Le tavole input-output Le versioni simmetriche Jacopo Di Cocco Corso di Contabilità nazionale Facoltà di Economia – Bologna

Il mercato: i prodotti da chi a chi Per stimare dettagliatamente le interdipendenze dell’economia è necessario sapere come le specifiche offerte incontrano la corrispondenti domande e da quali utilizzi queste siano determinate. Questo si ottiene tramite tavole che illustrino, con classificazione omogenea tra righe e colonne: quali produzioni vengano domandate e da chi e per cosa farsene (articolazione funzionale) Ciò viene realizzato costruendo tavole simmetriche: prodotto per prodotto o branca per branca Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Tavole simmetriche Elaborare le tavole simmetriche delle interdipendenze permette di riunire in un’unica tavola quelle delle risorse (offerta) e degli impieghi (domanda). Una tavola simmetrica delle interdipendenze descrive dettagliatamente i processi di produzione interni e le operazioni sui prodotti dell’economia nazionale collegando funzionalmente domanda ed offerta. E’ possibile utilizzarla per il modello input-output. Si parte da quella combinata e si usano gli algoritmi e le ipotesi che illustreremo per stimare i dati statistici mancanti (non rilevabili direttamente) Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Formato delle simmetriche Le tavole simmetriche riportano al modello aperto classico alla base del modello input-output Esse hanno un forma simile a quella della tavola degli impieghi (use) comprendendo anche gli risorse ed impieghi dei beni e servizi importati La differenza sostanziale è l’omogeneità della classificazione di righe e colonne Ad esse si arriva incrociando le informazioni della tavola delle risorse e di quella degli impieghi. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola prodotto per prodotto Nella tavola prodotto per prodotto anche le colonne sono intestate ai prodotti e pertanto mostrano i flussi dei diversi prodotti, da chiunque realizzati, al gruppo dei produttori di un dato prodotto, a qualunque branca appartengano. Gli impieghi finali restano articolati per tipo d’impiego e articolati per prodotto impiegato. Valori aggiunti sono quelli realizzati per ciascun prodotto in tutte le branche che li generano, identicamente i redditi che li compongono Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola branca per branca Nella tavola branca per branca anche le righe sono intestate alle branche d’attività economica e pertanto mostrano i flussi delle diverse produzioni di branca, comunque composte, dalle branche offerenti a quelle che le impiegano nel loro processo produttivo di un paniere di beni. Gli impieghi finali restano classificati per tipo d’impiego, ma divengono articolati per branca offerente. Valori aggiunti e redditi restano quello realizzati in ciascuna branca, anche grazie al loro mix produttivo. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Dalle tavole risorse ed impieghi alle tavole simmetriche Per realizzare direttamente le tavole simmetriche sarebbe necessario poter rilevare presso i diversi produttori la struttura dei costi dei diversi prodotti da loro realizzati. In carenza di informazioni statistiche sufficienti, la tavola simmetrica è ottenuta tramite ipotesi e stime che danno luogo ad algoritmi di calcolo matriciale che poi saranno utilizzati anche per il modello input output. Questi i passi che percorreremo: Ulteriori convenzioni e algoritmi matriciali Tavola combinata risorse ed impieghi Tavole simmetriche: prodotto per prodotto o branca per branca (o industria per industria, con industria sinonimo di branca d’attività economica per qualsiasi attività produttiva). Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Vettore diagonalizzato Un accento circonflesso su un vettore indica che è un vettore diagonalizzato (sia esso vettore colonna e riga). Il vettore è trasformato in una matrice quadrata con tante righe e colonne come le righe del vettore colonna o le colonne del vettore riga; la matrice è tutta di valori nulli, salvo sulla diagonale principale ove gli elementi sono nell’ordine i componenti del vettore. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Vettore diagonalizzato ed invertito Un vettore diagonalizzato ed invertito ha sulla diagonale principale i reciproci degli elementi del vettore originario. Esso consente di ordinatamente dividere tutti gli elementi di una matrice per quelli di un vettore; per riga pre-moltiplicando e per colonna post-moltiplicando. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrice identità Svolge la funzione dell’unità nel calcolo matriciale. La matrice identità è una matrice quadrata tutta di 0 salvo la diagonale di 1. Pre o post moltiplicata per una matrice la lascia invariata. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrice inversa Una matrice inversa, se esiste, funge da reciproco della originaria quadrata e pre o post moltiplicata per questa dà la matrice identità. Per le modalità di calcolo si rinvia al programma di matematica Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

L’integrazione risorse - impieghi La matrice della produzione non è direttamente collegata a quella delle risorse salvo che per il totale dell’output per calcolare le interdipendenze tra i produttori; è necessario integrare le due tavole tramite il calcolo dei costi intermedi prodotto per prodotto o branca per branca in modo che ad ogni variazione indotta nella produzione di una branca o di un prodotto si possano calcolare gli indotti sugli altri produttori. Per fare ciò si seguono tre passi: Redigere una tavola combinata risorse ed impieghi, per disporre in unica tavola di tutti i dati da elaborare, Adottare un’ipotesi tecnologica sui costi di produzione Calcolare le tavole del modello classico, quadrate e simmetriche nei consumi intermedi Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata risorse ed impieghi Una tavola combinata delle risorse e degli impieghi presenta sotto forma di una tavola unica (cfr. tavola 9.3 del SEC), aggiungendo, per la produzione e le importazioni, due righe alla tavola degli impieghi (cfr. tavola 9.2). Si noti che nella tavola 9.3 sono state trasposte le righe e le colonne della tavola delle risorse 9.1. Si fornisce uno schema semplificato (a 3 branche) della tavola combinata indicando matrici e vettori inseriti con i soli simboli già utilizzati nelle tavole precedenti di seguito richiamati. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata a valori totali Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata della produzione interna Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata delle importazioni Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici, vettori ed identità della tavola combinata Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Verso le tavole simmetriche Vi è una importante differenza concettuale fra una tavola combinata delle risorse e degli impieghi ed una tavola delle interdipendenze simmetrica: nella tavola delle risorse e degli impieghi, le statistiche mettono in relazione prodotti e branche produttrici (UAEL), mentre, nella tavola delle interdipendenze settoriali simmetrica, i dati calcolati mettono in correlazione prodotti con prodotti o branche con branche. Solo questo consentirà di elaborare algebricamente il modello. Per quella prodotto per prodotto bisognerebbe aggiungere ai dati delle branca che li producono in via principale le rispettive quote di produzioni, costi e redditi sottraendoli alle branche che li vedono come prodotti secondari. Per quelle branca per branca (di attività economica) bisogna ridistribuire le domande dei singoli prodotti secondo le quote di mercato che ciascuna detiene per ciascuna categoria. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

I calcoli dei coefficienti simmetrici Nel rispondere ai questionari, le aziende con più prodotti forniscono abbastanza facilmente il valore della produzione articolata per prodotto e gli acquisti intermedi sempre articolati per prodotto, ma difficilmente dispongono di dati sui loro utilizzi per linea di produzione e, anche se hanno una contabilità analitica, questa raramente segue le classi CPA. Pertanto si ricorre a stime (si vedano note e documenti di fonte ISTAT). Seguendo schemi teorici si stimano i coefficienti di fabbisogno diretto e da questi si risale anche ai valori monetari oltre a calcolare quelli diretti ed indiretti del modello input-output. Per distribuire i consumi intermedi in funzione dei prodotti realizzati da ciascuna branca si stimano i consumi intermedi per prodotto sulla base di: coefficienti di spesa delle branche, mix produttivo e quote di mercato, scegliendo tra le ipotesi alternative sulle tecnologie usate. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori delle SUT usati per la loro conversione in tavole simmetriche U: matrice intermedia della tavola use (dimensione: prodotto per branca); E: parte della domanda finale della tavola use Y: matrice del valore aggiunto (dimensione: fattore per branca); M: matrice della produzione (make o supply) che descrive la produzione interna (dimensioni: prodotto per branca); g: vettore dell’output o produzione per branca fornitrice ( : diagonalizzato); q: vettore dell’output od offerta per prodotto ( : diagonalizzato). B: matrice dei coefficienti di spesa per consumi intermedi per branca, ottenuti dalla use (dimensione: prodotto per branca) = C: matrice del mix produttivo tra produzioni principale e secondarie nella singole industrie o branche di attività economica (il simbolo ’ indica la trasposta); D: matrice delle quote di mercato (le proporzioni in cui le diverse branche producono l’output totale di un determinato prodotto): Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

I coefficienti di input di branca La matrice Bpb dei coefficienti diretti di fabbisogno dei diversi prodotti i per consumi intermedi per branca j rappresenta le proporzioni tra valori medi dei diversi input in funzione degli output di ciascuna branca. Essa è calcolata dividendo colonna per colonna le spese intermedie per il valore della produzione ottenuta. La matrice è articolabile per origine interna ed esterna all’economia. Tutti i valori di Bpb sono positivi inferiori ad 1 ed anche la loro somma per colonna è inferiore a 1 altrimenti non vi sarebbe valore aggiunto. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La matrice del mix di prodotto La matrice Cp,b del mix di prodotto mostra le proporzioni dell’offerta dei prodotti principali e secondaria nell’offerta complessiva delle diverse branche. Essa è calcolata dividendo riga per riga la trasposta dei prodotti offerti da ciascuna branca per l’offerta totale della stessa. Con la trasposizione si torna alla matrice originaria della tavola delle risorse. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La matrice delle quote di mercato La matrice pDpb delle quote di mercato rappresenta le proporzioni con cui ogni branca risponde alla domanda di prodotti rivolta a beni e servizi di origine interna. Essa è calcolata dividendo colonna per colonna la matrice dei prodotti offerti da ciascuna branca per quelli offerti complessivamente da tutte le branche. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori delle tavole simmetriche La struttura delle tavole nelle due versioni è identica anche se cambia la classificazione delle righe e delle colonne per prodotto o per branca. Entrambe consentono lo sviluppo del modello input-output pertanto si forniscono i simboli e le definizioni senza specificare se si tratti di tavole prodotto per prodotto o branca per branca. Successivamente si specificheranno simboli e formule di calcolo delle matrici nelle due versioni. In entrambi i casi vettori (marginali) sono calcolati per somma di righe e colonne. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori della TIO simmetrica Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Impieghi intermedi, finali e fattori produttivi nelle TIO simmetriche Le matrici in valore degli scambi intermedi devono essere calcolate tramite quella della tecnica di seguito illustrata e conseguentemente si hanno i vettori marginali di vendite ed acquisti intermedi. Se si considerano le tavole prodotto per prodotto gli impieghi finali e totali restano quelli articolati per prodotto della use (tavola degli impieghi); i costi per i fattori produttivi e il valore aggiunto devono essere ridistribuiti e riaggregati per prodotto; la produzione, le importazioni; le risorse coincidono trasposti con i dati della make (tavola delle risorse). Se si considerano le tavole branca per branca gli impieghi finali devono essere ridistribuiti e riaggregati per branca quelli totali delle diverse origini coincidono con le risorse (prodotte, importate e totali della make); i costi per i fattori produttivi, il valore aggiunto la produzione, le importazioni e le risorse coincidono con i dati della use. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori delle simmetriche Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori della TIO prodotto per prodotto Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici e vettori della TIO branca per branca Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La matrice della tecnica simmetrica La matrice della tecnica (A in termini generali) è simmetrica in quanto: righe e colonne sono articolate entrambe o: per prodotto (o branca di produzione omogenea) per branca di attività economica: righe e colonne presentano la stessa articolazione (aggregazione) e numerosità secondo il dettaglio adottato Entrambe possono essere calcolate adottando o la tecnologia di prodotto o quella d’industria od un’opportuna combinazione delle due; gli apici sinistri indicano, se utile, la tecnologia utilizzata Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

L’ipotesi semplificatrice di linearità Il modello input-output è un modello lineare che assume l’ipotesi di proporzionalità tra i diversi input (consumi intermedi) ed output (produzione) questo significa che i rapporti medi di fabbisogno di consumi intermedi verificati con la matrice B restano invariati anche quando la produzione delle singole branche varia, restano costanti anche la C e la D L’ipotesi si è empiricamente mostrata valida, almeno con variazioni delle quantità attorno ad un certo intervallo da quelle iniziali, se non sussistono strozzature che impediscano ad alcune branche o al resto del mondo di adeguare la loro offerta I rapporti cambiano solo quando nel tempo le tecniche utilizzate evolvono per novità tecnologiche, organizzative, economiche I rapporti di proporzionalità sono rappresentati nel modello dai coefficienti delle matrici simmetriche della tecnica: A, calcolata seguendo alcune ipotesi tecnologiche e l’articolazione Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le ipotesi tecnologiche Date le matrici rilevate e quelle di coefficienti B, C, D, per calcolare le matrici simmetriche A dei coefficienti tecnici del fabbisogno di consumi intermedi, si adotta una delle seguenti ipotesi tecnologiche che riflettono sia le conoscenze tecniche acquisite sia l’organizzazione produttiva: Tecnologia di prodotto: “ogni prodotto, indipendentemente dall’industria in cui si origina, è fabbricato utilizzando la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi unitari) Tecnologia d’industria: “ogni prodotto (sia esso principale, secondario, sottoprodotto) della medesima industria è fabbricato con la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi in ciascuna branca indipendentemente dai prodotti realizzati) Tecnologia mista: una combinazione empirica delle prime due Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

I coefficienti di spesa Il concetto di coefficiente tecnico implicherebbe una misura in termini fisici (come in una ricetta di cucina), ma questo renderebbe non aggregabili le quantità, pertanto, anche nelle simmetriche si usano i valori monetari degli input ed i coefficienti ottenuti dividendo questi per il valore della produzione (output) sono coefficienti di spesa usati come sostituti dei tecnici Essi possono cambiare anche per la variazione dei prezzi relativi, ma la tendenza ad aumentare l’uso di ciò che relativamente è inflazionato meno, anche se la sostituibilità è limitata, li rende talvolta maggiormente stabili di quelli fisici. Quindi si conserva la proporzionalità con la produzione Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le diverse versioni della A La generica matrice A dei coefficienti di fabbisogno diretto (tecnici o di spesa) si può presentare in sei versioni alternative anche se svolgono la stessa funzione nel modello (industria e branche [di attività economica] sono sinonimi): Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le matrici prodotto per prodotto Il SEC privilegia le tavole prodotto per prodotto è una matrice prodotto per prodotto che mostra in milionesimi di € i coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi dei diversi prodotti per la produzione di un € del prodotto in colonna se si assume la tecnologia di prodotto, gli input unitari dell’industria j sono costituiti dalle medie ponderate (con i pesi della matrice C) degli input di ogni prodotto, da essa realizzato. se si assume la tecnologia di industria gli input unitari nel prodotto i sono la media ponderata (con i pesi della matrice D) degli input dei prodotti delle industrie che lo producono. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le matrici branca per branca Le matrici industria per industria mostrano da quali produttori a quali produttori vada la domanda per consumi intermedi è una matrice branca per branca che mostra in milionesimi di € i coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi delle diverse produzioni per la produzione di un € della branca in colonna se si assume la tecnologia di prodotto, gli input unitari dell’industria j sono costituiti dalle medie ponderate (con i pesi della matrice C) degli input di ogni prodotto, da essa realizzato. se si assume la tecnologia di industria gli input unitari nella branca i sono la media ponderata (con i pesi della matrice D) degli input dei prodotti delle industrie che lo producono. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le tavole industria per industria Nelle tavole industria per industria la domanda per beni e servizi intermedi dell’industria j si rivolge ai panieri di prodotti dell’industria i: anche in questo caso si possono assumere le due tecnologie. La matrice dei coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi simmetrica da industria a industria (da branca a branca di attività economica) è indicata con : se calcolata con la tecnologia di prodotto se calcolata con la tecnologia di industria Salvo diversa indicazione negli sviluppi successivi si considereranno le tavole prodotto per prodotto preverite dall’Eurostat, (l’ISTAT le calcola con la tecnologia per branca) Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tecnologia mista Nella realtà alcuni prodotti seguono la tecnologia di industria (ad esempio i sottoprodotti) altri quella di prodotto. Per seguire questa più realistica ipotesi di tecnologia mista si devono realizzare due diverse tavole dell’offerta quella dei prodotti realizzati con la prima tecnologia e quella dei prodotti realizzati con la seconda per cui si avrà: M=IM+PM Di conseguenza tutti i coefficienti dovranno essere calcolati separatamente secondo le due tecnologie poi sommati dando loro un pesa relativo alla presenza delle due tecnologie nella produzione delle singole branche. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici, vettori e coefficienti per la tavola simmetrica Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Calcolo delle matrici X Moltiplicando le diverse A per i rispettivi vettori della produzione (dei prodotti o delle branche) diagonalizzati si ottengono le matrici X delle corrispondenti versioni delle simmetriche Le possibili versioni saranno 6 se si considerano le tecniche miste, 4 se si considerano solo quelle omogenee, 2 se quelle per prodotto porta a coefficienti negativi. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Tavole simmetriche e modello I/O Con le tavole simmetriche è possibile sviluppare il modello delle interdipendenze industriale e calcolare significativi moltiplicatori dell’indotto. Mostriamo solo i principali sviluppi del modello. Tra tutte le possibili versioni della simmetrica l’ISTAT ha adottato prioritariamente una simmetrica prodotto per prodotto ottenuta con l’ipotesi della tecnologia di industria. Quanto sarà mostrato del modello I/O è possibile applicarlo a tutte le simmetriche, per prodotto o industria, con qualsiasi ipotesi costruite. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Una tavola simmetrica semplificata prodotto per prodotto Tavola 9.4 Versione semplificata di tavola delle interdipendenze simmetrica (prodotto per prodotto, tecnologia industria)   Prodotti Resto del mondo Spesa per consumi finali Investimenti lordi Totale X=IAg^ Fe=EEx Fc=ECf Fi =EI q Componenti del valore aggiunto y=Zg^ – Produzione per prodotto s’=pq m’=mq r'=tq' r‘u=u'tq Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

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Articolazioni della TIO simmetrica prodotto per prodotto Le due versioni prodotto per prodotto e industria per industria sono sostanzialmente analoghe salvo la differenza dell’articolazione dei beni utilizzati dei loro produttori La tavola prodotto per prodotto segue il modello I/O classico di omogeneità merceologica dei produttori. Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse. I consumi intermedi sono presentati per gruppo merceologico o branca di produzione omogenea di origine (colonne) per gruppo merceologico o branca omogenea di destinazione (righe): da chi a chi. Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per prodotti utilizzati (branca di produzione omogenea fornitrice) quindi la matrice F = E Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia. La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna i prodotti realizzati e in riga i fattori e le risorse (prodotte e importate) utilizzate per costruirli. Bisogna calcolare i fattori primari utilizzati nelle diverse industrie che producono i prodotti della colonna Y = Z*M’ Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Articolazioni della TIO simmetrica industria per industria Le versione industria per industria (industria = branca di attività economica) privilegia le unità produttive locali più facili da rilevare e calcolare. Consente tuttavia di calcolare il modello I/O. Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse. I consumi intermedi sono presentati per branca di attività economica produttrice (colonne) per corrispondente paniere di beni utilizzati dalle branche di destinazione (righe): da chi a chi. Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per paniere di prodotti utilizzati (branca di attività economica fornitrice). Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia. La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna le branche di attività economica utilizzatrici e in riga i fattori e i diversi panieri delle risorse prodotte ed importate. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Produzione e risorse della TIO simmetrica: versione prodotto per prodotto Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Produzione e risorse della TIO simmetrica: versione branca per branca Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Un esempio d’uso Per un studio sul peso e gli effetti delle attività immobiliari si sono calcolate le matrici simmetriche e quindi il modello input output anche per gli anni successivi al 2000 in cui si disponeva solo di quelle delle risorse e degli impieghi. Si possono vedere nell’apposita cartella le elaborazioni prodotte. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output