovare quella ottima? Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

SA Risultati ottenuti con circa 3000 valutazioni della funzione obiettivo f GA

La moderna progettazione industriale di dispositivi elettromagnetici è affrontata mediante tecniche di ottimizzazione che guidano il progettista nella ricerca della configurazione migliore. Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

Definizioni Prestazioni (caratteristiche, risposte, performance) da migliorare → obiettivo dell’ottimizzazione → funzione obiettivo Parametri (variabili, gradi di libertà) da modificare → parametri dell’ottimizzazione → variabili della funzione obiettivo Configurazione migliore → ottimo → min/max funzione obiettivo Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Ottimizzare = minimizzare o massimizzare Definizioni e teoria dell’ottimizzazione min f(x), con x=(x 1, x 2, …,x n ) T c i (x)=0, i=1,…,m’ c i (x)  0, i=m’,…,m f(x):funzione obiettivo x: parametri ottimizzazione c(x):vincoli Ottimizzazione

Condizioni di minimo Ottimo locale x* è un minimo locale di f(x) se: f(x*) < f(x)  x  N(x*,  ), x  x*, N(x*,  ) intorno di x* grad[f(x*)] =0 H(x*) definito positivo Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Ottimo globale x* è un minimo globale di f(x) se: f(x*) < f(x)  x  V(x), x  x*, V(x) insieme dei possibili valori di x (SPAZIO DI RICERCA)

Ottimizzazione vincolata Il problema è più complesso nel caso di ottimizzazione vincolata perché il minimo globale può trovarsi ad una estremità: Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Problema –continuo –discreto –combinatorio Funzione obiettivo –multivariabile –multimodale –multiobiettivo può non essere nota la forma analitica Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Classificazione

Ordine: 0→ calcolo di f(x ) (metodo del simplesso, HJ ) 1→ gradiente di f(x ) (gradiente coniugato ) 2→ Hessiano di f(x ) (metodi di Newton ) All’aumentare dell’ordine: –convergenza sempre più veloce –complessità di calcolo maggiore In ogni caso la soluzione dipende dal punto di partenza Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Metodi deterministici

Ottimo globale anche in presenza di più minimi Teoria matematica debole Regole empiriche ed euristiche Metodi dell’ultima risorsa –Genetic algorithms (GA) and Evolutionary strategies (EA) –Simulated annealing (SA) –Particle swarm optimization (PSO) –Artificial immune systems (AIS) –Ant colony optimization (ACO) Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Metodi stocastici

NO FREE LUNCH TEOREM(S) Esiste un algoritmo di ottimizzazione migliore di tutti gli altri? No Free Lunch Theorem(s) “For any pair of search algorithms, there are "as many" problems for which the first algorithm outperforms the second as for which the reverse is true. One consequence of this is that if we don't put any domain knowledge into our algorithm, it is as likely to perform worse than random search, as it is likely to perform better. This is true for all algorithms.” Non è possibile quindi trovare un algoritmo di ottimizzazione che sia sempre migliore di tutti gli altri algoritmi, ma è possibile che un determinato algoritmo abbia, su una ristretta classe di problemi, un comportamento migliore degli altri. Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Bibliografia ?

1. G.Aiello, S.Alfonzetti, E.Dilettoso, N.Salerno, "A software tool for stochastic optimization of electromagnetic devices“, Software for Electrical EngineeringAnalysis and Design V, C. A. Brebbia (ed), WIT Press, Southampton (UK), 2001, pp S.Alfonzetti, E.Dilettoso, N.Salerno, "A proposal for a universal parameter configurationfor genetic algorithm optimization of electromagnetic devices“, IEEE Transactions on Magnetics, september S.Alfonzetti, E.Dilettoso, F.Dughiero, N.Salerno, "Stochastic optimization of an induction heating system by means of DBCI" The International Journal for Computation andMathematics in Electrical and Electronic Engineering (COMPEL), vol. 19, n , 2000, pp G.Aiello, S.Alfonzetti, "Finite Element computation on axisymmetric eddy currents in an infinite domain" The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering (COMPEL), vol. 19, n , 2000, pp G.Aiello, S.Alfonzetti, S.Coco, N.Salerno, "A theoretical study of charge iteration,” COMPEL, vol. 15, September 1996, pp G.Aiello, S.Alfonzetti, S.Coco, "Charge iteration: a procedure for the finite-element computation of unbounded electrical fields," Int. J. Numer. Methods Engng, vol. 37, December 1994, pp