GRUPPO 4 “LE ALTEZZE DI UN TRIANGOLO”: UNA PROPOSTA DIDATTICA Insegnanti ricercatori: Scuola dell’ Infanzia : Alida Granato Scuola Elementare: Anna Maria Messina Carolina Dragotta Scuola Media: Virginia Impertuglia Scuola Superiore: Paola Dimarco M. Luisa Li Moli

Presentazione Il quarto Gruppo della Sperimentazione ha lavorato su di una situazione a-didattica di geometria sulla determinazione delle altezze di un triangolo. La fase di validazione è stata analizzata mettendo in eveidenza l’ argomentare, il congetturare ed il dimostrare. Il Gruppo, composto da insegnanti che operano nei vari Ordini di Scuola, dopo un’ attenta analisi delle diverse situazioni di partenza degli alunni, attraverso strategie didattiche specifiche, ha operato in modo da adattare le situazioni didattiche al livello scolare. Il gioco è stato il motivo conduttore di tutta l’esperienza con particolare riferimento alla scuola materna ed elementare.

Scuola dell’Infanzia “Vittorio Alfieri” - II Circolo “G. Falcone” Nella sperimentazione è stata coinvolta una sezione di bambini di cinque anni. In una prima fase è stata fatta una verifica delle competenze che i bambini già possedevano attraverso: Racconto: “Il paese che non rotola più” Blocchi logici Schede strutturate La consegna è stata, per loro, così modificata: “Scopriamo e rappresentiamo il percorso più breve (distanza minima) per arrivare dalla base al vertice del triangolo”. Essa è stata mediata attraverso il gioco “percorso a staffetta”.

Verifica dei Prerequisiti

Analisi Quantitativa Dall’analisi quantitativa si evince che i bambini di cinque anni: - possono identificare l’altezza del triangolo con il percorso più breve; - riconoscere nei lati i percorsi più lunghi. Qualunque strategia scelga il bambino comprende la consegna e perviene alla soluzione perché ha le necessarie competenze : per riconoscere una distanza minima ; per discriminare un lato più lungo da uno più corto; per identificare un percorso con l’altezza del triangolo. DIMOSTRA DI POSSEDERE BUONE CAPACITA’ NON SOLO INTUITIVE MA ANCHE DEDUTTIVE .

ANALISI QUALITATIVA Dall’ analisi qualitativa emerge come i bambini concordino nell’affermare che: “ha sempre vinto la squadra posizionata al centro”, dando risposte di tipo “locale , impulsivo e generale”.

INDICATORI SEMANTICI Dagli indicatori semantici risulta che i bambini hanno dato le risposte servendosi di indicatori linguistici di “ condizionalità “ ( perché ), probabilmente legati alla domanda dell’insegnante.

CONCLUSIONI: I risultati ottenuti hanno messo in evidenza le capacità logiche – intuitive – deduttive dei bambini. Ciò si evince dal confronto dei dati dell’analisi a priori con i dati ottenuti dal percorso di sperimentazione. Dai dati sperimentali risulta che i bambini riescono a comprendere la consegna e a utilizzare uno schema di ragionamento tale da dimostrare l’acquisizione delle competenze necessarie per ottimizzare le strategie che inducono alla vittoria del gioco e quindi alla soluzione del problema.

Scuola elementare La consegna è rivolta a bambini di prima e seconda classe elementare e per la risoluzione del quesito le insegnanti hanno preparato un gioco da svolgere in palestra con la seguente consegna : “ Alla scoperta della distanza minima “

ANALISI QUANTITATIVA Da un’ attenta analisi quantitativa risulta che negli alunni c’è una connessione logica tra posizione e distanza. Molti alunni assemblano senza difficoltà il concetto di tempo con il concetto di misurazione poiché hanno probabilmente una visione più pratica della realtà. Per altri alunni la posizione risulta un elemento opposto alla misurazione poiché probabilmente non hanno ancora una visione reale del problema.

ANALISI QUALITATIVA L’analisi qualitativa evidenzia: falsi ragionamenti, perché nel gioco alcuni non accettano motivazioni flessibili da parte dei compagni delle squadre avversarie; affermazioni di tipo gerarchico, che si basano su alcune priorità della figura geometrica . affermazioni di tipo classificatorio dato che classificano gli elementi in rapporto alla distanza. Le discussioni cominciano ad aver carattere pragmatico visto che i bambini cominciano ad avere una visione reale del problema. In ultima analisi classificano e generalizzano così arrivano alla soluzione del problema.

INDICATORI SEMANTICI Dai risultati degli indicatori semantici emerge in maniera forte l’ uso del ‘perché’ come scoperta, chiarimento, affermazione.

CONCLUSIONE Per l’ avvio al Progetto, le Insegnanti hanno effettuato delle prove di controllo oggettive adeguate alla verifica dei prerequisiti in possesso degli stessi alunni, stimolando in loro la curiosità fornendo notevole quantità di informazioni per cercare, in questo modo, di organizzare concettualmente i dati da loro stessi elaborati. I bambini hanno espresso liberamente le loro argomentazioni, alcuni partendo dal globale altri dal particolare, ciò ha permesso di maturare in loro, la capacità di rappresentare in maniera valida e produttiva la soluzione. E’ stato determinante del processo insegnamento-apprendimento, operare attraverso la costruzione dei concetti e mai sullo sterile rigore delle procedure matematiche che sicuramente avrebbero determinato insuccesso. Per mezzo della strategia del gioco i bambini hanno potuto sperimentare, analizzare situazioni problematiche diverse, discutere e così arrivare alla soluzione del problema.

SCUOLA MEDIA CASCINO (classe 1°) Consegna: Rappresenta le altezze di un triangolo qualsiasi con gli strumenti che utilizzi per il disegno.

PRESENTAZIONE: La classe partecipante all’ attività di speri- mentazione è stata una prima, di una scuola media; Ha partecipato alla fase attiva della speri- mentazione senza conoscerne la reale motivazione e l’obiettivo finale. La consegna è stata svolta in 2 ore all’interno delle attività curriculari, presentandola alla classe come un “gioco” un po’ particolare, al di fuori di ogni schema scolastico e senza alcuna valutazione da parte dell’insegnante, che ha svolto il ruolo di “osservatore”. I ragazzi hanno lavorato singolarmente e solo in un secondo momento hanno “validato” la loro consegna.

RELAZIONE DELLA ANALISI FATTORIALE Attraverso lo studio dell’analisi fattoriale dei dati, si evince che le procedure utilizzate dai ragazzi sono state fortemente contrapposte e solo due variabili A2 e A4 sono state fortemente significative avendo una risultante del 37%.  A2: indica i lati obliqui del triangolo acutangolo come altezze in quanto più lunghi. A4: traccia solo una altezza nel triangolo acutangolo in quanto non sa ruotarlo.

Schema dell’ analisi:

RELAZIONE PROTOCOLLO ANALISI QUALITATIVA Non si sono evidenziati percorsi linguistici preferen-ziali, anche se molti alunni attivano esperienze dirette e personali, e un procedere per tentativi (proviamo, vediamo se, forse che….). Le argomentazioni degli alunni hanno anche presentato carattere di tipo ostensivo (come si vede…,sono come…).

Scuola Superiore I.P.I.A. Classi I A(o.e.e.)- I B(o.e.e.) Consegna: “Dato il quadrante dell’ orologio si considerino le seguenti situazioni: A) Le lancette segnano le 8.50 B) Le lancette segnano le 9.00 C) Le lancette segnano le 9.07 Congiungendo gli estremi delle lancette, si considerino i triangoli ottenuti e per ciascuno di essi si trovino le altezze. Motivare le varie fasi della costruzione per ciascuna altezza di ciascun triangolo ottenuto, rispondendo ai seguenti quesiti: 1. I prolungamenti delle tre altezze di un triangolo qualunque si incontrano sempre? 2. Se il triangolo è rettangolo, anche due delle sue altezze sono tra loro perpendicolari? 3. In un triangolo ottusangolo due altezze cadono al suo interno? 4. Cambiando la tipologia di triangolo, cambia l’ angolo che ciascuna altezza forma con la sua base?” N.B. Prima della consegna era stato recuperato il concetto di altezza da un punto ad un segmento come minima distanza, senza accennare al concetto di altezza in un triangolo e tanto meno al concetto di ortocentro.

Analisi Quantitativa L’analisi quantitativa dei dati sperimentali ha evidenziato quattro blocchi comportamentali poco collegati tra loro: Un primo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che rappresentano una sola delle altezze dei tre triangoli, in modo scorretto e gli alunni che rappresentano correttamente solo le tre altezze del triangolo acutangolo, non motivando le fasi della costruzione. Un secondo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che pur rap-presentando correttamente una o due delle altezze nei diversi triangoli, non motivando le fasi della costruzione e gli alunni che rappresentano scorrettamente le tre altezze o rappresentano correttamente le altezze del triangolo acutangolo, motivando scorrettamente le fasi della costruzione. Un terzo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che rappresentano correttamente solo una delle altezze nei tre triangoli, motivando corret-tamente le fasi della costruzione e gli alunni che rappresentano correttamente solo una delle altezze nei tre triangoli, motivando scorrettamente le fasi della costruzione. Un quarto blocco evidenzia un gruppo completamente isolato che rappresenta scorrettamente le altezze nei tre triangoli, ma motiva correttamente le fasi della costruzione.

Analisi Qualitativa Riferimenti di tipo pragmatico Falsi ragionamenti L’ analisi qualitativa ha mostrato che gli alunni per motivare le proprie affermazioni hanno utilizzato: Procedimenti per tentativi Riferimenti di tipo pragmatico Falsi ragionamenti Tentativi di ragionamento Ragionamenti con tentativi di giustificazione Argomentazioni di tipo tautologico Ragionamenti che giustificano la risposta con riferimenti di tipo pragmatico Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo teorico Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo teorico e generale

Indicatori semantici Esplicativi Di generalità Ostensivi Nel loro argomentare e nei diversi tentativi di dimostrare gli alunni hanno usato diversi indicatori linguistici: Di generalità Ostensivi Di condizionalità Esplicativi

Conclusioni: Gli alunni che hanno partecipato alla sperimentazione hanno mostrato un buon coinvolgimento, in particolare il gioco di squadra è stato animato da quello spirito di competitività che impegna in modo attivo la quasi totalità delle energie. La necessità di “argomentare” con i compagni le soluzioni intuite, ha costretto ciascun alunno a chiarire a se stesso ciò che voleva dire per “dimostrare” prima in modo ingenuo, poi via via in modo sempre più puntuale, quella che riteneva fosse la soluzione del problema. Lentamente, dalla semplice analisi del triangolo acutangolo e delle sue tre altezze, gli alunni, con prerequisiti minimi, sono giunti lentamente all’ esame delle altezze nel triangolo rettangolo ed in quello ottusangolo, nel quale sono pervenuti alla generalizzazione del concetto di altezza relativa alla base dal momento che inizialmente non riuscivano ad individuare le basi rispetto alle quali costruire le altezze relative. Il linguaggio grafico iniziale si è via via evoluto verso un linguaggio logico e deduttivo, ponendo le basi di un argomentare che attraverso le diverse congetture perviene alla dimostrazione.