NUMERI PRIMI E CRITTOGRAFIA Gli studenti Marco Evangelista, Valentina Testa e Maura Tuzzolo sotto la guida della Prof.ssa Francesca Tovena presentano NUMERI PRIMI E CRITTOGRAFIA

OBIETTIVI Presentare un’applicazione della matematica Creare insieme agli studenti “nuova” matematica Congruenze, Zn Teoremi di Eulero e Fermat Numeri primi

METODOLOGIA DIDATTICA Guidarli nell’evoluzione teorica lasciando ampio spazio alle loro idee 1. Schede di lavoro (a carattere esercitativo e crittografico) 2. Modellino di macchina per cifrare 3. Programmi al computer

CONFERENZA INIZIALE Evoluzione storica della crittografia: dalla steganografia al sistema RSA Funzionamento di un sistema crittografico e terminologia usata Introduzione alla teoria dei numeri primi e delle congruenze da un punto di vista storico

STRUTTURA LABORATORIO PERCORSO STORICO PERCORSO MATEMATICO Cifrario di Cesare Congruenze e classi di resto Definizione operazioni in Zn Cifrari affini Algoritmo euclideo e identità di Bezout Risoluzione in Zn di equazioni lineari Cifrari polialfabetici Sistema binario La funzione di Eulero Sistema RSA Teoremi di Eulero e di Fermat Numeri primi Difficoltà di fattorizzazione

PRIMA LEZIONE Analisi del cifrario di Cesare Cifrari per trasposizione Introduzione alla teoria delle congruenze Definizione di classe di resto Definizione di Zn Metodi per decifrare: l’analisi delle frequenze

SECONDA LEZIONE Disco cifrante di Leon Battista Alberti Animazione con Cabrì Modellino realizzato a mano Introduzione alle proprietà dell’anello Zn Definizione delle operazioni e degli elementi neutri Cifrari affini: problema della biunivocità delle applicazioni lineari

TERZA LEZIONE Trasformazioni affini biunivoche in Zn Strumenti di calcolo Algoritmo d’Euclide Identità di Bezout Equazioni lineari: mod n

QUARTA LEZIONE Risoluzione di un’equazione alle congruenze Esistenza e numero delle soluzioni Procedimento risolutivo (richiami sull’algoritmo risolutivo e l’identità di Bezout) Cifratura polialfabetica e suoi limiti

QUINTA LEZIONE Chiave pubblica e privata Sistema binario Come risolvere mod 382? Funzione di Eulero Teoremi di Eulero e Fermat

SESTA LEZIONE Sistema RSA Cifratura Decifratura Richiami sulla funzione di Eulero e la teoria ad essa connessa Perché il sistema funziona?

SETTIMA LEZIONE Teoria dei numeri primi Esistenza (dimostrazione di Euclide) Test di primalità (crivello di Eratostene, Wilson, Lucas) Problemi di fattorizzazione Teorema fondamentale dell’aritmetica Cenni alla difficoltà

OTTAVA LEZIONE Introduzione a Maple (comandi ifactor, nextprime, prevprime, isprime, ithprime) Confronto dei tempi per generare un primo e fattorizzare un numero Simulazione del sistema RSA

Comando ifactor(n)

Confronto dei tempi per generare un primo e fattorizzare un numero

Simulazione RSA